Лекции по гидроаэромеханике (562036), страница 19
Текст из файла (страница 19)
у) ч, ~1У ДУ вЂ” + (ч Ч) ч = à — — угад р. ДУ 1 дг (5.4) Легко проверить следующее тождество: (а 7(а = ргаЛ ( — ") — а Хго(а. (5.5) С учетом (5.5) уравнение Эйлера (5.4) запишется в виде ду ц2 1 — + ДГЫ 1 — ) — ч Х го1ч = à — — ргад р. дг 'а. 2 ) Р (5.6) — д, +1 д,— дх +" д — д (57) 118 Уравнение 15.6) — уравнение Эйлера в форме Громеки— Лэмба, Запишем 15.6) в проекциях на оси, используя обозначение го1ч = Й: Д"х 1 Др — "+ ~ ) 1о Π— ой)=Г Дг Дх ~, 2 ) У х л У вЂ” х р Дх ' До д Го'~ 1 Др до~ Д (' 0~1 1 Др + 1( ) (Оха О ~ ) — ~ Дг Дх 1( 2 ) х д д х Здесь о'= о'+ о'+ о-', Уравнения Громекп — Лэмба содержат в явном виде вектор вихря Й.
Сушествует важный класс движений, для которых го1 ч = = й = О. Такие движения называют безвихревыми, Для безвихревых движений уравнения (5.6) имеют значительно более простой вид, чем исходные уравнения Эйлера. ~ 6. ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ, ИЛИ БЕЗВИХРЕВЫЕ, ДВИЖЕНИЯ Рассмотрим безвихревые дви>кения, т. е. движения, для которых 0 =го1 ч = О, (6.1) или в проекциях на оси координат О = — =О дух дс~г дг дх (6.1') йр= о„дх+ о„ду+ о,дг. Но поскольку дср = — дх+ — ду+ — д~, дср дср дср дх ду дг то, следовательно, дср дср о = — о дх ' У ду ' дср 92' (6.2) т. е.
компоненты скорости есть частные производные от функции ср(х, у, г, ~) по координатам. Функцию ср на.зывают потенциалом скоростей, а безвнхреные движения называют потенциальными. Для установившихся движений ср = ср(х, у, г). Равенства (6.2) равносильны векторному равенству ч = ргас1 ср, которое следует и непосредственно из (6.1). !19 Прп выполнении условий (6.1), как известно, линейная дифференциальная форма о,сЬ + одду + Мг будет полным дифференциалом некоторой функции ср для любого фиксированного момента времени.
Иначе говоря, сушествует такая функция ср(х, у, г, с), для которой полный дифференциал при постоянном 1 вычисляется по формуле $7. ИНТЕГРАЛ ЛАГРАНЖА Так как жидкость баротропна, то может быть введена функция (.( = ~ — ",' = ~,",'„; (7.2) 1 — ртас1 р = ртас1 Р. (7.3) р Предположение 3) означает, что Г = — дгас1 У. (7.4) Из предположения 4) следует, что ч = ртас1 ср, — = дгас1 —.
др (7.5) Подставив (7.3), (7.4), (7.5) в (7.1), получим а ( Я -(- — ", -(- ( -(- ( ) = о. (7.6) Из равенства (7.6) следует, что выражение в скобках не зависит от координат, но может зависеть от времени: д1 2 Полученное соотношение носит название интеграла Лагранжа. Интеграл Лагранжа можно записать в виде — -(- — [( — ) -(- ( — ) -(- ( — „" ) 1-(- У-(-Р (р) =(ф. (7.8) Предположим, что мы нашли ср(х, у, г, 1) и что функция ~(1) известна.
Тогда из (7.8) можно найти давление р, а затем и р = Ф(р). Функцию ~(~), входящую в правую часть (7.8), можно считать равной нулю, так как потенциал скоростей определяется с точностью до функции времени. Действительно, если ср(х, у, г, ~) — потенциал скоростей, то любая функция вида ср' = ср + 5 (с) также есть потенциал скоростей (дгас1 ср' = = дгас1 ср). Пользуясь этим, .можно ввести функцию ср так, что г~ ~~ — Р Р) = ~~ Ф = р — ~, Р Р) с~~. 120 Сделаем предположения: 1) жидкость идеальна; 2) имеется баротропность во всем пространстве, занятом жидкостью, т.
е. р = Ф(р); 3) массовые силы консервативны; 4) движение безв их р евое. Для безвихревого движения идеальной жидкости уравнение (5.6) принимает вид ду Г с('~ 1 — + ртас1 ~ — ) = à — — ртас1 р. д1 ~2) р Интеграл Лагранжа запишется в виде —,+ —,+ ч+ ~р)= . Сравним интеграл Лагранжа и интеграл Бернулли. Как мы видели, уравнение Эйлера прп соответ"твующпх условиях приводит к этим интегралам.
Интеграл Лагранжа в некотором смысле более общий, чем интеграл Бернулли, гак как годится и для неустановившихся движений. Но он менее общий в том смысле, что требует безвихревого движения и полной баротропности (в интеграле Бернулли достаточно баротропности только на линии тока). Область действия этих интегралов разная.
9 8. ИНТЕГРАЛ ЭЙЛЕРА — БЕРНУЛЛИ Предположим, что жидкость идеальна, баротропна, массовые силы имеют потенциал, движение безвихревое и установившееся. Первые четыре предположения позволяют написать интеграл Лагранжа (8.1) д1 2 Так как движение установившееся, то о„о„, о,, а следовательно, и ~р не зависят от времени, т. е. ~р = ~р(х, у, г).
