Лекции по гидроаэромеханике (562036), страница 27
Текст из файла (страница 27)
> и и' и и' ~~~со ~~ ~со ~П -+ со Присоединив к (16.21) найденную функцию а=1(1), (16.22) можем исследовать решение задачи в параметрическом виде, используя сразу (16.21) и (16.22). Обычно важно знать скорости йи б~ Обычно делают от двух до пяти приближений в зависимости от требуемой точности. Наиболее трудоемкими процедурами являются вычисление коэффициентов Фурье (вычисление квадратур) и решение серии трансцендентных уравнений для отыскания Ов(9 '), Ол (/г'")) и /г( Расчеты показывают, что наибольшие ошибки получаются около задней кромки и около носика профиля.
Решение может быть несколько упрощено за счет хорошего выбора нулевого приближения. Можно модифицировать метод Нужина, взяв за пулевое приближение не пластинку, а теоретический профиль, например обобщенный профиль Жуковского, близкий к исходному профилю в носке и задней кромке. Мы получили приближенно отображающую функцию г = = ~(~) в виде ряда.
Однако для решения задач обтекания нужна обратная функция (". = Р(я). Обращение функции я = ~(~) может оказаться затруднительным (особенно вблизи профиля). Можно отказаться от построения Р(я) и е)(я) и использовать функцию %'(~); %'(~)= И„~+ " + . 1п~. (16. 21) Имея (16.21) и (16.22), можем вычислить скорость Н 117 Н~ Н 117 1 0= — — = —— И~ Н~ Н~ ~1~ ~Ц Решение получим в виде 0 = б (~), г = г (~). з 17. НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ О ПЛОСКИХ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ДВИЖЕНИЯХ ИДЕАЛЬИОА НЕСЖИМАЕМОА ЖИДКОСТИ Ранее говорилось о том, что для безвихревых течений существует потенциал скорости ср, а для несжимаемой жидкости— функция тока тр.
Из определения этих функций следуют условия Коши — Римана д~р дф дх ду ' д~р дф ду дх ' (17.1) которые в свою очередь эквивалентны уравнениям д'~р + — ~=0; д~з + — ', =О. д'ф дую (17.2) д2$ (17.3) дхз д(р д(р ~ — дС > ! — д11 (17.4) условия на поверхности обтекаемого тела и условие конечности производных —, — в острой кромке.
д~р д~р дх' ду Для ср мы имеем внешнюю задачу Неймана. (17.5) 172 Таким образом, возможны три формулировки задачи— об отыскании потенциала ср (для этой функции справедливо уравнение (17.2)); об отыскании функции тока тр (из уравнения (17.3) ); об отыскании комплексного потенциала ы(г) (она была сформулирована и решена для обтекания ряда контуров в настоящей главе) . Все три задачи эквивалентны друг другу.
Например, если известна функция ср, то с точностью до константы можно найти ф, и, следовательно, в(г) = ср+ ~ф. Но формулировки задач различны. Пусть решается задача для ~р. Имеем уравнение (17.2), условия на бесконечности Если решается задача для ф имеем уравнение (17.3), условия на бесконечности д дф ~ дф ! дсс с ' дх, сс (17.6) условия на обтекаемом контуре 1~1 — — С (17.7) дФ д4~ (может быть, С = 0) и конечность —, — в острой кромке. дх ' дд Для ~ имеем внешнюю задачу Дприхле.
Ту же плоскую задачу можно формулировать как задачу об отыскании ы (~), исходя из того, что Ре ы (~) = ср или что 1гп ы (я) = ф: найти комплексную функцию а(~) такую, что ее действительная часть удовлетворяет всем граничным условиям для ср, найти ы(~) такую, что ее мнимая часть удовлетворяет граничным условиям для ф. Г Л А В А Х111 ТЕОРИЯ ТОНКОГО КРЫЛА э 1. пОнЯтие тОнКОГО КРылА и УслОВиЯ ОБтеКАниЯ ДлЯ ТОНКОГО ПРОФИЛЯ Крыло будем называть тонким, если, во-первых, мало отношение толщины крыла к длине его хорды 2а п, во-вторых, мал угол между направлением касательной в любой точке профиля и хордой.
Кроме того, будем считать, что угол между направлением скорости и направлением хорды (угол атаки) мал. Выберем систему координат х, у так, чтобы скорость Р па бесконечности была параллельна оси х, и поместим начало координат в середину хорды профиля. Пусть у,=У ~(х), у„= У. (х) (1.1) — уравнения верхней и нижней поверхностей крыла. Для тонкого профиля должны быть выполнены следующие неравенства: !Г~(х) 1 з'- 2(х) ! д!Г~(х) ~ Й7 2(х) (1.2) Заметим, что обычные профили, с которыми приходится иметь дело при дозвуковых скоростях полета, имеют закругленную переднюю кромку и не являются тонкими в смысле данного определения.
