Лекции по гидроаэромеханике (562036), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Отсюда хдх + уф = Ке (Ы2), и, следовательно, А= — — 1' $ е')ее)«4«) = )хе( — 1 $ е'«Ш«). 110.15) 1 Используя (10.7), перепишем (10.15) в виде 5 =-Ке ( — е $ е'е "'«е«) (10. 16) Принимая во внимание (10.9), получаем вторую формулу Чап- лыгина — Блазиуса 1. = Ке ( — — е)4 е'«е«). (10.17) Если движение безвихревое, то 1. = )4е ( — — Е)4 ( — „) «е«) . (10.18) В формулах (10.11) и (10.18) за контур интегрирования может быть взят любой контур, охватывающий контур 1 обтекаемого тела. 3 а м е ч а н и с. Ввсдснная сила й есть величина, сопряженная комплексной величине 1к = г"„+ 1г'„, вещественная и мнимая части которой есть проекции главного вектора на оси координат. Эту величину 1к часто называют вектором силы, или просто силой, действующей на профиль, а величину Я = г"„— — 1г„— сопряженной комплексной силой. 153 1. = Ср $ 1хех+ у Шу) — «$ е'1хух+ у Шу) = = — -Р $ е'1х ух+ у Шу), 110.14) 1 11.
ИНТЕГРАЛ ОТ КОМПЛЕКСНОИ СКОРОСТИ Рассмотрим криволинейный интеграл (= Ойг. (1 1. 1) 1. Предполагаем, что движение потенциальное, т. е. суще- ~1~ ствует ы(г). Тогда О= — и Н~ — Ш~=$ Па=$ (И~+~ Ж=-Ь|+Иф, (112) И~= ~ ~~ й=$ и,й=$ (г„Их+гдду)=Г. (11.3) Таким образом, первый интеграл равен циркуляции скорости по контуру. Второй интеграл, как было установлено раньше, дает расход жидкости через контур (11.4) Итак, при обходе замкнуто~о контура будет Лы = Л~р+ 1'Лф = = Г+19, т. е. интеграл от комплексной скорости равен $ О И~ = Г+ ~'Я.
(1 1.5) 2. Комплексная скорость О(я) есть функция комплексного переменного, которая может иметь особенности в точках внутри области, ограниченной контуром 1. Пусть г,, г~, ..., яь ...— точки внутри ооластп с контуром 1, являющиеся особыми для функции О(г). Обозначим через у~ вычеты в этих особых точках. По теореме о вычетах интеграл по замкнутому контуру равен О пег = 2л1 уь (1 1.6) где у~ — — а~+ ф~. Сопоставляя (11.5) и (11.6), получаем 151 Здесь Л~р, Лф — приращение функций ~р и 1р при обходе контура. Рассмотрим каждый из интегралов в отдельности. Вдоль д~ д~ контура 1 й~р = — Л, где — — проекция скорости на элемент д1 ' д1 контура Л, и потому $12.
ТЕОРЕМА ЖУКОВСКОГО Рассмотрим обтекание некоторого профиля 1 безвихревым потоком идеальной несжимаемой жидкости. Этому обтеканию отвечает комплексный потенциал в(я). Вычислим комплексную силу й по первой формуле Чаплыгина — Блазиуса: г = ~. — Г„= 'о $ ( — '„) аа. (12. 1) О(~) = — "' = А,+ — '' + — '.,' + Гам м л (12.2) Найдем коэффицпепты этого ряда А, и Аь Полагая я = оо, на- ходимм Ао= „=О Рассмотрим криволинейный интеграл от комплексной ско11~е1 рости.
Так как О = — вне 1 ограничена и не имеет особенно- 112 стей во всей внешней относительно / части плоскости я, включая и точку я = ос, то для вычисления криволинейного интеграла достаточно найти вычет подынтегральной функции в бесконечно удаленной точке. По теореме о вычетах, используя ряд (12.2), п ол уч а е м 11~е1 — сЬ~ = 2лсА,. 113 Согласно (11.51 имеем $ — Ша= Г + 1Си. Так как профиль предполагается непроницаемым и в потоке нет источников, то Я = О.
Отсюда Г=2л~А,, А,= —, Г 2тС1' ' Подставляя полученные выражения для Ао и А1 в (12.2), имеем О(я) = — =О + — — + — + с~ы Г ! Л2 (12.3) ~Г~ 2~~1' ~,~га1 аи 2 Чтобы воспользоваться формулой (12.1), вычислим ~ — ): 113 с /и~я ~2 По теореме о вычетах (у ~ — ) д~= 2О Г. 7~~ ) Для комплексной силы й получаем формулу Р= ~рО Г, 155 За контур интегрирования возьмем окружность С с центром в начале координат, охватывающую контур 1. Вне этой окружно- сти и на ней комплексная скорость может быть разложена в ряд. Лорана: где Й ~х ~~~у ~ ~х ~~у, (12.6) Если воспользоваться (12.5) и перейти к комплексно-сопряженным величинам Й и г, то придем к формуле (теореме) Жуковского Й = — ~'ро Г; (12.7) здесь Я=Р„+~Р„, о =о„+ы„ (12.8) Теорема Жуковского.
Главный вектор сил давлений, действующих на профиль, численно равен произведению плотности и абсолютных величин скорости и циркуляции и имеет направление, получаемое путем поворота вектора скорости г на угол — в сторону, противоположную циркуляции.