Тогда — выдф падает из (8.1), и ~(1) переходит в постоянную. Имеем ~2 — + Г+ Р=С. 2 Интеграл (8.2) носит название интеграла Эйлера — Бернулли. Здесь постоянная С одна и та же для всего потока в отличие от интеграла Бернулли, в котором постоянная С на разных линиях тока различна.
9 9. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ПОТЕНЦИАЛА СКОРОСТЕЙ 1. Не сж им а ем а я ж и дко ст ь. Уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости ~~х ~~у ~ "г +, +, Так как движение потенциально, то ~'Р ~Ф ~% Подставляя о„о„, о, в уравнение неразрывности, получаем уравнение для потенциала скоростей несжимаемой жидкости Д2~р Д2,~ Д2,~ Уравнение для ~р есть уравнение Лапласа, 121 2. С ж и м а е м а я ж ид кость. Рассматриваем безвихревое движение идеальной баротропной жидкости. Считаем, что массовые силы отсутствуют. В силу этих предположений можем на- писать ч = угад ~р; (9.1) р=Ф(р); — + — +~ =О.
д~р с г др д~ '2 1 Ф (р) (9,2) (9.3) 11нтеграл Лагранжа (9.3) заменяет уравнение Эйлера. К уравнениям !9.1), (9.2), (9.3) следует присоединить уравнение неразрывности — + рйчч= О. др (9.4) Наша задача — получить стей ~р. Из (9.1) следует, что уравнение для потенциала скоро- Жчч= — + — +— дФ дФ дФ дх2 д~2 д~а (9.5) Из (9.2), вводя скорость звука а = — , получаем 2 ~~р др ' Ф ~р Фр 1 Ф Н др М а' Н !9.6) Уравнение неразрывности (9.4) согласно (9.5) и (9.6) можно переписать в виде 1 1 др Л~р+ — — — = О.
2 Д Из интеграла Лагранжа (9.3) следует » Л Л (д1 2)' (9.8) Подставим (9.8) в (9.7). С учетом равенства — „= — + ч угад !' д~ д! будем иметь л„— — ', [ — „', (ф+ — ",') ~-» д».д(ф~- — ",'))=о. рл~ Здесь 12'2 Из (9.3) следует, что р есть функция суммы ~ — + — о ).
След»»' ! 2 довательно, а' есть функция производных от ~р. Таким образом, уравнение (9.9) есть уравнение для потенциала скоростей ср. (9,10) для и'. Окончательно будем Введем в (9.9) выражение иметь з д2, 1 ~ д Ь~р — — — —— а2 д~2 а2 с~ дх 1 2 ~ ~ д(р д2(р — = о. д д д1 (9.1 1) д д2, дх1 дху дх/ Частные производные второго порядка в уравнение (9.11) входят линейно, коэффициенты при них зависят от производных первого порядка.
Уравнения, линейные относительно старших производных, называются квазилинейными. Уравнение (9.111 служит для нахождения ~р. После того как ~р найдено, из (9.3) найдем р, а затем р = Ф(р). Предположим, что движение установившееся. В этом случае — = О и уравнение (9.11) для потенциала ~р принимает вид дф д1 з д~р д~р (9.12) а~ Л. дх, дх дх,дх, с,г Введем обозначение и перепишем уравнение (9.12) в виде — О а' дх,.
дх ) дх,дх ~ (ь,, 1, /=1 или з д'ф а;~ = О- дх дх 1, / 1 (9.13) Обозначим определитель, составленный из коэффициентов ап, через 0 = де1~| а;, !|. В зависимости от знака 0 различают три типа уравнений (9.13): эллиптические уравнения, если 0 ) О; гиперболические уравнения, если 0 ( О; параболические, если 0 = О. Непосредственно можно убедиться, что в нашем случае определитель 0 оказывается равным М вЂ” —, 1-1 В=1 — М', (9.14) 123 Таким образом, уравнения являются эллиптическими, если М ( 1, т. е. и ( а, — скорость потока меньше скорости звука; уравнения гиперболические, если М ) 1, т. е.
о ) а, — скорость потока больше скорости звука. Ч а с т н ы й сл у ч а й. Рассмотрим задачу о распространении малых возмущений в сжимаемой жидкости. Пусть эти возмущения возникают в находящемся в равновесии покоящемся газе. 2 Р Обозначим через ро, р,, а,, где а,'= — Р~, параметры газа при '-.Р, „ о = О. Гидродинамические величины можно в этом случае записать в виде (9.19) 124 о = о, Р = Ро+ Р Р = Ро+ Р (9.15) где о', р', р' — малые возмущения скорости, давления и плотности. Так как рассматривается потенциальное движение, то ч = дгаг1 оо, где ~р — потенциал возмущенного движения (ч = ч' = дгаг1 оо).
Отбрасывая в уравнении (9.11) члены, содержащие малые величины в степени выше первой, получаем (9. 16) д„2 д 2 д 2 2 д12 Уравнение (9.16) — классическое волновое уравнение. Величина ао — скорость распространения звука в покоящемся газе. Найдя <р из решения (9.16), определим скорость ч = дгаг1 ср. Определим давление, используя интеграл Лагранжа: 1 д$ Р = Р— Ро= Ро —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
