Лекции по гидроаэромеханике (562036), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Так же как и в плоском случае, функция тока обладает двумя характерными свойствами. 1. Функция тока постоянна на П линии тока. Действительно, в случае осесимметричного течения А уравнение линий тока имеет вид Р Р Ор 0~ Отсюда следует, что на линии тока орсЬ вЂ” о,др=О, т. е. И" =О и Рис. 40. ф сопэ1. 2. Через ф можно выразить расход жидкости. Подсчитаем расход жидкости, т.
е. объем жидкости, протекающей в единицу времени через поверхность, полученную вращением кривой АВ вокруг оси а (рис. 40): Поскольку ИЯ = р ИО сК то Ц= ~ (') р (ор, + о,и,) Е) ШО = 2п ~ р (ор, + о,а) Ш(. гв гв Я=2л ~ р(о, Иг — о, Ир) =2л ~ Иф=2л(~)в — ч)А). Очевидно, что если контур АВ замкнутый, то Я=О. Если движение потенциальное, то существует потенциал скоростей ч = ргали р. В цилиндрических координатах д(р ! д(р д(р 0 = —, Оа= — —, 0 Р др ' р дО ' ~ дг ' (4.7) причем для течения с осевой симметрией оа — — О.
Из (4.7) и (4.5) видно, что производные функций ф и ~р связаны следующими соотношениями: д(р ! д$ д(р ! дф др р дг ' дг р др ' Заметим, что (4.8) отличаются от условий Коши — Римана, ко. торые имели место в плоской задаче. Запишем теперь уравнение для функций ~р и ~1). Сначала продифференцируем первое из условий (4.8) по г, второе по р и вычтем одно из другого: д~~!) + д~~!) ! д~ — 0 (4.9) дрг д~и р др Уравнение (4.9) есть уравнение для функции тока ~) в случае осесимметричных течений.
Это уравнение отличается от уравнения Лапласа, которому удовлетворяла функция тока в плоском случае. Теперь умножим соотношения (4.8) на р, затем первое из них продифференцируем по р, а второе по г и сложим: др' дг' р др (4.10) (4.8) Уравнение (4.10) есть уравнение для потенциала скоростей в случае осесимметричных течений. Оно представляет собой уравнение Лапласа, записанное в цилиндрических координатах. Заметим, что если известна одна из функций ~р или ф то вычисление второй из них сводится к квадратуре. Действительно, если известен потенциал скорости ~р(р,г), то для ф(р,ы) имеем НФ вЂ” Нр + — Нг = — р ( — Нр — — дг), д$ д$ / д(р д(р др дг ~ дг др Ф = ) (Р, гс) + ~ о (=,", (г —,~ (Р) ° РОэ ~Р (4.1 1) 194 ((р Так как и = —, и,= — —, выражен1!е для Я можно записать в виде Аналогично для ~р(р, а) "о ~о (4,12) Рассмотрим несколько примеров.
Запишем функции тока для некоторых осесимметричных течений. 1. Поступательный поток ~р = 1га. По формуле (4.11) имеем 2 ф= — !'++ С. Если ось потока р =О есть линия тока ф= О, тоС вЂ” Оиф — — — р. г Оче- 2. Течение от источника ~р— 4~ ~ 4~ ~/р'+~г видно, что дф 4! р др 4д (~/р~ + ~г) дг 4д ( ~/рг + гг ) д$ др Используя второе из соотношений (4.8), имеем рЯ вЂ” — Отсюда Вычисляя производную от ф по ~, получаем д$ 4! рг д~ д~ 4~ (~/р'+ ~ )' д~ Но на основании первого из равенств (4.8) — =р —, откуда дф дф дг др' следует, что — =О, т.
е. !'(г) = С =сопз1. д~ Таким образом, функция тока в случае течения от источника будет 7'о !95 —, +с. (4. 13) 4а р' 4- а' М г М д 4: 1 3. Течение от диполя: ~р = — — — = — — ~ 4д г' 4д дг ~ 1/р'+ г' / Запишем выражение для —, используя первое равенство (4.8): дф дг ' д$ Мр д' ! д ( М д ! — Р— да 4а орда дтр 4- а да 4,4а др т/р~ 4- а' ) Отсюда будем иметь М д 1 Ф= — Р—,, +~(р).
4~ др 1/р'+ г' Вычисляя производную от этой функции по р и сравнивая ее с д~!о выражением для —, которое можно получить исходя из др ' второго соотношения (4.8), найдем, что — =О, т. е. 1(р) = сопз1. д1 Таким образом, функция тока для течения от диполя имеет вид (4.14) 4д ( /р'+ г') Замечанне о постановке задач в случае потенциальных осесимметричных течений идеальнойой нес >к и м а е м о й >к и д ко с т и. Если ишется потенциал скоростей ~р, то в случае осесимметричного течения нужно интегрировать уравнение Лапласа (4.10) с граничными условиями на поверхности тела ~ = 0 и на бесконечности тесла дбР дп рассматривается обтекание неподвижного тела безграничным потоком) — ~ = О, — = К др ~ ' дг Другими словами, задача о нахождении ~р(р, г) есть задача Неймана соответственно внутренняя или внешняя в зависимости от того, бесконечна область или ограничена. Если ишется функция тока ф то интегрируется уравнение (4.9) с граничными условиями на У 3 О теле ф ~ ~ = О и на бесконечно- А в я 1 д$ ~ 1 дФ 1 сти — — ~ =О, — — — 1 =К р дг ~ ' р др Как уже говорилось, в отли- чие от плоских течений функция Рис.