Поэтому следует иметь в виду, что решение, построенное с учетом упрощений (1.2), не будет годиться в окрестности носика. Кроме того, исключаются из рассмотрения задачи об обтекании профилей под большими углами атаки. Кроме системы координат хОу введем скрепленную с профилем систему координат х'Оу', направив ось х* по хорде профиля ( — а, а) . Угол между направлением скорости Р оси Ох и хордой оси Ох' есть угол атаки и (рис. 34). Пусть у', = У, (х*), у,", = У, (х*) (1.3) — уравнения профиля в этой системе координат. Учитывая связь между х, у и х*, у" х'=хсози — уэ1па, у"=хМпа+усози 174 В этой главе рассматривается задача об обтекании тонкого крылового профиля потенциальным потоком идеальной несжимаемой жидкости.
Предположение о тонкости профиля позволяет сделать ряд существенных упрощений в общей постановке задачи. и малость угла а, имеем х'=х, д'=хи+ у. (1.4) Уравнения профиля (1.3) в системе координат х, у с учетом (1.4) примут вид хи+ у, =У „(х), хи+ у„=У „(х), или ю~(г) = 1~а + -с (~), (1.6) Рис. 34. где Г~ — комплексный потенциал поступательного потока, имеющего скорость $~, а ы'(~) — комплексный потенциал возму- щений. Очевидно, что на бесконечности ды 1 дю' д~ ~ ' дг Учитывая определение комплексного потенциала ю (2) = я~(х, у) + 1ф (х, у) н (1.6), можем написать ср (х, д) = 1'х + ср'(х, у), (1.8) $ (х, у) = 1~у + ф'(х, у), Здесь ср', ф' — потенциал скорости н функция тока возмущен- ного потока. Чтобы решить задачу об обтекании тонкого про- филя, достаточно найти ы'(я).
Получим условие, которому должна удовлетворять функция ~'. Поскольку контур крыла 5 должен являться линией тока, то, не ограничивая общности, можно положить (1.7) ч7~ = — О. (1.9) Подставляя (1.5) и (1.8) в (1.9), получаем для верхней и нижней частей профиля ф' (х, у„) = — $~ (У „(х) — их), ф'(х, у„) = — 1~ (!7 „(х) — их).
175 у, = У, (х) — их, у„= У, (х) — их. (1.5) Перейдем теперь к рассмотрению общей постановки задачи обтекания и тех упрощений, которые могут быть сделаны в ней в случае тонкого профиля. Как было установлено ранее, задача об обтекании профиля будет решена, если найдена функция ы(я), удовлетворяющая условиям на бесконечности, условиям обтекания профиля (сформулированным для функции ф или ~р) и постулату Чаплыгина— Жуковского. Представим комплексный потенциал ы(я) в виде Ъ' читывая, что топкое крыло вносит Б поток малые Возмущения, разложим функции ~'(х, у,) и ф'(х, у„) в ряд Тейлора по сте- пеням у, и у, в окрестности у, = у. = 0: / 9 ~х, р.) =Ф'~к, -~-О) -~- " ~ у„-~- ~ (., у„) = Ф (х, — О) + ', у„ + ...
(1.1 1) Подставляя (1.11) в (1.10) и ограничиваясь членами первого порядка малости, получаем условие обтекания для функции тока ф'(х, у) в виде ~1Ф' (х, + 0) = — Ь' (9- „(х) — ах), ф' (х, — 0) = — $' (У „(х) — ах). (1.12) Таким образом, задача об отыскаиш ы(я) вне профиля по заданным значениям ф(х, у) на его контуре для случая тонкого профиля может быть сведена к задаче об отыскании в'(я) вне разреза ( — а, а) по заданным значениям (1.12) для функции ф' на разрезе. При этом должны быть удовлетворены условия на бесконечности (1.7) и постулат Чаплыгина — Жуковского. Получим теперь условия обтекания, выраженные через компоненты скорости.
Представим о (х, у), о„(х, у) в виде (1.13) где о'„, о„' — скорости возмущений. Учитывая, что на контуре о„= о„1д~, можем записать (1.14) (1.15) Таким образом, условие обтекания топкого профиля может быть записано через скорости иа верхней и нижней сторонах разреза ( — а, и). 176 Разлагая функции о' = о' (х, у,) и о' „= о„'(х, у„) в ряд Тейлора по степеням у, и у„в окрестности у, = у„=О и ограничиваясь в (1.14) малыми первого порядка малости, получаем условия обтекания в виде ф 2.
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОБ ОБТЕКАНИИ ТОНКОГО ПРОФИЛЯ МЕТОДОМ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ Будем искать комплексный потенциал обтекания в(г) в внде (1.6) . Комплексная скорость возмущенного потока = о — и ~1~~' к у' Очевидно, что на бесконечности выполнено условие =О. дг (2.1 ) Задача состоит в нахождении функции в'(я), удовлетворяющей условию (2.1) на бесконечности, условиям обтекания и постулату Чаплыгина — Жуковского. Условия обтекания, записанные для функции тока, имеют вид (1.12), а для компоненты скорости о' — (1.15). Как было показано в ~ 1, эти условия записываются на верхнем и нижнем берегах разреза ( — а, а). Перейдем от комплексного переменного я к комплексному переменному ~, используя преобразование Жуковского (2.2) Это преобразование переводит внешность единичного круга н плоскости ~ во внешность разреза ( — а, а) в плоскости я.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
