Лекции по гидроаэромеханике (562036), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Положим ~о' (~) = ю' (г (~)) = К' (~). (2.3) Будем искать функцию 1Г(~), определенную во внешности единичного круга в плоскости ~, удовлетворяющую условию на бесконечности ИЮ' Я) (2.4) ~" С) =Ф'(р, О) + 'Ч"'(р, 0). (2.5) Условия обтеканпя для функции тока возмущенного течения 1~'(х, у) записываются на разрезе ( — а, +а). Этому соответствует задание значений функции Ч" (р, О) на окружности р = 1 Учитывая, что ~'(х, у) = Ч'(р, О), получаем условие для Ч" (р, О) на окружности р = 1 в виде —Ь'~У „(асозО) — аасоз01, 0<0 <л, Ч" (1, О) = (2.6) — Р [У „(а сов О) — аа сов О~, л ( О ( 2л.
17~ и соответствующему условию на окружности единичного радиуса. Запишем это условие. Положим ~ = ре'8 и введем функции Ф'(р, О), Ч" (р, О) такие, что Введем функцию я-, (а .. е) 0(0(л, ! (О) = я-„ (а с. е) (2.7) гг( О (2л. Тогда 1гп 1г~'(~) = аГ (асоэΠ— ~(0)). (2.8) Функцию 1Г(~), заданную во внешности круга Р = 1 и удовлетворяющую условиям (2.4) и (2.6), будем искать в виде Г' К) = —, )п~+ ~ где с. = а„+ гЬ„. Из (2.9) получим г оо Ф')Р, В) = — „В + ~ — „)а„спп пВ + б„п|п пВ), г ~ ~пп Ч' (Р О)= — ~ 1пР+~ —,( — а„з!ппО+Ь„соэпО). =О Р На окружности Р = 1 будем иметь Ч" (1, О) = ~~' „,(Ь„созпΠ— а„з[ппО). Сопоставляя (2.8) и (2.11), получаем ~~) „, (Ь„сов пΠ— а„з)п пО) = аГ (а сов Π— 1 (0)).
Разложим функцию 1(О) в ряд Фурье: 1 (О) = ~~) „, (а„соыгО + Р„81п пО) и подставим этот ряд в (2.12). Тогда получим ~~) „,(Ь„созпΠ— а„з[ппО) = = а Г [а спп  — ~ „, )а„спп пВ + ))„пп пВ)1, Из последнего уравнения найдем коэффициенты а„, Ь„: а„= Рар„, п)~1, (2. 10) (2. 11) (2.12) Ь, = — аГа,, Ь, = аГ (а — а,), Ь„= — аГа„, и ) 2. й~' дС~ ! дС~ ! их ))е их ))е а я!и е ' сЯ 118 Для определения Г воспользуемся постулатом Чаплыгина— Жуковского, согласно которому скорость в задней кромке профиля (я = а) должна быть конечной, и, следовательно, в этой точке должна быть конечной производная —.
В силу того что И)р' дх ) в задней кромке, которой соответствует О = О, должно быть вы- полнено условие (2.13) Воспользуемся формулой (2.10) для Ф'(р, О) и запишем значе- дФ' ння производной — на окружности р = 1: ~е дФ1 à — = — +,7 ( — пп„з1п пО + пб„сов пО).
% 3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОБ ОБТЕКАНИИ ПРОФИЛЯ С НУЛЕВОЙ ТОЛЩИНОЙ В этом и следующих параграфах излагается решение задачи обтекания тонкого профиля по методу Л. И. Седова. Заменим профиль его средней линией и рассмотрим задачу обтекания дуги у = 9' (х) (рис. 35). В этом случае у* = у* = = у'(х) и 9' (х) = у*(х) — ах (см. (1.3), (1.5)). ды Будем искать комплексную скорость возмущений — = = о' — 1о'„, удовлетворяющую на бесконечности условию — =(о'„— 1о') ~ = 0 (3.1) и на контуре условиям (1.15), которые теперь запишем в виде о'„(х, +О) = 17 — „ дУ о„'(х, — О) = ~' -~ —.