41, тока в данном случае не являет- ся гармонической функцией. С этим связано то обстоятельство, что для осесимметричных течений метод конформных отображений, столь эффективный для плоских задач, не может быть использован. Для решения задач в осесимметричном случае хорошо зарекомендовал себя метод источников и стоков, который рассматривается в следуюшем параграфе. $ 5. ПРОДОЛЬНОЕ ОБТЕКАНИЕ ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ. МЕТОД ИСТОЧНИКОВ И СТОКОВ Рассмотрим продольное обтекание тела, полученного врашением кривой А1В вокруг оси г (рис.
41). Идея метода источников и стоков состоит в замене рассматриваемого тела системой источников и стоков, расположенных на оси врашения. Причем одна из поверхностей тока для течения, образованного этой системой особенностей, должна совпадать с поверхностью тела врашения. Другими словами, по за- 196 данному телу вращения требуется подобрать распределение источников и стоков. Пусть источники (и стоки) распределены на оси ~ непрерывно с плотностью р(~). Тогда суммарная обильность источников (и стоков), расположенных на отрезке ~, ~+ д~, равна р Я) д~. При малом Ы~ можно считать, что в точке ~ расположен точечный источник обильности р(~)д~.
Функция тока для течения от этого источника равна (5.1) 4д ~, /р' + (~ — ~)2,) Интегрируя (5.1), получаем функцию тока для течения, образованного непрерывно распределенными по оси ~ источниками с плотностью р(~): я — ~ /Р~ + (я — ~)',l (5.2) Наложим на этот поток поступательный поток со скоростью К, направленной вдоль оси ~. Функция тока для поступательного потока г 1' Ч)2= Р 2 (5.3) (5.5) т. е. суммарная обильность источников (и стоков), расположенных внутри тела, должна быть равна нулю. При условии (5.5) из (5.4) имеем Пусть р = р(г) — уравнение контура тела. На контуре ~1) = О, так как контур тела — продолжение линии тока, которая до носика тела совпадала с осью г.
Тогда можем записать 1 1 (у ир©Ы1 1 Г2( ) 4д ~А ~/рз(,)+(, г)з 2 (5.6) Поскольку уравнение для функции тока линейно, то для описания суммарного течения функции тока складываются: Ф(р, я)= — — — — ~ н(~)) ), 1)ш~. (5.4) 2 4д А ~, л/р'+ (я — ~)~ / Очевидно, что, выбирая разные р(~), мы получим разные течения.
Наша задача так выбрать р(~), чтобы получить течение около рассматриваемого тела. Для этого, во-первых, учтем, что тело непроницаемо, и, во-вторых, что одна из поверхностей тока должна совпадать с поверхностью тела вращения. Поскольку тело непроницаемо, должно быть выполнено ус- ловие 1Чы получили уравнение для нахождения р(~) по известному р (2). Это интегральное уравнение Фредгольма первого рода.
Одним из возможных приближенных способов решения этого уравнения является следующий. Отрезок АВ разбивается на интервалы, в каждом из которых выбирается точка ~;, и интеграл заменяется суммой Римана 1= и (~ ~)р(~)~ /р(~)+~р ~)г ' где неизвестными являются значения р(~;) в точках ~; (1= 1, 2,...,л). Заменим в (5.7) интеграл указанной суммой и потребуем, чтобы полученное уравнение выполнялось в точках ль каждая из которых принадлежит интервалу Л~ (А = 1, 2, ..., л). Таким образом, получим систему линейных алгебраических уравнений для нахождения р(~;): ( ю — ~;)~(~,)~; 1 1, г 4л 2 М (гю) $6.
ПОПЕРЕЧНОЕ ОБТЕКАНИЕ ТЕЛА ВРА1ЦЕНИЯ иК)~1 х ичг~ 4д Цхг + уг + 1~ ~)г)З ' (6. 1) Все диполи, расположенные на АВ, образуют течение с потен. циалом скоростей нФх~~ (6.2) или в цилиндрических координатах рсовв 1' р(~) иг, %1=в 4д .4 (~/р' + (г — ~)')' Как и в предыдущем случае, наложим на это течение поступательный поток, текущий со скоростью Г параллельно оси х. Для 198 Пусть тело вращения с осью, параллельной оси л, Ьбтекается потоком, скорость которого Г на бесконечности перпендикулярна оси вращения (параллельна оси х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
