Лекции по гидроаэромеханике (562036), страница 23
Текст из файла (страница 23)
г-' в) — „„+ 4У-Л ( Π— оба корня уравнения мнимые, причем ~г~ ( Я, ~гг~ ) Р. В области течения имеется одна критическая точка на мнимой оси вие цилиндра. Рис. г1. Картина течения в рассмотренных случаях, если для определенности принять Г ) О, изображена на рпс. 24. В рассматрпвасмом случас обтекания цилиндра с циркуляцией линии тока симметричны относительно осп у. Давления в точках цилиндра, симметричных относительно оси и, одинаковы по величине. Симметрии тсчения относительно осн .т здесь уже нет. Поэтому возникает сила, действующая на цилиндр в направлении осп у. Сила в направлении оси к, как н в первом случае, равна пулю.
Результат, заключа~ощийся в том, что тело, обтекаемое потоком идеальной жидкости, не испыт ывает сопротивления, носит название парадокса Даламбера. 145 Если в случае в) величину Г увеличивать так, что 4РЯ' (( г2 (( ~~,, то критическая точка по мнимой оси будет удаляться от цилиндра и в пределе получим чисто циркуляцнонное течение. Можно поставить вопрос: какое же течение реализуется на самом деле? Для идеальной жидкости возможны все указанные случаи.
При решении задачи об обтекании цилиндра либо должна быть задана циркуляция, либо какие-то дополнительные условия (например, симметрия потока и др.). Тот факт, что решение задачи содержит произвольный параметр Г, оказывается существенным прп решении многих практически важных задач. э 7.
МЕТОД КОКФОРМКЫХ ОТОБРАЖЕКИЙ Рассмотрим решение задачи об обтекании контура произвольной формы (рис. 25). Плоскость, в которой расположен контур 1, выберем за плоскость комплексного переменного я = х + + 1у. Одновременно с плоскостью я рассмотрим плоскость ~ = Рис. 25. = ~+ 1~ и в ней круг радиуса Я. Область плоскости я вне контура / обозначим через 1), область плоскости ~ вне окружности Г радиуса Я обозначим через О'. По теореме Римана о конформном отображении существует аналитическая функция я = ~(~), которая преобразует область 0' в область О таким образом, что точки контура Г переходят в точки / и любая наперед заданная точка А'~ О' переходит в заданную точку А ~ О.
Эта функция будет единственной, если в точке А' задан агд ~'(~д,) = «р0. Воспользуемся этой теоремой, выбрав в качестве точек А н А' бесконечно далекие точки плоскостей я и ~, н положим при этом ф0 — — О. Это значит, что мы берем такую функцию я = ~(~), которая преобразует бесконечно далекую точку плоскости ~ в бесконечно далекую точку плоскости я и не меняет направлений в этой точке.
Для этой функции в бесконечно далекой точке ~ = оо производная — есть ~Ц а'~ 4г вещественное положительное число, т. е. — = ~ > О. с!~ 146 На основании теоремы Римана существует и обратное преобразование ~ = Е(а). Предположим, что нам известны функции =И~), ~=Р(). (7.1) Будем рассматривать задачу об обтекании контура 1 потенци- альным потоком, скорость которого на бесконечности задана: О„= О „+1О Пусть ю (г) — комплексный потенциал, соответствующий этому течению. В ы(а) заменим а его выражением (7.1) через ~: ы (а) = <р (х, у) + 1$ (х, у), К Я) = Ф ф, ~1) + М ф, ~1).
(7.3) В соответствующих точках плоскостей ~ и ~ имеет место равен- ство (7.2), т. е. <р (х, у) + Еф (х, у) = Ф ф, 11) + ЕЧ' ф, 11). Следовательно, в соответствующих точках (7.4) <р (х, у) = Ф ф, «1), 'Ф (х, у) = Ч~ ф, ~1). (7.5) Функция ~г(а) есть комплексный потенциал обтекания неподвижного контура 1 в плоскости а. Поэтому функция тока ~(х, у) на контуре 1 постоянна. Контуру 1 соответствует окружность Г в плоскости ~, следовательно, в силу (7.5) на 1' функция Ч~Д, ~1) будет также постоянна, т.