ды) Вместо — рассмотрим вспомогательную функцию Г ~ (~) = (3.2) (3.3) 179 Отсюда, учитывая (2.13), находим оставшуюся до сих пор не определенной циркуляцию Г: Г= — 2л ~~. '„, пБ„. Таким образом, оказываются известными все коэффициенты, входящие в разложение (2.9), для функ- Р ции К'(~). 3 а м е ч а н и е. Тригонометрические ряды в ряде случаев можно просуммиро- д вать и получить решение в замкнутом виде. Однако решение в замкнутом виде, как показано ниже, можно получить и Рис. 35. сразу.
Для однозначности выберем ту ветвь корня, которая обеспечивает его положительное значение при я = х ) а. Аналитическая функция ~(я) определена во внешности профиля, однозначна и в силу (3.1) стремится к нулю, когда я стремится к бесконечности. Если найдем 1(я), то станет известной и искомая ((Ш скорость возмущений Будем искать ~(я) во внешности разреза ( — а, а).
Пусть Е( — контур, охватывающий отрезок ( — а, а), п г — точка вне этого контура. Введем функцию комплексного переменного Ф(0=- ~ ', 1 11) (3.4) Далее учтем, что равенство (3.6) имеет место при любых контурах Е( и Ед. Поэтому выберем в качестве контура Е~ окружность большого радиуса Я и устремим Я к бесконечности. Интеграл по Е~ при этом устремится к нулю, так как ~~~)-э О при ~ -з. оо, Таким образом, равенство (3.6) примет вид 2п((ф -(- ~ Фф И~=О считая я параметром. Функция ФЯ) имеет полюс первого по. рядка в точке (", = я.
Окружим эту точку замкнутым контуром ( ) 1 и проведем контур Е~ так, чтобы он содержал внутри себя контуры 1 и 1, Обозначим чег рез Я( и Я, разрезы, соединяю- щие контур 1 с Е( п Е~. Контур '17 Е (рис. 36), состоящий из контуров Е,, 1, Е~ и разрезов Яь Ф., проходимых два жды, ограничивает односвязную область, в которой функция Ф(~) регулярна. Интеграл от функции, вычисленный по этому контуру, равен нулю: Рис. 36. сР ф Н~ = О. (3.5) Поскольку интегралы по разрезам, проходимым в противоположных направлениях, в сумме дают нуль, из (3.5) следует, что ~ е © (~ -(- ~, е (ц (~ -(- ~, а (ц (~ = ((. (зд Первый интеграл в (3.6) вычислим по формуле Коши д~ = 2л11 (Я).
~ — 2 180 ыли (3.7) ~+а /~+И+а /а+~ с, ~ — а ~/ ~+сΠ— а ~/ а= а на нижнем равенство (3.8) можно переписать в виде 1 Г /а+~ „(1, +О) — 'а Й, +О) ~ (а) = — — ~ ~~/ Д~— 2л.)-а ~/ а — ~ 5 1 Га /а+~ а (~, — О) — 1о~($, — О) с$. 2л .)-а Ч а — $ Объединим в этом выражении члены с о' и члены с т>'. к Д / / 1 (а /а+ ~ ~х(~, +О)+ "х(~, — О) + 2т~ .) -а '~/ а — ~ $ — я 1 / + — ( ' " " с$. (3 9) 2л .) — а'Ч а — ~ $ — я Учтем теперь граничные условия (3.2) для проекции на ось у скорости возмущений т>„(~, +О) — о„(1, О) — 1 ~У ($) и примем, что о„'Я, +О) + о',(~, — О) =О. (3.1 О) 181 Специализируем теперь вид контура 1.ь Выберем 1.~ в виде, указанном на рис. 37, и будем стягивать Е~ к отрезку ( — а, а), устремляя в к нулю.
