Лекции по гидроаэромеханике (562036), страница 29
Текст из файла (страница 29)
$ 5. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОБ ОБТЕКАНИИ ПРОИЗВОЛЬНОГО ТОНКОГО ПРОФИЛЯ у, = У, (х), у„= У „(х). (5.1) Образуем профиль без толщины 9 (х) + 9 „(х) 1/ =У в н 2 (5.2) и симметричный профиль 9 , (х) — 9 „(х) н в 2 \ (5.3) и и 9 , (х) — 9 „ (х) у = — у н в 2 Очевидно, что у =у'+ дн у =у'+ ун Требуется найти комплексный потенциал возмущений в'(а), заданный во внешности контура (5.1) и удовлетворяющий усло- виям на бесконечности дю' — =О, дх (5.4) на контуре $'(х, +О) = — 1~У ',(х), $' (х, — О) = — 1'У , (х) (5.5) и постулату Чаплыгина — Жуковского.
Пусть функции г', (а), вп (а) — потенциалы возмущений в случае обтекания профилей (5.2) н (5.3) соответственно. Эти 184 Л. И. Седовым был предложен метод, позволяющий получить решение задачи обтекания произвольного тонкого профиля, если известно решение двух задач, рассмотренных в ~ 3 н 4: обтекания профиля без толщины и бесцнркуляционного обтекания симметричного тонкого профиля. Рассмотрим тонкий профиль произвольной формы функции также удовлетворяют условиям обтекания и постулату Чаплыгина — Жуковского. Граничные условия для этих функций имеют вид г г Й~~ ~йгги — =О, — =О; ~1я (5.6) I к 9 (х) + 9 „(х) $~(х, +0) = г)н (х, — 0) = — ~' (5.7) Р 9 (х) — 9 „(х) $ц (х, +0) = — ф~ (х, — 0) = — (' Составим функцию Ю„, (Я) = Ы', (Я) + Ю'„(Я).
г Р к ~а' ~~гг~ ~ ~ ~'гг~ ~®[ ~ Их Иг Их Их (5.8) После того как решена задача обтекания, нужно найти давление и подъемную силу. Поскольку жидкость идеальна и движение установившееся, воспользуемся интегралом Бернулли ,г 1;г р 2 р 2 р + — — + Учитывая, что цг цг + цг ( р + ц~)г + ц ' и пренебрегая величинами о'„,, о', получаем Го + — =— р Л к р р 185 Очевидно, что эта функция удовлетворяет условиям на бесконечности и постулату Чаплыгина — Жуковского.
Нетрудно, учитывая (5.6) и (5.7), убедиться в том, что эта функция удовлетворяет и условиям (5.5) на верхнем и нижнем берегах разреза ( — а, +а). Поэтому искомая функция в'(~) = в',и (г). Таким образом, комплексный потенциал возмущений обтекания произвольного тонкого профиля складывается из комплексных потенциалов возмущений обтекания профиля без толщины и бесциркуляционного обтекания симметричного тонкого профиля. Для комплексной скорости возмущений имеем или Поскольку при рассмотрении произвольного тонкого профиля складываются скорости возмущений, соответствующие обтеканию профиля без толщины и обтеканию симметричного профиля, то складываются и возмущения давления р', а следовательно, и подъемные силы.
Симметричный профиль при бесциркуляционном обтекании имеет нулевую подъемную силу. Поэтому произвольный тонкий профиль имеет такую же подьемную силу, как и профиль без толщины, проведенный по его средней линии. ГЛАВА Х!Ъ' ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ИДЕАЛЬНОИ НЕСЖИМАЕМОИ ЖИДКОСТИ э 1. ИСТОЧНИКИ В ПРОСТРАНСТВЕ Рассмотрим сферически-симметричное течение от источника обильности д, помещенного в начале координат. Такое течение представляет собой частный случай осесимметричного (все гид родинамические величины функции только г). Поскольку жид кость несжимаемая, то уравнение неразрывности во всех точках, не совпадающих с началом координат, имеет вид д1ч ч = О. По скольку течение безвихревое, то ч = ргали ~р и потенциал ско ростей ~р удовлетворяет уравнению Лапласа. В сферических координатах выражение для йч ч имеет вид (см.
