Лекции по гидроаэромеханике (562036), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Картина обтекания приведена на рис. ЗО, а. Определим силу, действующую на пластинку, используя формулу (14.8) для циркуляции. По теореме Жуковского Я=срб Г = — 2лсра| о ~-"е '" э1па. (14. 10) Откуда Р, = — 2лр~ о Ра з1п-'а, Р„=2лр~ о ~-"аэ1пасоэа. Интересно отметить следующее. Хотя в идеальной жидкости все элементарные напряжения нормальны к иластинке, возникает результирующая сила Р,-, направленная по касательной к ией. Это связано с тем, что постулат Чаплыгина — Жуковского накладывает ограничение на величину скорости лишь у задней острой кромки.
Если представить себе переднюю кромку закругленной, имеющей малый радиус кривизны, то скорости вблизи (14.11) Рис. 30. (14.12) Часто рассматривают коэффициент подъемной силы Р С 1 р)~~ )2Я (14. 13) В случае плоского течения за 5 принимают произведение хорды на единицу размаха крыла.
В нашем случае 5 = 2а н Ср —— 2л э1п а. (14.14) 160 носовой части будут очень велики, а давление, согласно уравнению Бернулли, мало. Образующаяся разность давлений между кормовой и носовой частями профиля приводит к появлению некоторой «подсасывающей» силы, параллельной оси х. Если радиус кривизны закругления устремить к нулю, то скорость вблизи передней кромки будет неограниченно возрастать, а давление — падать. Непосредственными вычислениями можно убедиться, что при этом «подсасывающая» сила будет стремиться к некоторой предельной величине, совпадающей со значением Р,, из (14.11). Величина силы Жуковского для пластинки Р=(Х~)=2тсар) о (~э1па.
При малых углах а и'С „~~ м 2л. Ср -= 2ла, (14. 15) Ранее была получена формула (13.9) для момента сил, действующих на профиль. Учитывая (14.б), получим выражение для момента сил, действующих на пластинку, в виде аг ЛИ ~= — Йе (2жр(О (~ — е -'") = — —,р(О (гВ~П2а. (14.16) Учитывая (14.12), выражение для ~ можно записать в виде а ~ = — — сова Р. 2 (14. 17) в 15. ОБТЕКАНИЕ ПРОФИЛ Ей ЖУКОВСКОГО А.
Профили Жуковского Было установлено, что конформное преобразование =-'(~+т) (15.1) отображает внешность круга единичного радиуса в плоскости ~ во внешность отрезка [ — с, с1 вещественной оси плоскости я. Перепишем формулу (15.1) в виде С2 2я= с~+— с~ (15.2) и введем новые переменные г' и ~' с помощью преобразования подобия 2г = я', с~ = ~'. (15.3) Тогда получим (15.4) Преобразование (15.4) переводит внешность круга радиуса с в плоскости ~' во внешность отрезка ( — 2с, 2с1 плоскости я'. Перепишем (15.4) следующим образом: 2 г' + 2с, с', (~' + с)~ Г' 161 6 Зак, 1031 Из (14.17) следует, что точка приложения равнодействующей 1 силы находится на расстоянии — части хорды от передней 4 кром ки (р и с.
30, б) . Эксперимент показывает, что результаты, полученные при рассмотрении обтекания пластинки, могут быть использованы для тонких профилей при малых углах атаки. в Рис. 31. Векторы ВА, СА, В'А' и С'А' являются изображением некоторых комплексных величин. Представим эти величины в виде г' — 2с = г,е"', г'+ 2с = г,е'", й",' — с = р,е'Р' ~'+ с = р,е'а . (15.7) Из формул (15.5), (15.7) непосредственно следует равенство Еа та~-ат) ' ) Егу 4,-0т) (15.8) Гг 'м Рг или 1и — ' + ~' (а, — а,) = 21п Р' + 2~' ф, — 1~,). Гг Рг Откуда а1 — а,,= 2 ф, — 1~,). (15.9) Когда точка А' движется по верхней части окружности ~ от В' к С', угол 1~, — 1~2 (илп ~С'А'В') сохраняет постоянное значение как вписанный угол, опирающийся на дугу С'В'.
При этом угол ау — а2 (или ~ САВ) тоже сохраняет постоянное значение, т. е. линия, которую описывает точка А в плоскости г', является 162 Точки й",' = с и ~' = — с соответствуют точкам г' = 2с и г' = = — 2с. Произвольная окружность в плоскости ~' с центром на мнимой оси, проходящая через точки ~' = с и ~' = — с, соответствует некоторой кривой плоскости г', проходящей через точки а' = 2с и г' = — 2с.
