Лекции по гидроаэромеханике (562036), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Представим себе, что на оси вращения на отрезке АВ расположены непрерывным образом с плотностью р(~) диполи с осями, параллельными оси х. Суммарный момент диполей, расположенных на отрезке (~, ~+ д~), равен р(~)д~, и, как и ранее, при малом Ы~ можно считать, что в точке ~ расположен диполь с моментом р(~)д~. Потенциал скоростей для течения от такого диполя равен такого потока потенциал скоростей равен ~р = 1'х или ср = = Рр сов О, а для суммарного течения ~р„,8 рсо О ~' 1К)~1 4г~ )А (~/рг+ (~ — Дг)а (6.3) Ир ~1г р ИО 0 0 0 Р г (6.4) и запишем выражения для о, о„оа: д~р согО д ~ Г 1г(1) ~1 др 4д др А (~/р~+ (г — ~) ) ду рсогО д ~ ~ 1г©И~ д~ 4д дг 1, ) А (~ '+ (г — ~)г) о, = — — = — ~з1пЕ+ — ~ з (6.7) 1 д<р .
$1пО Г 1г(~) И~ р дО 4д А (1/рг+ (г — ~)г) Подставив эти выражения в уравнение Ир о нетрудно убедиться в том, что получим обыкновенное диффе- ренциальное уравнение вида †„, = 1(р, ~) Ир (6.8) для нахождения функции р = р(л). Потребуем, чтобы равенство (6.8) выполнялось на поверхности тока, совпадающей с обтекаемым телом, уравнение контура которого имеет вид р = Ф(~). Подставляя эту функцию в (6.8), получим интегральное уравнение для нахождения 1г(~) 1 д ~ ~ 1г(~) И~ У вЂ” — — р ~ Нр 4д др ~ 3, (.,/рг+(, ~)г) 1 д 1 1гК)~~ 4п аг А (Ю~( -о') Здесь р=ф(я) и — „, =Ф'(я) — известные фУнкции. Ир Для решения этого уравнения на практике используется метод, изложенный в предыдущем параграфе.
199 Покажем, что при определенном выборе 1г (Г) поверхность тела будет поверхностью тока. Рассмотрим уравнения линий тока в цилиндрических коор- динатах 5 7. ОБШИЙ СЛУЧАЙ ОБТЕКАНИЯ ТЕЛА ВРАШЕНИЯ Пусть на тело вращения набегает поступательный поток со скоростью Ч. (Всегда можно выбрать систему координат так, чтобы вектор Ч лежал в плоскости х, г.) Задача состоит в интегрировании уравнения Лапласа Л~р=0 (7.1) при условиях на контуре и на бесконечности (7.2) дгр ) (7.3) Пусть ~р~ — решение второй задачи, т.
е. ~р~ — решение уравнения Л~р~ — — О, удовлетворяющее условиям Образуем ~рз — — ~р1+ ~рр. Нетрудно видеть, что ~р, удовлетворяет также уравнению Лапласа, а граничные условия имеют вид (7.2), (7.3). Поскольку решение уравнения Лапласа при заданных условиях единственно, отсюда следует, что искомый потенциал скоростей <р равен ~рз, т. е. равен сумме потенциалов скоростей продольного и поперечного обтеканий рассматриваемого тела соответственно со скоростями Р, и Р, на бесконечности. Рассматриваемую задачу можно разбить на две задачи: о продольном обтекании тела вращения потоком со скоростью ~, и о поперечном обтекании тела вращения потоком со скоростью Г на бесконечности.
Пусть ~р~ — решение первой задачи, т. е. ~р~ — решение уравнения Л~р1 — — О, удовлетворяющее условиям ГЛАВА ХЧ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА В ЖИДКОСТИ 5 1. ОБЩИЙ ВИД ПОТЕНЦИАЛА СКОРОСТЕЙ Пусть в жидкости движется некоторое твердое тело, ограниченное гладкой поверхностью 5. Отнесем это движение к некоторой неподвижной системе координат хрургр и предположим, что скорость поступательного движения рассматриваемого тела относительно взятой системы отсчета равна цр (рис. 42). Предположим также, что мгновенная угловая скорость тела относительно выбранного нами в теле полюса 0 равна а.
