Лекции по гидроаэромеханике (562036), страница 21
Текст из файла (страница 21)
(1.1) Уравнениями плоской задачи являются уравнение неразрывности, уравнения Эйлера в проекциях на оси х и у и уравнение энергии. Для несжимаемой жидкости уравнение неразрывности будет иметь вид до„догг — + — = О. дх дд (1.2) Будем считать, что массовые силы консервативны пли отсутствуют. Тогда при предположениях, сделанных в данной главе, справедлив шттеграл Эйлера — Бернулли. Поэтому вместо уравнений Эйлера используем условие отсутствия вихря и гнгтеграл Эйлера — Бернулли. Условие отсутствия вихря го1 ч = О для плоского движения, когда Й = Ю„приводит к равенству догг дух — — — = О. дх ду (1.3) Интеграл Эйлера — Бернулли имеет вид 5+ '+Г с (1.4) 130 Течение называется гг госкагг, если все частицы движутся параллельно некоторой плоскости, причем скорости частиц в соответствующих точках плоскостей, параллельных этой фиксированной плоскости, одинаковы по величине и направлению.
Очевидно, в этом случае достато шо рассмотреть течение в одной плоскости, когорую можно пргшять за плоскость (л, у). При таком выборе системы координат все величины будут зависеть д только от координат х, у. Это означает, что о, = О, — = О. Так д как течение предполагается установившимся, то — = О. Следует иметь в виду, что, говоря о течении в плоскости, мы фактически рассматриваем течение в слое между плоскостью (х, у) и ей параллельной. Так, например, обтеканию контура в плоскости (х, у) соответствует в пространстве обтекание цилиндра, для которого контур в плоскости (х, у) является направляющей. Уравнение энерпш для несжимаемой жидкости, если нет притока тепла, дает — =О, дЕ (1.5) т. е. для несжимаемой жидкости энергия в частице сохраняется.
Уравнения (1.2), (1.3) содержат лишь функции их н иу. Уравнение (1.4) может быть использовано для нахождения давления, если известны скорости и, и иу. з 2. ПОТЕНЦИАЛ СКОРОСТЕЙ Условие отсутствия вихря имеет вид дгу дгх — — — =О, дх ду (2.1) вследствие чего существует функция ср(х, у), такая, что сйр = их Их + х у гну; (2.2) д~ д~ 0 г х дх У (2.3) Потенциал скоростей несжимаемой жидкости, как уже было по- казано и ранее, в силу уравнения неразрывности (1.2) удовле- творяет уравнению Лапласа дг~ дг~ — + — =О.
дхг дуг (2.4) (2.5) Задача нахождения решения уравнения Лапласа по заданному значению нормальной производной па границе называется зада- чей Неймана. В случае, если область бесконечна, имеем внеш- нюю задачу Неймана с граничными условиями в виде (2.5). ф 3. ФУНКЦИЯ ТОКА Из уравнения неразрывности (1.2) следует дгх дгу дх ду (3.1) г„ 131 Решение уравнения (2.4) должно удовлетворять граничным условиям.
В случае обтекания тел однородным безграничным потоком решение должно быть таким, чтобы на бесконечности скорость потока была равна заданной величине ч, а на поверхности 5 тела было удовлетворено условие обтекания, т. е. Равенство (3.1) — условие того, что дифференциальная форма о ду — оудх есть полный дифференциал некоторой функции ~7(х, У) о„с~у — о„дх = Й17 (3.2) и, следовательно, о = — о д$ д$ ду' У дх' (3.3) Для плоских течений несжимаемой жидкости (вихревых и безвихревых) в силу (3.1) всегда существует функция ~7. Выпишем уравнение линий тока для плоского случая: ах ау (3,4) с(х с(д о„ду — о„дх = О.
Из (3.4) следует (3.5) Сравнивая (3,5) и (3.2), видим, что вдоль линии тока Й17 = О, ~7 = сопМ. (3.6) Функцию ~7(х, у) называют фунщией тока. Равенство ~7(х, у) = = сопМ дает уравнение линии тока. Различные значения постоянной соответствуют разным линиям РА в тока. Через функцию тока может быть вычислен расход жидкости, протекающей через кривую АВ (через кусок цибц линдрической поверхности высотой Лг = 11 = 1 с направляющей АВ). Расход через 11 кривую АВ 11д ~В (1х х ~л а= ~ о„Ь= Рис.