Интегралы по окружностям с~ и с2 при этом будут стремиться к нулю. В результате получим ~(2) = Г- ~(~+,О) с, С~ 2ж' ~ ~ — г 9 — —,"' а~. (з,8~ ! Введем компоненты скорости Рис. 37. о,'(К, т)), о„' 5, т)) в подыштегральные выражения в (3.8). Из определения (3.3) для ((~) следует м=~ск+ ч)=[.'„ск, ч)- '„а, ч)1 /',;,'"„'. Так как на верхнем берегу разреза Подставляя (4.7) в (4.6), получаем д~' ~l ('а ~" Д) ~а !! 9' .(~) !!г Л ~-а ~ — ~ ~,)-а Т а к к а к ~ (а) = ~ ( — а) = О, то ,-!!;,' ~l ('а Я ' (~) Л,) -а (4.8) Из (4.8) видно, что постулат Чаплыгина — Жуковского выпол- няется, если задняя кромка профиля я = а — точка возврата (~(а) = ~'(а) = О).
ф 5. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОБ ОБТЕКАНИИ ПРОИЗВОЛЬНОГО ТОНКОГО ПРОФИЛЯ Л, И. Седовым был предложен метод, позволяющий получить решение задачи обтекания произвольного тонкого профиля, если известно решение двух задач, рассмотренных в ~ 3 и 4: обтекания профиля без толщины и бесциркуляционного обтекания симметричного тонкого профиля. Рассмотрим тонкий профиль произвольной формы у, = ~, (х), у„= ~„(х).
(5.1) Образуем профиль без толщины У в (х) + У „(х) у =у„— (5.2) и симметричный профиль !! У (х) — У „(х) Ув 2 (5.3) У, (х) — У „ (х) !! !! в н в 2 Очевидно, что у — у! + ~р1! у у! + у!1 (5.4) на контуре $'(х, +О) = — $'У',(х), чф'(х, — О) = — Ь'~„(х) (5.5) и постулату Чаплыгина — Жуковского. Пусть функции ! !! (я), в!! (я) — потенциалы возмущений в случае обтекания профилей (5.2) и (5.3) соответственно. Эти 184 Требуется найти комплексный потенциал возмущений в'(я), заданный во внешности контура (5.1) и удовлетворяющий усло- виям на бесконечности '„,~ =0, функции также удовлетворяют условиям обтекания и постулату Чаплыгина — Жуковского.
Граничные условия для этих функций имеют вид Р Р Й~~ — =О, — =0; Ня (5.6) Р У, (х) + У „(х) $~ (х, +0) = ~~ (х, — 0) = — (' (5.7) Р У, (х) — У „(х) $п (х, +0) = — ~п (х, — 0) = — ~~ Составим функцию в„, (я) = ы', (я) + в'„(~). Очевидно, что эта функция удовлетворяет условиям на бесконечности и постулату Чаплыгина — Жуковского. Нетрудно, учитывая (5.6) и (5.7), убедиться в том, что эта функция удовлетворяет и условиям (5.5) на верхнем и нижнем берегах разреза ( — а, +а). Поэтому искомая функция аг'(я) =со',и (я).
Таким образом, комплексный потенциал возмущений обтекания произвольного тонкого профиля складывается из комплексных потенциалов возмущений обтекания профиля без толщины и бесциркуляционного обтекания симметричного тонкого профиля. Для комплексной скорости возмущений имеем (5.8) о~ р (2 р, 2 + р 2 + р Учитывая, что п2= о'+ о' =(Г+ о )2+ о и пренебрегая величинами о',, о', получаем Го + — =— р к р р 185 После того как решена задача обтекания, нужно найти давление и подъемную силу. Поскольку жидкость идеальна и движение установившееся, воспользуемся интегралом Бернулли Подставляя (4.7) в (4.б), получаем Так как У (а) = У ( — а) =О, то Ду' ~l ('а 9 ' (~) д7 л .)-а х — ф (4.8) Из (4.8) видно, что постулат Чаплыгина — Жуковского выпол- няется, если задняя кромка профиля г = а — точка возврата (У (а) = У '(а) = О).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