Тогда скорость произвольной точки Ф, принадлежащей этому телу в его движении относительно системы хрургр, будет выражаться формулой и = ир+ (® Х г) = ар+ а„, Л~= о. (1.1) Вследствие непроницаемости тела на его поверхности в каждой Гтэчке должно выполняться граничное условие о„(~~) (и, + и„) п, (1.2) где и — орт нормали. Для удобства вычислений рационально в дальнейшем воспользоваться подвижной системой координат х, у, г с началом в полюсе О, неизменно связанной с движущимся телом.
Если закон движения тела известен, то для каждого заданного момента времени 1 координаты хр, ур, гр можно выразить через 201 где г — радиус-вектор, проведенный из полюса в точку Ф. Будем далее считать, что жидкость до того момента времени, когда тело начало в ней двигаться, находилась в покое. Движущееся тело Ы будет возмущать окружающую его жидкость, создавая в ней поле скоростей ч(1, хр, ур, ~р). Будем предполагать, что скорости возмущенного движения жидкости убывают при ио удалении от тела и на бесконечно- Т' сти жидкость покоится. Если жид- 0 Р кость идеальна, баротропна и массовые силы имеют потенциал, то возмущенное движение жидкости будет также потенциальным. В слу- Рис. 42.
чае несжимаемой жидкости потенциал этого движения будет удовлетворять уравнению Лапласа координаты х, у, г и представить потенциал «р(1, хо, до, го) как функцию х, у, г: «р(~, хо, уо, го) «р(~, х, у, г). (1.3) Л«р(1, х, у, г) = О. (1.4) Условие на бесконечности также сохраняет свой вид, так как соотношения (хо'+ у,'+ г ) —. оо и (х'+ у'+ г') —. оо равносильны (в течение любого промежутка времени тело пройдет лищь конечный путь). Условие на теле значительно упростится, поскольку оно будет записано в системе координат, жестко связанной с телом, и будет иметь вид д~р = (иох + иах) а + (шоу + и„у) ~ + (иог + и ) ую где а= сов(л, х), р= сов(л, у), у=сов(л, г), «~ву вгх вх~> «~„» = вуа — вгу, и„г = вху — вух, т.
е. д«р = лоха + лоу0 + логу + вх (уу Ф) + ву (~а ху) + + в, (хр — уа). (1.5) Из формулы (1.5) непосредственно можно заключить, что потенциал «р должен линейно зависеть от скоростей, изменяющихся во времени, и будет иметь структуру 'р («> х~ У~ ~) = ««ох«р1 + ««оу«р2 + цог«рз + вх'р4 + ву'р5 + вг«ро (1 6) где функции «р«(« = 1, 2, ..., 6) будут функциями координат х, у, г. Такая форма представления потенциала принадлежит Г. Кирхгофу. Из изложенного видно, что если заданы форма тела и закон его движения, то определение потенциала возмущенного движения приводит к задаче: найти вне поверхности 5 гармоническую функцию, стремящуюся к нулю на бесконечности, нормальная производная которой на 5 принимает согласно (1.2) заданные значения (1.5). Эта задача в теории потенциала носит название внешней задачи Неймана.
Вследствие линейности (1.6) все функции «р;(х, у, г), каждая в отдельности, должны удовлетворять уравнению Лапласа («=1,2, ..., 6), Л«р; =О (1.7) 2202 Переход от системы х,, уо, го к системе х, у, г совершается с помощью переноса начала и поворота системы координат. Как известно, при указанных преобразованиях координат уравнение Лапласа сохраняет свой вид, так что условиям на поверхности Я (1.8) и условиям на бесконечности дх ду дя =О. (1.9) $2. ПОВЕДЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛА СКОРОСТЕЙ В ОКРЕСТНОСТИ БЕСКОНЕЧНО УДАЛЕННОЙ ТОЧКИ 3 амечанне о сферических фун кци ях. Рассмотрим уравнение Лапласа дгц дгп дги „.+ —,„г+ „.