16. (о„сох (и, х(+ ох сох (и, оД Шх. (3.7( Если дх, ду — проекции элемента кривой дз, то очевидно (рис. 16) (~( Их соз(п, х) = — „, соз (и, у) = — — „ (3.8) Подставляя (3.8) в (3.7) и вычисляя интеграл, получаем Р-Г(охдд-о,дх(=Г (оддс+ оддх) = — й'Ч7 = 'Фв — 'Ч7л, (3.9) 1л т. е. расход жидкости через кривую равен разности значений функции тока в конца;, этой кривой. 132 Для плоского течения имеется простая связь между функцией тока и вихрем скорости до, дух дЧ дг О, — — — = — —, — — — Лг~.
(3.10) дх ду дх' ду' Если движение безвихревое (й = 0), то г~ удовлетворяет уравнению Лапласа л~= о. (3.1 1) Уравнение (3.11) служит для нахождения функции г~ при соответствующих граничных условиях. Пусть жидкость обтекает непроницаемую поверхность тела. На этой поверхности о, = О. Запишем это условие через функцию г~, используя (3.3) и (3.8): о„=о„соз(п, х)+ о, соз(п, у) — — — +, — .
(3 12) дф ду д$ дх д$ Получаем, что на контуре тела должно быть выполнено условие ! д$ =О, т. е. г~~, = сопз1 — функция тока — сохраняет постодя янное значение на я. Это означает, что граница тела должна быть линией тока. Физически это очевидно. Таким образом, в случае безвихревого движения функция тока гр может быть найдена как решение уравнения Лапласа (3.11), удовлетворяющее граничным условиям на бесконечности и на поверхности тела: — = — о„„, — ( = о„„ф (х, у) ), = С. (3.13) з 4.
КОМПЛЕКСНЫИ ПОТЕНЦИАЛ И КОМПЛЕКСНАЯ СКОРОСТЬ Мы получили выражения (2.3) и (3.3) для проекций скорости через производные от функций ср и ф Сравнивая (2.3) и (3.3), получаем уравнения связи между потенциалом скоростей и функцией тока д~р д$ дх ду д~р дФ ду дх (4.1) Это известные из теории функций комплексного переменного условия Коши — Римана, которые гарантируют, что функция ы = ~р (х, у) + Й~ (х, у) 133 Задача отыскания решения уравнения Лапласа по заданному значению функции на границе называется задачей Дирихле.
Для внешней задачи Дирихле условия имеют вид (3.13). Обратим внимание еще раз на то, что если потенциал скоростей существует только когда двп'кение безвпхревое, то функция тока существует всегда. При безвихревом движении функция тока удовлетворяет уравнению Лапласа. Равенство (3.1) — условие того, что дифференциальная форма и„ду — офх есть полный дифференциал некоторой функции ~'(х, П) Ох д1/ — 0у дх = д~~ (3.2) и, следовательно, О = — О д~ д$ (3.3) х ду ' У дх Для плоских течений несжимаемой жидкости (вихревых и безвихревых) в силу (3.1) всегда существует функция ф Выпишем уравнение линий тока для плоского случая: дх ~1у ух ~у (3.4) Из (3.4) следует (3.5) ох ду — иу сЬ = О. Сравнивая (3.5) и (3.2), видим, что вдоль линии тока й~ = О, ~ = сопв1.
(3.6) Если г1х, ду — проекции элемента кривой г1я, то очевидно (рис. 16) Ду Йх сов(п, х) = — „,, сов (и, у) = — — „, . (3.8) Подставляя (3.8) в (3.7) и вычисляя интеграл, получаем ц= ~' д, дд — „дх) = ~' ( — '," дд+ — ',"" дх) = — — с1Ф = ф~ — ф„, (3,9) .1 А т. е. расход жидкости через кривую равен разности значений функции тока в концах этой кривой. 132 Функцию ~(х, у) называют функцией тока.
Равенство ~(х, у) = = сопМ дает уравнение линии тока. Различные значения по- стоянной соответствуют разным линиям 1д'А В тока. Через функцию тока может быть вычислен расход жидкости, протекающей через кривую АВ (через кусок цибц линдрической поверхности высотой Лг = 1! = 1 с направляющей АВ). Расход через кривую АВ ~~д гв Я ~ па~~ 0х х .1А Рис. 16.
(о, сов (и, х) + од сов (и, дД Шк. (3.7) Для плоского течения имеется простая связь между функцией тока и вихрем скорости дг, дух д'Ф дг~1~ о, '" " ', ', = Л~. (3.10) дх ду дх' ду2 Если движение безвихревое (й = 0), то ~ удовлетворяет уравнению Лапласа Лч~ = О. (3.1 1) Уравнение (3.11) служит для нахождения функции ~1~ при соответствующих граничных условиях. Пусть жидкость обтекает непроницаемую поверхность тела. На этой поверхности и, = О.
