Лекции по гидроаэромеханике (562036), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Проекции скоростей на осп 2л полярных координат будут д~р д 1 1 д~р дг 2л г ' В г дО Комплексный потенциал суммарного течения ® (~) Е'А (~) + Е'В (~)г 1а х — — е ю(г) = — 1п 2 2л ~и г+ — е 2 Предположим, мы рассматриваем такую точку а, что ~г~ >>!. 1 Тогда, раскладывая логарифмы в ряды по —, получаем 1 — — е 1а и(г)= — 1и — ( е'" — — е" + ...)= 2х д / 1 .,„1 2й 1;и 2й ~, 2х 2х 1 + — е'и 2г = — — — е + ... у 1 ы 2л г Пусть 1-э О, а обильность д -~. оо, причем так, чтобы произведение ф оставалось постоянным: ф = М.
Тогда для такого предельного течения комплексный потенциал будет иметь вид ю (г) = — — — е". (5.2) М 1 2а г Формула (5.2) дает комплексный потенциал течения от расположенного в начале координат диполя с моментом М и осью диполя, образующей угол а с осью х, Ось диполя принято направлять от стока к источнику. Изучим картину течения от диРис. 20. поля. Не уменьшая общности, положим а = О, т.
е. рассмотрим диполь, расположенный в начале координат, ось которого совпадает с осью Ох (рис. 20). Функции ы(г), ~, ~ будут иметь вид М 1 М х — ~у ~(~) — > ч'+~1 2 2 > 2л г' 2й х2+ у2 ' М М у 2л х2+ у2 ' ~1 2л х2+ у2 (5.3) Линии тока ~ = сопй есть линии, на которых х2 + у2 2с ' — х'+ (у — с)' = с'. 138 Линии тока — окружности, проходящие через начало координат, центры которых лежат на оси у. Аналогично линии равного потенциала ~р = сопз1 — окружности (х — с) ~ + у' = с~, проходящие через начало координат с центрами на оси х.
Скорости легко вычислить, имея (5.3). Если а ~ О, то вся картипа поворачивается на угол а. Если диполь расположен в точке г = а, М ш 1 то ю(г) = — — е'" 2л я — а' Пример 5. Ы/ (2) = —.1П 8. г В полярных координатах (5.4) г г . г ы/ (я) = —, (!и г + 16) = — 6 — 1 — 1и г 2тсс 2л 2л г г ~р= — 6, ~= — — 1пг. 2л ' 2л Таким образом à — циркуляция скорости по замкнутому контуру, охватывающему начало координат.
Течение, определяемое (5.4), есть течение от вихря. Если вихрь расположен в точке г = а, то комплексный потенциал и) (2) = 2„. 1и (2 — Й). г !З9 Линии тока ~ = сопз1 есть окружности с центром в начале координат, линии ~р = сопз1 есть лучи 6 = сопз1 (рнс. 21). Частицы жидкости перемещаются по окружностям со р Г О скоростями ~Рь д<р ! д<р Г 1 ° '-' ф ~0 пз й дя г дО 2л г ' Начало координат г=О (центр окружностей) является особой точкой, Скорость оа ) О прн Г ) О, т. е. положительному Х значению циркуляции соответствует движение по окружности против часовой стрелки.
Иногда говорят о «направлении циркуляции», понимая под этим направление движения жидкости (Г ) Π— против чао Рис. 2!. совои стрелки, Г ( Π— по часовой). Установим смысл величины Г, Возьмем контур 1, охватывающий начало координат, и вычислим циркуляцию скорости ч по этому контуру: П р и м е р 6. Рассмотрим течение, вызываемое присутствием в начале координат источника и вихря: ы1(г)= 2 1пг, ы~(~)= 2 .1п~, е~(г) = ю~+ ы'~ — — 2 1пг.
