Лекции по гидроаэромеханике (562036), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Отсюда следует, что в окрестности бесконечно удаленной точки разложение для 1р имеет вид к„<в, л) и+1 и=! р (2.5) т. е. 1р при г-~- оо стремится к нулю как 1/г', а ч = угад 1р — как 1) .з $3. РАСЧЕТ ГИДРОДИ НАМ ИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ ПРИ ДВИЖЕНИИ ТЕЛА Рассмотрим вопрос о силовом воздействии потока на тело. На поверхность тела со стороны жидкости действуют силы давления, приложенные к элементам поверхности 5. Для главного вектора этих сил и для главного момента относительно начала координат можно записать выражения К= — рп д5; (3.1) (3.2) (3.3) В бесконечно далекой точке скорость равна нулю и откуда Считая, что в бесконечно далекой точке потенциал скорости оп- ределен для неустановившихся течений с точностью до некото- рой функции времени, получаем (3.4) д1 + 2 р р где (3.5) 205 где и — орт внешней нормали к поверхности Я; г — радиус-вектор точки поверхности относительно начала координат.
Так как жидкость у нас идеальная, несжимаемая, массовые силы отсутствуют, течение безвихревое, то можно записать интеграл Лагранжа в системе хо, уо, ~о Оп уская штрихи, можем , можем переписать (3.4) в виде Р=Р Р Р Подста д1 2 одставив (3.6) в (3.1) и ., м и (3.2), получим <3.6) — р п + ~5 (3.7) (3.8) (3.10) ИК т где К' — главный (3.1 1) г ' — ыи вектор сил п роны жидкости приложенных к поверхности вне т.
Отсюда к= к' — — '". Для К, учитывая (3.6) ~11 (3.12) , получаем '= — ~~ рпа5=р движения части оличество , ме е . Часть количе еменем. Ч аходящих ерхность Х за ества движения а счет жидкости, втек эту поверхность. Поэтому личества у ве хиос . у Р е изменение у сумма но Ж=И р оп~5 — р оп~5 +р чо„~5й. (3.14 (3.13) 206 =~~~(гх )(ф+ф) ы Выражения для К и Е мо> у ь Возьмем мо> лучить закона момен у ь и из закона произвольн нта количест верхность Е о ную неподвижн ва движения. жения К жид охватываю жидкости з Р Ранстве жную в п ост ж жид, аключенной в о ъ ность 5.
и Е, равно в объеме т между у поверхК=р ч~т=р цга4$~т. (3.9) Используя форм л Г к виду улу аусса — Остр р ого, — строградского, ого, приведем К К=р фпН5 — р ~рп~5. П рименяя зако е з в объеме т б он количе ства дви жени удем иметь ния к массе жидкости Е (3.17 Учитывая, что н Х н ьших Р пот У, на при бол — а о — поря †,, пол ч док —,, пол ч енциал ф име ет порярал по Е (317 б ) будет стремиться ствует безгр к бе конечн аничная жи к ности, находим , что сила с ким образом 1 д ость на тело, , такова: которой дей- й = — „~ р(рп а'5.
(3.18) Теперь пол ний учим формул ни ", приложенны го момента у для главног я жидкости в сил давлеи в о" еме Е деиств ют нии, которые вные момен тва движеу на поверхно ется в виде сти и Е о ты сил дав, то закон мо- А! — „, =Е' — Е. Согласн о определению (3.19) 1-р ~~~(гхоз)шт=р ~~~(гх дгайфат. Применяя формулу Гаусса — Острог а с, учаем а — строградского, получаем ~=Р11 (гхи)а~ — р~~ю(гхоз)ы (3.20) Последнее сл слагаемое в (3.14 в ства движения за с ) ет измен ) соответств ет ытекла из него дкости, кото ая ению количего за ~р~~~ ~~ че через поверхность Е. Та — „, = — „, ~ ~ реп а'5 —— Š— — рсдрп ~5+ рчо ~5.
рчо„~5. (3.15) Подставляя (3.13 Я "Х" П . ) и (3.15) в (3.12, получим = р п Я+ — ~5 — — „, р(рп ~5+ Н + — „, реп ~5 — ~ ~ рчо„~5. Так как как поверхность Е не И ь неподвижна, то — р(р~ ~15 = р — ~ ~15 — рп — Ю, поэтому Н Й вЂ” „, рсдрп Ж+ р п — — чо а'5. И ) Вместо (3.12) будем иметь 1.=1. — —. ~П и' (3.21) и (3.15): ~'=р~~(гхоз~( — ";, + — ",') аз, (3.22) Учитывая неподвижность Х в пространстве, приходим к фор- муле, аналогичной (3.17); затем, устремляя Я к бесконечности, получаем окончательно ~- — „, ~~РФ(гхп)а5. (3.23) $4.
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА В ЖИДКОСТИ Твердое тело под действием внешних сил движется в идеальной несжимаемой жидкости, покоящейся на бесконечности. Возникающее при этом движение жидкости потенциально. Как было установлено выше, силы давления, действующие со сто" роны жидкости на тело, приводятся к главному вектору К и главному моменту 1.: й= — „, рффи 5, ~ = —, ~ ~ ж (г Х и) а5. Обозначим через б главный вектор количества движения, через Н вЂ” главный момент количества движения твердого тела. Внешние силы, отличные от сил давления, приводятся к главному вектору Г и главному моменту 41 (Г и 0 следует считать заданными).