е. окружность есть линия тока течения, комплексный потенциал которого К(~). Выясним условия на бесконечности для этого течения. Комплексная скорость (7.6) В плоскости г в бесконечно далекой точке скорость известна. С~Я По построению функции (7.1) производная — в бесконечности положительна: =-б =о „вЂ” Ы, — =Й) О. 147 и (а) = ы [1 (~)1 = 1~' Я). (7.2) Так как функция ю (а) определена во всех точках области В вне 1, то К(~) определена в точках О' вне 1'. Аналитическую функцию К(~) можно рассматривать как комплексный потенциал некоторого течения в плоскости ~. Каждому течению в плоскости а можно поставить в соответствие течение в плоскости ~, комплексный потенциал которого получается по формуле (7.2).
Найдем это течение. Положим Следовательно, — = 17 =!гй (7.7) Таким образом, 11 (~) определяет в плоскости ~ течение вне круга, причем скорость потока на бесконечности равна йо . Но комплексный потенциал обтекания кругового цилиндра известен, он имеет вид (7.8) Заменяя ~ в (7.8) на г" (~), получаем рг ~ю (Г) = И~ Р (Я) +, +, .
!и Р (2). (7.9) Формула (7.9) дает решение задачи об обтекании произвольного контура потенциальным потоком, если известно конформное отображение области вне 1 на внешность круга, т. е. если известна функция ~ = Р(я). Величина й находится по формуле В решении (7,9) циркуляция Г остается не определенной.
$8. ОБТЕКАНИЕ ЭЛЛ И ПТИЧ ЕСКОГО ЦИЛ И НДРА Пусть в плоскости я имеем эллипс с полуосями а и 6. Задача об обтекании эллипса поступательным потоком, имеющим скорость ч, будет решена, если будет известен комплексный потенциал ы(г). Для этого надо построить функцию ~ = г (я), которая отображает у О~ Ч © внешность эллипса на б внешность круга. Наряду с плоскостью г рассмот- 0 а х 0' ц рим плоскость ~ (рнс.
26). Введем преобразование Жуковского Рис. 26. г = ~ + —. (8.1) Подберем постоянную с так, чтобы (8.1) давало преобразование области плоскости ~ вне круга радиуса Я в область плоскости я вне эллипса. На окружности ~ = Яе" = Р (сов 6 — 181п 6). (8.2) Подставляя (8.2) в (8.1) и отделяя вещественную и мнимую части, получаем х = (Л+ — ) сои 6, р= (Л вЂ” — ) и~пВ. (8.3) Уравнения (8.3) — параметрические уравнения эллипса с полуосями С2 С2 а=Я+ —, б=й — —. Р' Я' (8.4) Функция (8.1) будет давать отображение окружности на эллипс с заданными полуосями а и 6, если положить Р= —,(а+ б), с= — (а — 6) Д = — „а' — (2'. (8.5) Преобразование (8.1) при этом запишется в виде 1 22 122 я=~+— 4 (8.6) Получим преобразование, обратное (8.6), т.
е. функцию = Р(я). Согласно (8.6) ~~+ 4 (а- — 6-") =О, — (8.7) 2 Обратное преобразование не однозначно. Выберем такую ветвь корня, чтобы внешность эллипса перешла во внешность круга. Для этого в (8.7) следует взять знак плюс, Действительно, при больших я в этом случае из (8.7) имеем 1 а' — Ь' — — + Таким образом, 1=~(~)— Л = + , ~ = 1. (8.8) 9 9 ПОСТУЛАТ ЧАПЛЫГИНА — ЖУКОВСКОГО Пусть в плоскости я имеется профиль с одной угловой точкой, причем угол б ( 2т.
Введем вспомогательную плоскость ~. Пусть функция я = ~(~) отображает область плоскости ~ вне круга радиуса Я с контуром (' на внешность профиля (рис. 27). Рассмотрим вопрос о вычислении скорости в угловой точке А. Точка А при отображении переходит в точку А' окружности 1'. Комплексная скорость в точке А может быть представлена в виде А' (9.1) 149 Комплексный потенциал обтекания эллиптического цилиндра будет иметь впд (.) = —,'.— (.+ /" — (" — Ьа) )+ — „' ° '+,' (.— — ~/г' — (а' — 6') ) + —.1и (я+ ~/я'-' — (а' — У) ). (8.9) Функция г = 1" (~) прсобразует угол л в точке А' в угол 2л — б в точке А. Поэтому в окрестности точки А конформность отображения нарушается и функция г(~) должна иметь разложение вида 2л — О А (~ ~А') + (9.2) Отсюда (9.3) Рис.