Построим решение этого уравнения, имеющее вид однородных полнномов степени л. При л = 0 существует одно линейно-независимое решение и, = а = сопз1. Однородный полином первой степени и1 — — ах+ бу+ сл содержит три линейно-независимых РешениЯ. КвадРатичный полином общего вида иг — — ахг+ бУг+ + сл2+ дху + еул + ~ях будет удовлетворять уравнению Лапласа, если а + б + с = О. Таким образом, при л = 2 будем иметь пять линейно-независимых решений. Можно показать, что существует 2а+ 1 линейно-независимых однородных полиномов степени л, удовлетворяющих уравнению Лапласа. 203 Определение каждой из этих функций приводит, следовательно, к задаче Неймана.
Из (1.8) видно, что функция ~р1 соответствует тому случаю движения тела, когда ио.,=1, иоу=ио.=О, в.,=вд=в,=О, (1.10) т. е. тело движется в направлении оси х с единичной скоростью. Аналогичное значение имеют функции ~рг и ~р,. Функция ~р4 соответствует случаю, когда ио„= иод —— ио, — — О, в„= 1, ву — в, = О, (1.11) т. е.
тело вращается с единичной угловой скоростью вокруг оси х. Общий вид потенциала (1.6) определяет зависимость ~р от времени для нестационарных задач. Из (1.6) видно, что функция <р зависит от времени только через посредство а, и в, под~р,. скольку функции д ' зависят лишь от координат точек подп верхности тела. Вводя сферическую систему координат по формулам х = г з!и 0 соя Л, у = г з1п 0 з1п Л, г = г сов О, можно однородные гармонические полиномы степени п записать в виде и„(х, у, г) =г"У„(0, Л). с" г„(е,л) (2.1) Вернемся к задаче о движении твердого тела и рассмотрим ПОВЕДЕНИЕ 4Р ПРИ Г-~. ОО.
Пусть Х вЂ” сфера радиуса Я с центром в начале координат. Так как жидкость несжимаема и объем т тела не изменяется, то поток ее через поверхность Х должен равняться нулю, т. е. (2.2) Потенциал скоростей 4р можно представить в виде (2.1), откуда д~р А 1с~ (и+ 1) )Ги (Е Л) 0 2 42Г Г2 Г" 42+ 2 (2.3) Тогда из (2,2) получим — 4 А — ~ "+' ~~Г„<В, Ц 42=О, (2.4) 204 Функция У,(0, Х) называется поверхностной сферической, или просто сферической функцией порядка л. Очевидно, что функция У, есть полином от соз О, з1п О, соз Х, з1п Х. Из сказанного выше следует, что при каждом л существует 2л + 1 линейно-независимых сферических функций.
Сферическая функция общего вида может быть представлена следующим образом: У„(0, Л) = аоР„(соз О)+ Х, (а созтЛ+ Ь з1птЛ) Р„(соз О), ,(л где Р„(х) = —,„— „„„(х' — 1)" — полиномы Лежандра, а Р„(х)= ,(П2Р („) =(1 — х') ' „" присоединенные функции Лежандра. Полагая поочередно один из коэффициентов а; и Ь; равным единице, а остальные — нулями, получим 2п+ 1 линейно-независимых сферических функций порядка л. При этом легко показать, что наряду с г"У,(0, Х) решением уравнения Лапласа является также функция У„(0, Х)/г"+~ и что всякая гармоническая функция, стремящаяся к нулю на бесконечности, может быть при достаточно больших г разложена в ряд вида Чтобы (2.4) выполнялось при Я -~ оо, необходимо положить А = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