(5.5) Течение, описываемое комплексным потенциалом (5.5), называется течением от впхрепсточппка. Найдем линии тока в этом течении: с~ -1- 4 — (1и г+ ~6), 1 = — (д1п г + ГВ), = — (д — Г1п «). 1 Линии тока ф = сопз( есть линии тока, на которых дΠ— Г!п г = = сопз(. Обозначим постоянную через Г1п с; тогда г аО = Г 1п —, г = се ' $ 6. ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ ОБТЕКАНИЕ КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА ПОТОКОМ ИДЕАЛЬНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ Пусть круговой цилиндр радиуса К движется со скоростью 13 в потоке жидкости, имеющем на бесконечности заданную скорость Ч, причем скорости 13 и Ч перпендикулярны оси цилиндра.
Выбрав плоскость (х, у) и ц перпендикулярно образующим цилиндра, получим плоскую задачу о течении жидкости вне круга, дви- 1 ~ жущегося со скоростью 13 ((l„, (l„, О) 8 цж в потоке, имеющем на бесконечности скорость Ч ( Р„, $'„, О) . Пусть в начальный момент времени ось цплиндра проходит через начало коор- У динат (рис. 22).
Так как движение плоское и безРис. 22. вихревое, то существуют комплексный потенциал ы(г) и комплексная й'И скорость б(г) = —. Начнем наше рассмотрение с комплексной ~1~ скорости. Из физических соображений ясно, что функция б(г) = = и„— ~и, должна быть определена во всех точках плоскости 140 Линии тока — логарифмические спирали.
Линни с~ = сопз(— также логарифмические спирали, ортогональные к линиямф = сопз(. Если вихреисточник расположен в точке а, то ы~(2) 2 1п (2 — а) Первый член этого ряда легко иаходнтся из условия в беско- нечно далекой точке При г = оо из (6.1) следует х ~1 у сО (6.2) Подставляя (6.2) в (6.1), имеем Нв с с, — = о (г) =- $г, — й'у + — + —,' + (6.3) Проинтегрировав ряд (6.3) по г, получим комплексный потенциал 00 и )я) = ))'„— Ф„) г + с )и з+ ~ — '„' .
)6.4) и ! Комплексный потенциал (6.4) обеспечивает выполнение условий на бесконечности при любых значениях постоянных с, с), ... ..., е„, ... Эти постоянные надо определить так, чтобы было выполнено условие обтекания цилиндра Так как движение потенциальное, то о„= —. В полярных д)р координатах г, 6 условие (6.5) на поверхности цилиндра г = й запишется в виде — = ~1„соз 9+ Уд з1пй. д)р дг ~~ х (6.6) Для того чтобы найти постоянные, входящие в ы(г), удобно перейти в выражении (6.4) к полярным координатам, отделить вещественную и мнимую части гр и )1) и, продифференцировав )р д)р во г, подставить — в (6.6).
Полученное равенство будет служить для определения с, с), ..., с„, ... Искомые коэффициенты будут, вообще говоря, комплексными. Положим е = Л + ~В, с„= Л„+ ~В„, а=ге" (6.7) (6.8) !41 (х, у) вне круга раднуса К. Опа должна быть всюду однозначна, ограничена и принимать на бесконечности заданные значения. Такая функция комплексного переменного может быть разложена в ряд Лорана по неположительным степеням г: / / с с) с, О(г) =е.+ —,+~+ —;+ ...
(6.1) и, подставив (6.7) и (6.8) в (6.4), получим ~1 (Г) — гр + ~~~ = (1',. — ~1'„) г (сов О + ~ з1п О) + (А + ~В) (1и ! + ~0) + 1 + (А, + ~В,) — (сов Π— ~ з1п О) + + 2 1А„+ гВ„) — „1сов п — 1 в1п л61. 16.9) 1 гт 2 Г Из (6.9) легко получить выражение для ~ и ф. Выпишем д1р выражение для <р и производиой— д/.