Если центр окружности ~ расположен в точке й' = И мнимой оси, то ее радиус р'В' равен ее = Ч/са+ йа (рпс. 31, а). Любая точка А' окружности ~ перейдет в некоторую точку А плоскости г', при этом точки В'~~' = с) и С'(~' = — с) перейдут в точки В(а' = 2с) и С(г' = — 2с). Нетрудно видеть, что ВА = ОА — ОВ, СА = ОА — ОС, В'А' = ОА' — ОВ', С'А' = ОА' — ОС'. (15.Б) дугой некоторой окружности. 1~огда точка А' движется по нижней части окружности ~ от С' к В', точка А такие пробегает некоторую дугу окружности в направлении от С к В. Покажем, что точки й' и Е' пересечения окружности ~ с мнимой осью плоскости ~' отображаются в одну и ту же точку плоскости г'.
Действительно, точке й' соответствует комплексная координата ~в = (/г + ~//г- '+ с')г, а точке Е' — ~'., = (/г— — ~/И+ с-')г. Согласно (15.4) отображением й' в плоскость г' будет являться точка Й, у которой гр — (/г + ~/7г + с ) с +, Ь, (Уг + /Уг2+ с2) е' а отображением Е' в плоскость г' — точка Е, координата которой С2 (/г //гг 1 с );+ ' 2/г; г' Е (~ /~г2 1 ~2); Отсюда следует, что каждая из дуг В'й'С' и С'Е'В' окружности ~ переходит в одну и ту же дугу ВВС плоскости г', но проходимую в противоположных направлениях (рис. 31, 6).
Таким образом, преобразование (15.4) отображает внешность круга ~ плоскости ~' во внешность дужки ВВС плоскости г'. Задача об обтекании дуги может быть решена через задачу об обтекании круга. Рассмотрим теперь проходящую через точку В' окружность ~~, центр которой 6' находится па продолжении отрезка В'г" на расстоянии е от точки Г. Окружность ~~ будет иметь радиус, равный ~//г" + с'+ е, и будет касаться окружности ~ в точке В'. Так как ~, охватывает окружность ~ в плоскости ~', то контур на плоскости г', в который переходит окружность ~,, будет охватывать дугу ВВС, но при этом, подходя к точке В с двух сторон, он будет касаться дуги ВВС (по теореме о сохранении углов).
Полученный таким образом контур носит название профиля Жуковского. Прп заданном расстоянии 4с в плоскости г' профили, получаемые применением преобразования Жуковского к окружностям ~~, характеризуются двумя параметрами. Параметр /г, равный расстоянию по мнимой оси до центра основной окружности ~, в плоскости г' характеризует изгиб или кривизну профиля (его скелетной дужки).
Параметр е, равный сдвигу Е'6' по радиусу центра новой охватывающей окружности ~~ относительно центра основной окружности ~, характеризует толщину профиля (его телесность). Таким образом, профили Жуковского образуют двупараметрическое семейство, зависящее от параметров я/с и е/с. Если через центр 6' новой окружности ~~ провести координатные оси ~~ и т)ь паРаллельные осЯм ~' и Ц', то точки 1ЕЗ комплексной плоскости ~~ будут связаны с точками плоскости ",' преобразованием 1'=11+ а (15.
(О) где д — комплексное число плоскости ~', соответствующее вектору ОС'. Так как Об'= ОГ'+ Г'б', то ~~ = И + ее ( 2 / = И вЂ” ге (15. 11) Здесь через у(2 обозначен угол 6'В'С', (д(у(2) = й/с. Подставляя (1510) в (15А), получим с' г'=1~+ — ' а+1' где д' определено формулой (15.11). Б. Графическое построение профилей Жуковского Рассмотрим одии из приемов построения профилей Жуковского, указанный Трсффтцем. Ряс, 32. Профиль Жуковского в плоскости ~' получался применением преобразования (15.4) к окружности Ь, в плоскости ~'. Пусть в плоскости ~' мы имеем окружность 1,, с центром в точке 6' ч ~ ° = И вЂ” ее ~ радиуса ~й'+ с~+ е (рпс. 32). Проведем о, преобразование инверсии с' ~/Р ~/ В результате преобразования окружность Л.1 перейдет в окружность Л.р (в теории функций комплексной переменной доказывается, что дробно-линейное преобразование, частным случаем которого является (15.13), переводит окружность в окружность) Точка ь' = с переходит в точку ~" = с, т.
е. окружность Ег 164 также проходит через точку В'. В силу конформности преобразования окружность А~ будет пересекать вещественную ось пол тем же углом, что и Ли т, е, Ь~ и 1.г будут касаться друг друга в точке В'. Отсюда следует, что центр 6, окружности 1., лежит иа прямой В'6',. Пока>кем, что луч ОО,' является отражением луча 06', относительно мнимой оси, Проведем перпендикуляры 0',0', н О,',О,', ОР', ОР.', и вещественной оси и докажем, что, ', = ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