Таким образом, для величины силы Жуковского имеем фор- мулу ~Й|=р1о ! ° 1Г~. (12.9) Существенно, что главный вектор сил перпендикулярен направлению скорости на бесконечности. Силу, перпендикулярную скорости о, называют подъемной силой; силу в направлении потока — лобовым сопротивлением. Из теоремы Жуковского следует, что при плоском потенциальном обтекании возникает только подъемная сила. Подъемная сила возможна только при наличии циркуляции. Для циркуляции мы имеем формулу (9.9). Подставляя выражение для Г в (12.9) (радиус круга обозначаем Й), получаем ( Я ( = 4тсlгЯр ) о ~~ ~ в1п (О, — а) ~.
Так как обычно ось х направляют вдоль скорости ч, то подъемную силу обозначают через Яр, силу сопротивления через И„. В реальном обтекании возникает как подъемная сила, так и сила сопротивления. Принято вместо Я„ и Я, исследовать тан называемые коэффициенты сопротивления Рд — ро~ Я Здесь 5 — площадь характерного сечения обтекаемого тела. Для идеальной жидкости С, = О (Я, = Π— парадокс Даламбера). Чтобы иметь возможность теоретически вычислить сопротивление, надо отказаться либо от предположения о потенциальности течения, либо от безотрывности обтекания, либо предполагать жидкость вязкой. При безотрывном обтекании крыльев формула для С„, где ,Й, вычисляется по формуле Жуковского, хорошо подтверждается экспериментом.
Имея (1З.б) и (13.7), получим разложение подынтегральной функции г,1~ гф ( — „) — „= с,4+ с, + [24„с —. + 2гг,и-'— — (, + 24'с„0„14')1 — + $+ Применив теорему о вычетах к интегралу (13.5), найдем момент ~: ~ = Ке — — 22т1 2й„б„—. + 2~,10- '— —, + 2/г'о б Рг (13.8) Выражение в круглых скобках вещественно, поэтому формула для момента окончательно примет вид ~.= Ке~ — ~ рΠà — 2, Ы,рбг1.
(13.9) ф 14. ОБТЕКАНИЕ ПЛАСТИНКИ Пусть в плоскости х, у мы имеем отрезок [ — а, а|, расположенный вдоль оси х. На этот отрезок под углом а набегает поступательный поток, скорость которого в бесконечности равна о Нам известно решение задачи об обтекании круглого цилиндра. Чтобы воспользоваться им, надо знать конформное отображение внешности круга на внешность отрезка [ — а, а]. Преобразование Жуковского г = — (4+ — ) 114.11 Рис. 29. переводит круг единичного радиуса в плоскости ~ в отрезок пря- мой плоскости г = х+ 1у (рис. 29). Действительно, на окруж- ности Р = 1 имеем ~ = е'~.
Подставив эти значения ~ в (14.1), получим 1у (Е10 + Š— гг1) а СОВ О. (14.2) х=асов6, у=О, (14.3) Я~ ~2 й а~г — 2г~+ а = О (14.4) \58 т. е. окружность переходит в дважды пробегаемый отрезок [ — а, а] оси х (верхняя полуокружность переходит в верхний берег разреза, нижняя — в нижний).
Получим преобразование, обратное (14.1), т. е. функцию с = Р(г). Согласно (14.1) Чтобы преобразование с = Г(г) псреводпло внешность отрезка во внешность круга, надо выорать в (14.4) знак плюс. Таким образом, обратное преобразование имеет вид — ~/г' — а' (14.5) Имея (14.5), можем записать комплексный потенциал обтекания пластинки. Учитывая, что в нашем случае й=- — „,~ = —,, Й„=О, Й,= —, Р=1, (14.6) получим 2 ~ +» )+ + — о (г — ~/г' — а') + —. 1п (г + ~(г- "— а' ).
(14.7) Заметим, что формулу (14.7) можно было бы получить непосредственно из формулы (8.9), рассматривая пластинку как предельный случай эллиптического цилиндра, у которого полуось Ь= О. В формулу (14.7) входит циркуляция Г. Для ее определения имеем постулат Чаплыгина — Жуковского. Непосредственное его применение затруднительно, так как у пластинки имеются две острые кромки.
Нас интересует пластинка как модель закругленного спереди тонкого профиля с задней острой кромкой. Скорость в задней острой кромке будет конечна, если в соответствнн с постулатом Чаплыгина — Жуковского циркуляцию определим по формуле (9.9); Г = 4лМ ~ о ~ з1п (60 — а). Здесь а — угол, образуемый направлением невозмущенного потока с осью х; 60 — угол, определяющий положение в плоскости точки А', в которую переходит задняя острая кромка А.
и В нашем случае Оо — — О, lг = —., Я= 1, и выражение для циркуляции будет Г= — 2ла~о ~з1па. (14.8) Соответственно выражение для комплексного потенциала можно записать в виде ~~) = 2 о (г+ 1 '- — а-")+ ~ а (г — 1 - "— а')+ 1г9 + ~а~ о ~з1па1п(г+ ~г' — а'). (14.9) Здесь О = ~о ~е-'", о = ~о ~е'". Имея комплексный потенциал, можем найти комплексную скорость б и ее составляющие о» и о~ в точках пластины.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
