Лекции по гидроаэромеханике (562036), страница 20
Текст из файла (страница 20)
д1 ' (9.17) Так как жидкость баротропна, то р = Ф(р), и можно найти р'. Р =Р Ро=1 1 (Р Ро)= 2 Р ° (9.18) '"Р Р-р, Π— 2 Давление и плотность также удовлетворяют волновому уравнению. В этом нетрудно убедиться, дифференцируя (9.16) по 1 и используя формулы (9.17) и (9.18). Заметим, что волновое уравнение для р и р можно получить непосредственно из системы уравнений идеальной сжимаемой жидкости. Подставив в систему соотношения (9.15) и исключив из уравнений, например, о' и р', получим волновое уравнение для р'.
Волновое уравнение (9.16) описывает распространение возмущений со скоростью ао. Проще всего в этом убедиться, рассматривая частные решения уравнения, зависящие только от х и 1. В этом случае (9.16) принимает вид д2~р 1 д2~р — — — — =О. дх~ а2 д1~ о Общее решение уравнения (9.19) ф = ~~ (х — аД + 12 (х + аД (9.20) ф, 12 — произвольные функции) описывает распространение двух волн, движущихся в противоположных направлениях со скоростью ао. Таким образом, скорость звука можно интерпретировать как скорость распространения малых возмущений в покоящемся газе. Законы распространения звука в движущейся и покоящейся средах изучает акустика. ГЛАВА Х1 ОБОБЩЕННЫЕ ОДНОМЕРНЫЕ ДВИЖЕНИЯ В данной главе рассматривается задача о течении газа в трубе, поперечное сечение которой г (х) меняется медленно вдоль оси трубы х.
В этом случае можно построить приближенное решение указанной задачи, используя тот факт, что составляющая скорости о, изменяется мало по сечению трубы и поперечные Иоу Ио ускорения —, — малы. Ж ' Ж $1. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ Выпишем систему уравнений, считая, что жидкость баротропна и массовые силы отсутствуют: д0 д0 д0» д0» 1 др — +Π— +0 +в д1 "д» У ду дг р д»' (1.1) Ио ! д, ~11 р ду ' (1.2) (й~ 1 др . р дг' (1.3) — + о — + о — + о,— + р Жч ч = О; (1.4) др др др др д1 » д» У ду г дг (1.5) р = Ф(р). ~0у ~0~ Предположим, что поперечными ускорениями ~~» можно пренебречь по сравнению с — „. Тогда из формул (1.2), ~~у ~0» (1.3), если в них положить = — „=О, получим приближенные равенства — =О, — ~=О.
др др ду ' дг (1.6) р=-р(х, 1), р=р(х, 1). (1.7) Предположим, что о„также есть функция только х и 1, т. е. что оставшимся уравнениям можно удовлетворить, положив о„= о„(х, 1). (1.8) 125 Из равенств (1.6) следует, что давление р, а из (1.5), что и плотность р зависят только от х и 1, т. е. Система уравнений (1.1) — (1.5) в силу (1.7) и (1.8) примет вид х до» д~)х 1 др (1.9) р д» р = Ф(р).
(1.10) (1.11) В этой системе три уравнения и пять неизвестных функций. Пре- образуем уравнение (1.1О) так, чтобы из него исчезли ь„и о„ и тем самым получим систему трех уравнений для определения интересующих нас величин (1.7) и (1.8). Рис. 15. Проинтегрируем уравнение (1.10) по поперечному сечению трубы Е: ~ ~ [ — + и„— „+р — „+р(, + — )] ШЯ=О. (1.12) ( — „+ и* —,„+ р —,„) Р + $ $ р ) — „" + —,*) )Л = О.
( И З) Преобразуем интеграл в формуле (1.13). Учитывая, что р постоянно по сечению: р = р(х,4), и вводя вектор поперечной скорости ц = о„1 + о,К получаем !)Р(р + р )ИЯ=Р!!4)ииШЯ=Р)и„Н. 1114) Перемещение частиц за время М можно представить как сумму перемещения вдоль оси х на расстояние Лх = о„М и перемещения в поперечной плоскости ц М (рис. 15).
Частицы с контура 1 перейдут на контур Г. Расстояние по нормали от 1 до 1' равно Кп = и„М. Изменение площади равно площади кольца Лй м $ Лиям Л1$и„Ж, $и„Ж= ))т — = — „. (1.1Л) л1,0 ~1 126 Три первых слагаемых не зависят от д и я, поэтому (1.12) мож- но переписать в виде Заменяя в (1.13) согласно (1.14) двойной интеграл криволинейным и учитывая (1.15), получаем / др др до„~ дР Е1 — + о — +Р— ") +Р— =О.
~д~ "дх дх) Ж дЕ дР Считая, что труба не деформируется, т, е, — = о — , запи- Ж хдх' шем (1.16) в виде Отсюда окончательно получим Е + (РУР) — О. др д (1.16) (1.17) (1.18) Уравнения (1.18), (1.9) и (1.11) образуют систему уравнений для отыскания и,„р, р. Для установившихся течений эта система приобретает вид — (рохЕ) = О, ох — „' + — — „= О, р = Ф (р). (1.19) 1 др Уравнения (1.19) могут быть легко проинтегрированы.