(4.21) гл. 11) Йчч=,, ~ ! — (о,г в!п0)+ — (о„гв!п0)+ — (о~г)). (1,1) Уравнение для потенциала скоростей получим, подставляя вы ражение для компонент скорости в этих координатах д(р 1 д(р 1 д(р ~в= д. ' ° дЕ ' г.1пЕ аЛ 0~ —— (1.2) в уравнение неразрывности (1.3) !87 Течение называется осесимметричным, если существует такая прямая 1, что во всех плоскостях, проходящих через 1, кар тина течения одинакова и траектории жидкой частицы лежат в полуплоскостях, проходящих через 1. С осесимметричными тече ниями мы часто имеем дело на практике: например, при изуче. нии течений в трубах и каналах, а также при обтекании тел вращения без угла атаки.
Осесимметричные течения могут описываться как в цилиндрических г, <р, г, так и в сферических г, О, Х координатах. В ци линдрических координатах в случае осесимметричного течения все гидродинамические величины зависят только от г и г и не зависят от <р, а в сферических координатах они зависят от г и д и не зависят от Х. В случае сфернчески-спмметрпчного течения ~р = ~р(г), поэтому из уравнения Лапласа (1.3) следует, что откуда, интегрируя, получаем ~р= — — + С,. с Так как потенциал скоростей определен с точностью до про извольной постоянной, не ограничивая общности, можно считать, что С~ = О, т.
е. с %= Г (1.4) Зная ~, можем вычислить проекции скорости на оси координат С и,= —,, па=О, и =О. (1.5) Рассмотрим сферу радиуса г с центром в начале координат. Выразим постоянную С через обильность источника д. Обильность источника есть количество жидкости, протекающей через поверхность сферы в единицу времени.
Очевидно, что д=4лг~о,=4лС и С= 4л Тогда потенциал скоростей в случае течения от источника, помещенного в начале координат, запишется в виде (1.6) Ч= Ч 4лг 3 а м е ч а н и е 1. Если источник помещен не в начале координат, а в точке с декартовыми координатами а, О, с, то Ч %= 4л ~/(х — а) ' + (у — Ь)' + (г — с)' 3 а меч ание 2.
Потенциал скоростей ~р= — ~ является 4лг решением уравнения Лапласа во всех точках, кроме точки г=О. Поставим вопрос, какому уравнению удовлетворяет этот потенциал в точке г = О. Вычислим расход жидкости через любую поверхность, охватывающую начало координат: д — о„сИ вЂ” — ИЯ. 3 3 Используя формулу Гаусса — Остроградского, имеем д = Л~р Ит. т Последнее преобразование носит формальный характер, так как функция ~р и ее производные разрывны при г = О. Таким обра.
188 зом, интеграл по любому объему т, содержащему начало координат, равен одному и тому же значению д. Вследствие этого додынтегральная функция Л~р может быть представлена в виде Л<р = д6 (г), где 6(г) = 6(.к) 6(д) 6(г) — трехмерная дельта-функция, или функция Дирака, равная пулю всюду, кроме г = О, такая, что Ц 6(х(6(д(0(г(Шхбу Шг= (. На основании этого можно считать, что в области, содержащей начало координат, потенциал ~р= — — удовлетворяет не Ч 4лг уравнению Лапласа, а уравнению Пуассона с правой частью, содержащей' функцию Дирака.
Хотя приведенное определение дельта-функции, как легко видеть, математически противоречиво, формальное использование этой функции часто оказывается очень полезным. В современной математической физике построена строгая теория функций Дирака и других аналогичных функций (теория обобщенных функций). э 2. ДИПОЛЬ В ПРОСТРАНСТВЕ Ч=Ч(+Чъ (2.1) где <р! — потенциал течения от источника: ! % (2.2) 4л ~/~г ! уг ! (~ !1~)г ' (рг — потенциал течения от стока: 4л .~/„г ! уг ! (~ 11~Р (2.3) Подставим (2.2), (2.3) в (2.1). Получим ч 1 1 %= 4л ( ~/х' -!- у~ !- (г — !12)~ 1/х~ -1- у~ !- (г -1-112)~ Рассмотрим предельный случай, когда д — ~- оо, 1 — ~-О, причем д1 = М = сопзг.
В этом случае течение называется течением от Пространственного диполя. Разложим выражение в квадратных 189 Рассмотрим течение от источника и стока. Пусть источник и сток расположены на расстоянии 1 друг от друга и имеют обильности, одинаковые по величине и противоположные по знаку. Пусть система координат выбрана так, что они расположены на оси г в точках 1/2 и — 1/2. Так как уравнение для ~р линейно, то скобках в ряд Тейлора по степеням 1 и перейдем к пределу при 1-э О. В результате получим М2 ~р= — —... где М = д1 = сопй.