27. Требование, чтобы скорость в задней острой кромке была конечна, составляет содержание постулата Чаплыгина — Жуковского. Выполнение этого постулата возможно только в том ~1 К / случае если скорость — в точке А равна нулю, т. е. когда Э сЦ точка А' является критической в потоке, обтекающем цилиндр. Положение точки А' зависит от величины циркуляции. Отсюда следует вторая формулировка постулата Чаплыгина — Жуковского: циркуляция прн обтекании профиля с острой кромкой А такова, что точка А' окружности, в которую переходит прн конформном отображении точка А, должна являться критической в потоке, обтекающем цилиндр.
В критической точке А' сходятся струи потока, обтекающего цилиндр. Так как линии тока плоскости ~ прн отображении переходят в линии тока плоскости я, то точка А профиля также должна быть точкой схода струй. На основании этого может быть дана и третья формулировка постулата.
Циркуляция при обтекании контура с острой кромкой такова, что эта кромка является точкой схода струй. 150 Обратимся к равенству (9.1). В нем прн ~=~А, второй множитель в силу (9.3) обращается в бесконечность. Если скорость ЛР ! — не равна нулю, то скорость о~ в угловои точке профиля будет бесконечно велика, что физически недопустимо. Постулат Чаплыгина — Жуковского позволяет определить значение циркуляции Г. Для комплексного потенциала Г(~) имеем формулу (7.9): УК)=И 1+1 й + —,. 1п1. Комплексная скорость будет НК А0 Р2 Г ! — =И вЂ” + — —. Н~ ~~ 2л! (9.5) Пусть поток, набегающий на профиль, наклонен под углом и коси х, т.
е. д — ! а 1е-са а =) и 1е1а (9.6) Положим в (9.5) с=~~,. Тогда согласно постулату с!и7 ~ й0 й2 Г ! — = — lгб + — — — О. А' ~А' ~~ ~А' (9.7) Откуда Г =2~И вЂ” О (9.8) Учитывая (9.6) и полагая в (9.8) ~~, = Яе'е', получим 2д1ь О ~ а 11е <а-е,> е — ! (п-е,!) Г = 4л/гД1о 1з1п (0е — а).
(9.9) !О. ФОРМУЛЫ ЧАПЛЫГИКА — ВЛАЗИУСА Получим общие выражения для главного вектора и главного момента сил давлений, действующих на профиль, обтекаемый безотрывным установившимся потоком идеальной несжимаемой жидкости. Мы будем говорить об оотекании контура /, имея в виду обтекание бесконечного цилиндра, и о силе, действующей на контур, имея в виду силу, действующую на элемент цилиндра единичной высоты.
!6! Угол (и — 0е), где 0е — угол, определяющий положение точки А' на окружности Г плоскости ~, называется делом атаки. Циркуляция Г обращается в нуль, когда и — Ое —— О. В формуле (9.9) все величины известны, если только известно конформное отображение профиля на круг. Если величина Г известна, то формула (7.9) для комплексного потенциала будет давать единственное решение задачи обтекания произвольного контура с одной угловой точкой. А тогда можно поставить вопрос о вычислении сил, действующих на профиль со стороны потока. 3 а м е ч а н и е. Если контур гладкий или имеет угол б ) л или несколько угловых точек, то вопрос о циркуляции не может быть решен без привлечения дополнительных соображений.
1( элементу контура Й приложена сила, проекции которой дР„= — р ду, дРу — — р дх. Момент д1. этой силы относительно начала координат будет г11. = МГ„х — йГ„д= р (х дх+ у йу), (10.12) откуда момент сил, действующих на профиль, получим в виде 1. = $ р 1х ех + у еу). Используем интеграл Бернулли (10.5). Тогда (10.13) Рассмотрим выражение ъП: я Ж = (х + 1у) (дх — 1 дд) = х дх + у ду + 1(дух — хну).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