Решение задачи об одномерном установившемся движении жидкости получим в виде Р~~х Сп 2 + ~ ф = С2> р = Ф ф). (1.20) ~ 2. ДВИЖЕНИЕ НЕСЖИМАЕМОИ ЖИДКОСТИ В ТРУБЕ П ЕРЕМЕН НОГО СЕЧЕН ИЯ Для несжимаемой жидкости р = рю — — сопМ.
Р = Р(х) задана, Решение имеет вид '> ~'х р ~„~ — А, + — В> Площадь (2,1) Отсюда ΄—, р — Р — — — Р — — 2 (2.2) Постоянные А и В определяются по заданным характеристикам в некотором сечении. Так, при х = хп (г (х) = Р(х~) = Р,) 127 Второе уравнение в (1.20) есть запись интеграла Бернулли для полученного приближенного решения задачи. Пренебрежение поперечными ускорениямп, принятое вначале, равносильно тому, что в выражении для и' мы пренебрегаем величиной о-", + о,' по сравнению с о-'„.
Так, например, если взять трубу с углом полураствора а, таким, что 1д а ( О,1, то (о"; + о";)/о-' ( 0,01, т. е. указанное рассмотрение дает точность порядка одного процента. должны быть заданы их1 = и",, р ~,, = р„, Вместо скорости можно задать расход Я = рр',Р„. Из решения видно, что с увеличением сечения Р скорость в, убывает, давление возрастает. $ 3. ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОИ ЖИДКОСТИ В ТРУБЕ ПЕРЕМЕННОГО СЕЧЕНИЯ. СОПЛО ЛАВАЛЯ Формулы (1.20) дают общее решение задачи. Постоянные, содержащиеся в этом решении, находятся по данным гидродннамическим элементам в некотором сечении. Постоянная С1 —— = Я вЂ” расход жидкости. Из (1.20) все интересующие нас величины о„р, р могут быть, найдены в любом сечении Р = Г(х).
Решение закончено. Однако здесь интересно исследовать характер течения. Для этого прологарифмируем и затем продифференцируем первое равенство из (1.20), а второе равенство запишем в дифференциальном виде. Тогда будем иметь (3.1) и,сЬ + — Р=О.
(3.2) Р Используя соотношение р = Ф(р), можем найти —, Известно, Ир др что — = а — квадрат скорости звука. Подставляя др = а2др ~~Р 2 Ир в уравнение (3.2), получаем 2 ~Р ~Р ~>х а — = — о сЬ вЂ” = — — сЬ. р Х Х> р 22 х' Равенство (3.1) с учетом (3.3) можно переписать в виде (3.4) Соотношение (3.4) позволяет сделать ряд выводов.
Будем для определенности считать ох ) О. Знак скобки в (3.4) зависит от того, с каким течением мы имеем дело. ~'х 1. Пусть М = — < 1, т. е. о, ( а,— скорость течения меньше скорости звука. Тогда если площадь Р уменьшается, дЕ ( О, то до, ) 0 — скорость увеличивается. Если дЕ) 0 — сечение увеличивается, то ди (0 — скорость уменьшается. 2. Пусть М = — > 1, г. е. ох ) а,— скорость потока больше скорости звука. В этом случае если дР < О, то и ди, < О, т, е, с уменьшением сечения уменьшается скорость.
Если дР ) О, то и йи ) 0 — увеличение сечения ведет к увеличению скорости. Таким образом, в дозвуковом потоке, как и в несжимаемой жидкости, уменьшение сечения ведет к увеличению скорости, и 128 наоборот. В сверхзвуковом потоке скорость увслиннвается, если растст площадь сечения.
Если скорость в потоке равна скорости звука (и, = а), то из (3,4) следует, что дР = О, т. е. это возможно лишь в сечении, где г (х) имеет экстремум. С этими рассуждениями связана гидродииамика сопла Лаваля — трубы, которая служит для перевода дозвукового потока, т. е. потока с малой скоростью, в сверхзвуковой поток. Чтобы получить переход от дозвукового потока к сверхзвуковому, труба должна иметь суживающуюся (конфузорную) часть, в которой скорость потока увеличивастся до скорости звука в минимальном сечении, и затем расширяющуюся, в которой мог бы ускоряться сверхзвуковой поток. В минимальном сечении г„ = а, т. е. М = 1.
Скорость потока, равную скорости звука в д;шном месте, называют критической. ГЛАВА ХИ ПЛОСКИЕ БЕЗВИХРЕВЫЕ УСТАНОВИВШИЕСЯ ТЕЧЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 1. СИСТЕМА УРАВНЕНИИ Так как жидкость несжимаема, то плотность постоянна и должна быгь известна: р = р0. Искомые функции о„= о„(х, у), од —— од(х, у), р= р(х, у), Е=Е(х, у).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