П = (1гжг+ — ') соа В+ (1г„г + — ') а1п В+ А 1п г— — ВВ+ 2 ( — „" соалВ+ — „" а1плВ); 11 2 д1р / А1~ в~. л — = ~1у' — — ) сов О+ ~1у' — — ) з1п О+ —— .и ~2) 1У 2) Г (6.10) — — (А„сов лВ + В„а1п лВ). 16.11) гт+! Положим в 16.11) г УВ и, повставав — ~ в условие обтеиад1р дг ни я (6.6), будем и меть (1г„— и,') соа В+ (1г„— —,' ) а1п В+ —— оо , (А„созпО+ В„з1ппО) =У, сов О+ Уд з1пО.
(6.12) п=2 Р Справа и слева в (6.12) стоят ряды Фурье. Сравнивая соответ- ствующие коэффициенты, получим А = О, В', — ф= У„, Кц — —,.' — — Б„, А6 —— В~ = О (й = 2, 3, ... ), Коэффициент В остался не определенным. Введем для него обозначение через новую постоянную Г.
Положим В— (6. 14) Подставляя (6.13) и (6.14) в (6.9), получаем выражение для комплексного потенциала г (ру, — у„) Р2+ 1(ру„— уу) Р2 ц) (г) = (1у'„— Ю„) г+, . 1п г+ ' . (6.15) 142 откуда А =О, А, = (1У, — У„) Я~, В1=-(1У, — У,) Я', А~ — — В~,— — О (6.13) (1=2, 3, ...). Вводя обозначения 1'х — г 1'вв = » ~'х + ~'~~у — — Ъ'~, ~lх + сУ„= У, <6.16) запишем решение (6.15) в виде Р' Г ( )=~ +(~ — ~) —,+ (6.17) Р2 Г ы, (~) = — сl — + —.1п г. г 2лв (6.
19) 3. Пусть цилиндр неподвижен и скорость потока в бесконечности равна нулю. Если сl = О и Г = 17 = О, то г юз(~) = —.1п ~. 2л1 (6.20) Имеем чисто циркуляционное обтекание цилиндра. Обтекание неподвижного цилиндра. Займемся анализом картины течения около кругового цилиндра. Будем предполагать, что 1/ = О, т. е. цилиндр неподвижен и поток на бесконечности направлен вдоль оси х (ось х всегда можно направить по паправлеиию скорости в бесконечности). Комплексный потенциал (6.18) при 1', = К 11, == О принимает вид Р-'х Г оо ф =- 'вч (о + — ) + —,. ~ о о.
2лв (6.21) Рассмотрим два случая. Это общий вид комплексного потенциала обтекания кругового цилиндра. Он представляет сумму трех слагаемых, из которых Г ~ — комплексный потенциал поступательного потока, второе слагаемое — комплексный потенциал течения от диполя, третье — потенциал течения от точечного вихря. Таким образом, течение около цилиндра можно рассматривать как течение, полученное наложением поступательного потока на поток от диполя и от вихря. Постоянная Г, имеющая смысл интенсивно- =Со сти вихря, входит в решение м и как параметр. ч -о о - - в о=о 1. Пусть обтекается непод- Х вижный цилиндр.
Тогда сl = й Р -У = С1 =-Ои Р2 е1(~) =Р ~+ Є— + + „. 1п г. (6.18) 2. Пусть цилиндр движется в жидкости, покоящейся на бесконечности. Тогда Г = 11 = О и Найдем критические ~очки потока, в которых о, = о = О. Приравнивая пулю б(г) =- о, — г'г„, получаем квадратное уравнение, корни которого гь г~ дадут координаты критических точек 1~ -"+, ! ( Г г=г1 ~ г: (6.28) Здесь возможны различные случаи: '3 'ъ а) — „, + 4У-Й'- ) Π— «ритнческне точки расположены иа обтекаемом цилиндре ~г~д~ = Й симметрично относительно оси у, 1ш г~ —— 1гп г~, Ке г, = — Йе г>, б) — 4, + 4~'-Р'- = Π— две критические точки сливаются в г одну, расположенную на мнимой оси: ~ ги, ~ = Р, г, = г =, (.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