Применяя закон количества движения и закон моментов количества движения к телу, движущемуся в жидкости, можем написать — =К+Р, с16 д, =1-+Ч с1Н (4.1) 208 ~11 Выражения для 1.' и — „, будут аналогичны выражениям (3.13) Подставляя в эти равенства выражения для К и 1., получим — б — р %ид5 =Р, — Н вЂ” р %(г К и) д5 =Я. (4.2) Интегралы В= — р %ид5, ) = — р ~ ~ ф )г К п) Ш5 (4.3) (4.4) ио„— — Уи ио„= с'2, ио, — — с)'З, ®х ~4 ®у ~5 Ог (~6 ° (4.5) Тогда (1.6) перепишется в виде %= Х~ ) ~й%й (4.6) Если ввести также обозначения в„=в,, (4.3), а также в„ В4, вх= 1х= то согласно формулам (4.7) (1.8) можем записать % д„65 % д„65 д%з %а Й5= — р ~~~)) И--Р %у д5= — р В,= — р (4.8) В2= — Р ~1з= Р называются присоединенным количеством движения и присоединенным моментом количества движения соответственно. Иногда вектор б + В называют импульсивной силой, а вектор Н + 1— импульсивной парой.
Уравнения (4.2) удобнее рассматривать в подвижной системе координат, связанной с телом. Действительно, в ~ 1 был приведен общий вид потенциала (1.6), при этом для потенциалов %; были выписаны условия (1.8). В системе координат, связанной с телом, направляющие косинусы внешней нормали а, р, у фиксированы. Каждая из функций %; определяется только геометрией тела. Опираясь на соотношения (1.6) и (1.8), можно указать сравнительно простые формулы для вычисления вектоРов В и 1. Обозначим И з 4.
( .4) с Учетом (1.8 сл ) едуют равенства ~ 'Р ЬР— >Д,>~ = — р ( Ф~ дл > Вь= — р дл Р ~ ~ ЧР>Р— Р„~,>~ ормулы (4.8) и (4 9 5 . ) можно объединить Подставим (4.6) в 4.1 в (4.10). Получим Вг = — ~6 д' ~д- 1 ~ ~'Р дл или Вг= Х~,К У», где >;> = - Р ~ ~Ч, —,„' ~>~ Р>', Р> = Р 3 д ' ' '''> (4.9) (4.10) (4.1 1) (4.12) (4. 13) Из (4.12) след ет векто а ует, что все Вь т. мента количе вижения В и п ы присоединенно ого че ия 1, выражаются р деленные фор ао и угловой .
комр р ность , имеющие азм ормулами 4.13 . трией тела ссы, оп е ). Эти коэ (в подвижнои еется 36 коэфф т присоединен ои системе от и времени они фициентов разл коэ и и еет место симм ичетрия коэ (4.14) д<р, 3~ ~,0' д ~~> д Ф вЂ” 6, 1=1 ~=1, ... ормулу Грина, можем за- ~~~ РЖЛ'Р> 'Р>М~) ~»= Компоненты В;, определяемые формулами (4.12), теперь можно записать в виде (4.20) Если рассматриваемое тело имеет плоскость симметрии, то, принимая эту плоскость за одну из координатных плоскостей, например за плоскость (х, у), можно упростить вычисление функций В; и Т. Действительно, в этом случае величины а = сов (и, х) и Р=соз(п, у) будут четными функциями, а у=сов(п, г) — нечетной функцией координаты г. При этом согласно формулам (1.8) для искомых гармонических функций на поверхности обтекаемого тела будем иметь равенства 1=1, 2,6; (4.21) ( г) = — ( — ~),, 4=3, 4, 5, (4.22) 21,— — — р1') ~р1 ~' 45= — р')') ~р ~' 45 — р ~~р, ~' 45.
(4.23) 8 Зн ав Вследствие нечетности подынтегральной функции и симметрии частей поверхности 3„ и 5, будем иметь 2~э=0 (4.24) Совершенно аналогично получим 1=4,5; (4.25) а,„=о, с=2,6; 1=3,4,5. 2И=0 где А и А' — симметричные относительно плоскости х, у точки поверхности. Условиям (4.21) будут удовлетворять гармонические функции (рь (рд, (рь четные относительно переменной г, а условиям (4.22) — функции (р„(р„(р,, нечетные относительно г.
Действительно, если функция (р — четная по г, то — — нечетная, а— дф дф — — четные функции относительно г, и, следовательно, — = дф дф = — а+ — Р+ — у — четная функция по г. Аналогично расдф дф дф дк ду дя сматривается случай функции, нечетной по г. Покажем, что в этом случае коэффициенты Х(), — — Х),( (1= = 1, 2, 6; й = 3, 4, 5) обращаются в нуль.
Используя формулы (4.13) и вводя обозначения Я„и 5, для симметричных относительно плоскости х, у частей поверхности, можем написать В случае, если поверхность 5 имеет три взаимно перпенди««улярные плоскости симметрии (например, 5 — поверхность эллнпсоида), подобным образом можно показать, что все коэффипненты Х««, с разными индексами обращаются в нуль. В качестве примера рассмотрим обтекание сферы радиуса Р, движущейся в жидкости со скоростью ч под действием некоторой силы Г, приложенной в центре шара. Воспользуемся полученными ранее результатами. Согласно формуле (3.17) гл. Х1Ч потенциал обтекания шара, движущегося с единичной скоростью вдоль оси г, будет Я СО6Е «~з 2«' (4.26) где г, О, Х вЂ” сферические координаты с началом в центре шара н полярной осью, направленной по оси г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
