Лекции по гидроаэромеханике (562036), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Иэ рис. 32 О',П', а.,'Р,' ' видно, что 00' = В'0' — с = — В'С' — с 1 1 2 (15.14) ОО,' = с — В'О,,' = с — — В'С,'. (15.15) Так как треугольники В'6;0', и нику В'Р'О, то / / ар, ар, В'О'0' подобны треуголь- Р О // ОВ с (15.16) Отсюда 1 / ОР' — П С~ — с — (с+ОС)) — с ] 2 с / — (15.17) Ю ОС,+с Аналогично ОР> с с — ОС2 (15 18) ао, / с+ОС При преобразовании инверсии вещественная ось переходит сама в себя, при этом точки пересечения С', и С' окружностей С, и Е, с~ являются соответственными, т.
е. ОС,'=, . Таким образом, ОС с~ / с —— / / / ОР~ с ОС~ с ОС~ — с ОР1 (15. 19) Ос,' !65 Отсюда следуют симметричность расположения лучей 00', и 06,' относительно мнимой оси и способ графического построения окружности 1 2 ° Каждой точке ~'=~ ~'~а'~ окружности 1,~ будет соответство- С' вать точка Ь"=, а-'~ окружности Е2. 1Г1 В. Решение задачи об обтекании профилей Жуковского Комплексный потенциал обтекания круглого цилиндра радиуса Я в плоскости ~( имеет вид и' Я() =/го„~(+ ~ + ~ . 1п (25( Я2 Г (15.20) (о = ~ о 1е").
Чтобы из (15.20) получить комплексный потенциал е((г') обтекания профиля Жуковского, мы должны: 1) выразить ~( через я; 2( найти й= ( 1 3( определ~зть диркулянию Г при поl. дг' (21~1 мощи постулата Чаплыгина — Жуковского (профили Жуковского имеют одну острую кромку) . Согласно (15.12) ~, + д= — (г'+ 4 — 4с~), откуда с уч ето м (15. 11) (~= — (я'+~(я' — 4сз) — (й( — ее Я) (15.21) Из формулы (15.12( следует, что й= — ~ =1.Для ниркуля- (212' ции Г, исходя из постулата Чаплыгина — Жуковского, была получена формула (9.9).
В нашем случае аргумент Оо в пло. скости (,( точки В', в которую переходит острая кромка прочь зк филя, равен ( — — ). С учетом выражения для (( из (9.9( по- лучим Г = 4п(т( о (з(п ( — — — а) = У 2 = — 4п(,/сз -1-Да+ атз(п(а+ У)(с ( (1522( Если провести из начала координат под некоторым углом Гр вектор ~' до пересечения с окружностью ~ь а затем — под углом ( — Гр) вектор ~" до пересечения с окружностью ~2 и прибавить второй вектор к первому, то получим некоторую точку Р С2 профиля Жуковского (рис. 32, б) г' = ~'+ ~"= ~'+ — ', .
По ряду точек мы легко сможем вычертить весь профиль. Подставляя (15.21), (15.22) в (15.20), получим окончательный вид комплексного потенциала обтекания профиля Жуковского и(г(=(о (е "[ — (г'+~(г' — 4сат — ((т1 — ае ')]+ +! о )е" Ый +с +е) + 1 о — (я' + ~/я' — 4с ) — ~,121 — ее / 2 + 2((5(от+ Йа+ а) а(п (а+ т)(о (Х Х 1и [ — (г'+ 'т/г' — 4еа) — ((и' — ае ' )] . (15,23( Те профили, у которых угол между верхней и нижней касательными в задней острой кромке мал, не являются прочными (у профиля Жуковского соответствующий угол вообще равен нулю).
Поэтому вместо них рассматривают так называемые обобщенные профили Жуковского*. Для их построения используют преобразование Кармана — Треффтца я — (тс ~ — с (15.24) 22т — Ь Ь Если (т= = 2 — —, то в результате преобразования 2а 2в (15.24) окружность плоскости ~ перейдет в профиль плоскости г, у которого угол между касательными в задней кромке равен о (см.
Рис. 27). Если о = 2, то получим преоб1зазование Жчковского. Наряду с преобразованиями (15.24) для построения оолее сложных профилей используются преобразования вида а2 А( А2 а=~+ — + — '+ — + ... ~2 ~З (преобразования Мизеса). $16. ОБТЕКАНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО ПРОФИЛЯ. МЕТОД НУЖИНА В предыдущих параграфах было рассмотрено обтекание нескольких типов контуров (эллипс, пластинка, профили Жуковского), для которых конформное преобразование внешности профиля во внешность круга найдено точно.
Для расчета обтекания профиля произвольной формы имеются различные методы, использующие идею приближенного копформ ного отображения внешности заданного профиля на внешность круга (методы Теопорсена, Симонова, Серебрпбского, Нуцг нна(.
В настонптем ' Н. Е. Ж у к о в с к и й предлоркил способ геометрического построения подобных профилей. Он назвал их профилями типа 4А(4туанетт», 167 параграфе будет рассмотрен метод приближенного построения конформного отображения внешности заданного контура на внешность круга, предложенный С. Г. Нужиным в 1947 г.
Лля этого метода доказана сходимость процедуры последовательных приближений. Пусть в плоскости г задан профиль 1 (рис. 33) . От метим точки А и В, наиболее удаленные друг от друга. Введем систему координат таким образом, что ось х будет направлена по хорде АВ, начало координат расположим в ее середине. Пусть уравнения верхней и нижней частей профиля у, = у„(х), у, = у„(х). (16.1) Прп построении функции г = ~(~), осуществляющей отображение внешности профиля (16.1) на внешность един!!чного круга в Рис. 33. плоскости ~, будем иметь в виду, что бесконечные точки в пло- Йг ~ скостях г и ~ соответствуют друг другу и — ~ ) О.