(2.4) Величина М называется моментом диполя. Нетрудно видеть, что (2.4) можно записать в виде Если ось диполя 1 не совпадает с координатной осью, то потен- циал течения от диполя имеет вид где д д " д " д — = — сов(1, х)+ — сов(1, у)+ — сов(1, г) д1 дх ' ду ' дг — производная по направлению оси диполя. в 3. ОБТЕКАНИЕ СФЕРЫ (3.1) и граничным условиям на поверхности сферы (3.2) и на бесконечности (3.3) Записывая уравнения Лапласа в сферических координатах и учитывая, что течение осесимметрично н ~р не зависит от Х, получаем для функции ~Р = ~Р(г, О) следующее уравнение: — (г' я~п 0 — ~) + д (вп 0+) = О.
(3.4) !'раничные условия (3.2), (3.3) можно записать в виде (рис. 39) — =исозО; д(р дп ~ х (3.5) г>, ), = ~' сов О, ов ), = — Р з1п О, ох ), = О, (3.6) !90 Рассмотрим сферу радиуса Я, движущуюся со скоростью ц вдоль оси г; вектор скорости набегающего потока Ч направлен по оси г. Требуется найти потенциал скоростей <р, удовлетворяющий уравнению Лапласа или 1зз д /1~ (р= Рг — — (à — и)— 2 дг ~г)' Очевидно, что первое слагаемое есть потенциал поступательного потока со скоростью 1г, а второе — потенциал диполя с моментом М = 2пРз(и — 1г).
Таким образом, обтекание сферы может быть представлено в виде наложения двух таких течений. Если сфера неподвижна, то и = О и ~р = У (г + — —,) соя 0. Если жидкость на оесконечностн покоится, то Г = О и 1зз ~р= — —,, и сов О. 2гз (3.16) (3. 17) Изучим распределение скоростей на поверхности неподвижной сферы (и = О). Из (3.16) имеем 1зз 1зз о,= У[1 — —,) совй, о~= — У(1+ —,) ь!пз.
На поверхности сферы з Ог~]г р=О Оа]г р= $'гэ1ПО ° (3. 18) Максимальное значение величины скорости на поверхности сфез ры равно — 1г, оно достигается в точках 0 = -1- зт/2. Напомним, что в случае обтекания бесконечного цилиндра потенциальным потоком идеальной несжимаемой жидкости максимальное значение скорости на поверхности цилиндра равно 2Г. Из интеграла Бернулли ,г 1;г 2 р 2 р имеем р — р 1гз / 9 = — ~1 — — з1п~ 0 р 2 з, 4 з 4.
ФУНКЦИЯ ТОКА ДЛЯ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ТЕЧЕНИИ При рассмотрении осесимметричных течений удобно использовать цилиндрические координаты. В цилиндрических координатах уравнение неразрывности имеет вид (см. (4.16) гл. П) — [ — (р,) + — о + — (р,)] = з. 1 д д д (4,1) 192 Из симметрии распределения давлений следует, что главный вектор всех сил давления равен нулю. В этом заключается парадокс Даламбера в случае обтекания сферы потенциальным потоком идеальной несжимаемой жидкости. В осесимметричном течении, если ось симметрии принята за ось а, все гидродинамические величины не зависят от О. Поэтому в этом случае из (4.1) имеем — (рор) + д (рог) = О.
д д (4.2) Рассмотрим выражение роро — ро,Ир. Вследствие (4.2) оно является полным дифференциалом некоторой функции ф (р, г) Иф р0р (Й р0д ф (4.3) Но по определению полного дифференциала д Р+д д$ д$ (4.4) Поэтому 1 д$ 0 Р р дг' (4.5) (4.6) Здесь и — внешняя нормаль к дуге АВ. Учитывая, что в цилиндрических координатах векторы ч н и имеют соответственно проекции ор, О, о, и пр, О, и„ перепишем (4.6) в виде Ц= ~ ~ (с пр+ сп) НЯ. 7 зак, 1031 1 дф 0 р др' Функцию ф(р, а), существование которой является следствием уравнения неразрывности и производные от которой по координатам связаны с компонентами скорости соотношениями (4.5), называют функцией тока для осесимметричного течения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