Запишем это условие через функцию ф используя (3.3) и (3.8): Од- — — Ох сов (и, х) + бусов(п, д) — — — + — — . (3.12) дф с1у д$ (1х дф Получаем, что на контуре тела должно быть выполнено условие дф дя ! = О, т. е. ~~, = сопз1 — функция тока — сохраняет постоянное значение на з. Это означает, что граница тела должна быть линией тока. Физически это очевидно.
Таким образом, в случае безвихревого движения функция тока ~ может быть найдена как решение уравнения Лапласа (3.11), удовлетворяющее граничным условиям на бесконечности и на поверхности тела: — = — о „, — / =о „, ~(~(х,у((,=с. (3.(3( Задача отыскания решения уравнения Лапласа по заданному значению функции на грагпще называется задачей Дирихле. Для внешней задачи Дприхле условия имеют вид (3.13).
Обратим внимание еще раз на то, что если потенциал скоростей существует только когда движение безвпхревое, то функция тока существует всегда. При безвихревом двпкении функция тока удовлетворяет уравнению Лапласа. в 4. КОМПЛЕКСНЫИ ПОТЕНЦИАЛ И КОМПЛЕКСНАЯ СКОРОСТЬ Мы получили выражения (2.3) и (3.3) для проекций скорости через производные от функций (р и ~1. Сравнивая (2.3) и (3.3), получаем уравнения связи между потенциалом скоростей и функцией тока д(р дф д(р д(г ,д дх ду ' ду х (4 1) Это известные из теории функций комплексного переменного условия Коши — Римана, которые гарантируют, что функция ы = (Р (х, ~/) + е'ф (х, Д) 133 Пример 3. (5.1) где О вещественно.
Рассмотрение этого примера удобнее вести в полярных координатах г, 0: г=х+ ~у=ге'~, «=~г~, 0 агдг, ~ (г) — ~р + с ф — — (! и г + сО), ~р = —, 1и г, ф = —, О. в 2л ' 2л Линии тока ф = сопэ1 будут лучами, выходящими из начала координат. Линни равного потенциала ~р = сопэ1 есть окружности г = сопэ1 (рис.
18). Ряс. 18. Рис. 17, 3 а м е ч а н и е о вычислении скоростей потенциального потока в криволинейных координатах. Пусть имеется потенциал скоростей <р. Тогда ч = ~гад ~р, 0у=(у'1)=О~~со5(1, х)+О соЗ(1, д)+О~соЗ(1, 2)= д~р ~ д~р ~ д~р ~ д~р соЗ (1~ х) + соЗ (~т д) + со5 (~> 2) = дх ' дц дг ' д1 Пусть о~, о2, о, — криволинейные ортогональные координаты.
Элементы дуг дяь соответствующие приращению координаты дь равны еЬ; = Н,йр;, где Н; — коэффициенты Ламе. Проекции 1 д~р скоростей вычисляются по формулам о,= — — . '=Н, дЧ,' Для цилиндрических координат д~ — — г, д~ — — О, дз —— г коэффициенты Ламе равны Н1 — — 1, И2 — — г, Н~ — — 1 и проекции скоростей запишутся в виде д~р д~р О дя, дг д~р ! д~р дь~ г дО ' д~р д~р 0 д8, дг Отсюда видно, что скорость постоянна по величине на каждой окружности с центром в начале координат, направлена по радиусу и убывает с ростом расстояния г. При д ) 0 скорость направ- У лена от центра (о, ) О), при О ( ( 0 — к центру (о, ( О). Формула (5.1) дает комплексный потенциал ~~1 течения от источника (стока), рас- СС положенного в начале координат. О .Х Выясним смысл величины о.
Подсчитаем расход жидкости Я через контур, охватывающий начало координат. Записывая интеграл по замкнутому контуру как интеграл от А до В, где А и  — совпадающие точки контура, получим Я= ф~ ~~= ! ~1=98 — Ч~л= — 2" =-д Гв д в л — 2л Таким образом, о — обильыость источника. При д ) 0 имеем источник, прн о ( 0 — сток (источник отрицательной обильности). Если источник расположен не в начале координат, а в точке г = а, то комплексный потенциал будет иметь вид ы (г) = — 1п (г — а). 2л П р и м е р 4, Пусть в точке А плоскости (х, у) расположен источник обильности о, в точке  — источник обильностп — о (сток), причем комплексные координаты точек (рпс. 19) Е~а ~ е!а А 2 ~ В Комплексный потенциал течения, вызываемого каждым пз ис- точников, имеет вид арл (г) = — 1и р — —, е"'(, д 2л (, 2 (' / ива) = —,~ 1и (~+ — е'"). 2л ~, 2 !З7 Вернемся к рассмотрению течения, определяемого комплексным потенциалом г (г) = ~ !п г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