й,~ Будем искать функцию г = 1(!".) в виде ряда я= !(Ц = Й~+ Й,+ ~ (16.2) л 1 Йг ~ Здесь й = — — вещественное положительное число. Пусть Уг„= а„+ КЬ„(п = О, 1, 2, ...). (16.3) Подставляя (16.3) в (16.2), учитывая, что в плоскости ~ на окружности Г единичного радиуса ~ = е'и, получаем г = х + !у = /г (сов 6 + ! 81п 6) + а + КЬ, + ОО + ~~' „, (а„+ ЕЬ„) (сов п6 — Е 81п гю6). (16.4) Отсюда х = а, + (/г + а,) сов 6 + Ь, 81п 6 + ~~' „, (а„сов п6 + Ьл 3 !и п6), (16.5) у = Ьа + Ь, сов 6 + (lг — а,) 31п 6 + ~~' „, (Ь„сов п6 — а„з !и п6) При изменении 6 от О до 2л точка с координатами х и у должна описывать контур 1 в плоскости г, Нужно найти такие 168 коэффициенты й, а, и Ь„, чтобы формулы (16.5) были параметрическими уравнениями заданного профиля.
Задача о нахождении коэффициентов разложений (16.4) и (16.5) решается приближенно. Здесь нужно учесть, что для любого метода последовательных приближений очень существен выбор нулевого приближения. В методе Нужина за нулевое приближение была принята функция Жуковского (о) но) (р " (~+ 2~ ~/' (16.6) которая отображает внешность круга на внешность отрезка [ — а, а]. Согласно (16.6) хР>=асов 6, уИ) =О. (16.7) Формула (16.7) устанавливает соответствие между х и 6.
Если 6 меняется от 0 до л, имеем верхний берег разреза, если 6 меняется от л до 2л, — нижний. Сопоставляя (16.7) с (16.4) и (16.5), получаем Ф(о) 2 ' Ь<о) О, )о) о — ) 2' (16.8) Ь~ю)=0 (п=2 3 ) алло> = 0 о у а~о) = О, Ь<о) = О, Для того чтобы в следующем приближении учесть толщину профиля, в формулах (16.1) заменяют х на х~о) из (16.7). Тогда в первом приближении будем иметь у~," = у, (а сов 6), 0 ~~ 6 ( л, у~," = у„(а сов 6), тс < 6 < 2л, или ~ д, (а 6), 6 = [О, ~], д >(6)=Г 1, у„(асов6), 6 е= [тс, 2л].
(16.9) Функцию ус') (6) можно разложить в ряд Фурье: ~ц) дпла)=++~ (ап>с па+))о~ )п~а), <и.)о) п 1 169 Ряд (16.10) может быть использован для нахождения в первом приближении коэффициентов разложений (16.5). Запишем (16.5) для первого приближения: х") = а1') + ()г11) + а111)) сов О + Ь111) в1 п О + + ~„, (ап) соя пО+ Ь11) 81п пО), у") = ЬО11) + Ь11" сов О + ()г11) — а1')) в1 и О + + ~, (Ь1') сов пΠ— а1" в1п пО). (16.11) (16.
12) Сравнивая (16.10) и (16.12), получим а11) Ь1 1) 2 о ац) — Ь11) и и > а11) = Ь1", 1 1 (16.13) р1" = Уг1" — а11", Д11) = — а11) (и = 2, 3, ...). Из выбора системы координат следует, что в любом приближе- нии должно быть (16.15) ХВ = Х>пах ХА Хп>1п При этом в первом приближении точкам х,„= хв и х 1„— — хА соответствуют значения О~" и 0~„'), которые не равны значениям Ов — — О и О„= л. (При хорошем выборе нулевого приближения 01" и 01„') будут близки к величинам О и л.) Из равенства дх1 ) =О (16.16) получим 011) 011) (ф11)) 011) = 01и ()г11)) А А (16.17) (при дифференцировании (16.14) коэффициент а,") исчезает, неизвестным остается лишь )г11)).
Подставим экстремальные значения О в (16.14) и образуем выражение х1" (Уг11)) — х1') (111)) = 2а. (16.18) Из (16.18) находим численно 111). Потом из любого равенства (16.15) найдем ао11). Тогда все коэффициенты разложения (16.2) будут определены, т. е. нам будет известна функция г=Р(1) (16.19) 17О Из (16.13) видно, что у нас нет данных для определения а1') и 111) (аШ= й1" — р1").
Укажем условия, из которых их можно 1 1) найти, Подставляя (16.13) в (16.11), будем иметь х1') = а1') + (2Уг11) — Д11)) сов О + а1') в1 и О + + ~„, ( — р11) соз пО+ а11) з)ппО). (16.14) Для дальнейшего уточнения решения нужно по существу повторять ту же процедуру, которая позволила перейти от нулевого приближения к первому. Так, для получения второго приближения надо найденное х("(О) подставить в (16.1), в результате чего найдем у (х(" (О)), О'"(О (0()), у, (х(" (О)), 0(" ( О ( 0(" + 2л, у(2) (О) где 0(" и 0(" определены в (16.17) с учетом (16.18). Имея (16.20), можно провести вычисления, аналогичные проделанным при получении первого приближения, и найти второе приближение я = ~(') (~). Подобным же образом могут быть определены третье и последующие приближения. Для метода Нужина доказана сходимость, т. е. доказано, что Ип1 /г("'~=/г Игп а("') =а 1пп Ь("'=Ь .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
