Лекции по гидроаэромеханике (562036), страница 18
Текст из файла (страница 18)
а а 1+1 а !о= — '+ 2 й — 1 й — 1 2 Соответственно интеграл Бернулли запишется в виде Из этого равенства следует: если а ) а„то тогда а ) а, т. е. поток сверхзвуковой; если а ( а„, то а ( а, т. е. поток дозвуковой. Поэтому скорость а, и называют критической. 5 3. ИНТЕГРАЛ БЕРНУЛЛИ В СЛУЧАЕ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА С УСЛОЖНЕННОЙ ТЕРМОДИНАМИКОЙ В термодинамике энтальпия единицы массы газа определяется выражением ~=Е+ р —.
1 (3.1) Р 113 Здесь а — скорость газа, а — скорость звука в той же точке. Чтобы определить постоянную в правой части (2.19), достаточно знать характеристики в какой-либо одной точке линии тока. Из (2.19) следует, что скорость звука и температура, а с учетом (2.15), и давление и плотность будут максимальными на линии тока в точке, где скорость равна нулю. Эти величины обычно обозначают через ао, То, ро, ро и называют параметрами адиабатпчески заторможенного газа (параметрамп торможеа~ ~г р ния). Величину ! = = с Т = — называют энтальпией Й вЂ” 1 Р Й вЂ” 1 Р (теплосодержанием). Соответственно постоянную цо в правой части интеграла (2.19) называют энтальпией торможения.
Положив в (2.19) скорость а = О, получим выражение для !о через параметры заторможенного газа: Следовательно, при малых изменениях параметров состояния Н = ШЕ + рШ ( — ) + — ~. На основании первого начала термодинамики сумма с!Е+ рс! ~ — ! /1~ Р равна притоку тепла дд к системе, Если приток тепла к системе или отвод тепла от нее отсутствует, т.
е. если процесс адиабатический, то с!ц = О и й = —. Таким образом, для адиабатиф~7 ческого процесса равенство (2,8) (при отсутствии массовых спл) о2 можно записать в виде с! — + си = О и соответственно интеграл 2 Бернулли — в виде о2 — + 1=!о, (3.2) где !о — значение энтальппи прп о = О. Если ввести в (3.2) выражение (3.1) для !, то будем иметь — + Е+ — = ео.
Р 2 р 2 +Е,+Е,+Е + — о. Р Для газа, находящегося в состоянии термодинамического равновесия, колебательная энергия есть функция температуры Т, но при этом теплоемкость колебательных степеней свободы, а слеср ср„ + ср„ + ср довательно, и й— зависят от Т. ср снап + сод + срк Для двухатомного газа в предположении, что молекулы— гармонические осцилляторы, выражение для колебательной энергии имеет вид Е„=, Величина О, пме!ощая размерность ЯО е6:Т температуры и называемая часто характеристической темпера- !!4 Здесь Š— внутренняя энергия, складывающаяся в случае многоатомного газа из энергии поступательного Е„, вращательного Е, и колебательного Е, движений молекул (предполагается, что нет процессов днссоциацпи, ионизации и др.).
В газовой динамике предполагают, что газ совершенный, а теплоемкость обычно считают постоянной, что справедливо в определенном диапазоне температур, когда можно не учитывать колебательную энергию. В этом случае для двухатомных газов (воздух обычно рассматривают как смесь кислорода и азота) Е = Е„+ Е, = ! р 1 — —, РТ и энтальпия дается формулой (2.16), а интеграл Бернулли имеет вид (2.17) (при $' = О). Если температуры таковы, что возбуждается и колебательная энергия Е„то интеграл Бернулли надо писать в виде /гч турои, равна О =- —.
где т — частота колеоании, 6 — постоян!< ная Планка, а 1~ — постоянная Ьольцмаиа. Интеграл Бернулли для двухатомного однокомпонентного газа с учетом возбуждения колебательной энергии будет иметь вид 2 7 ЯО + ЙТ + О~Т ~0' 2 2 „о~т О Интеграл Бернулли может быть использован и при исследовашш неравновесных процессов. Чаще всего неравновесным оказывается процесс, связанный с изменением колебательной энергии, так как колебательная энергия достигает своего равновесного значения значительно медленнее, чем энергия поступательного и вращательного движений.
В этом случае энергия колебательного движения Е," уже не будет функцией температуры, а будет новой неизвестной функцией. Интеграл Бернулли при этом записывается в виде цг + КТ+Е,— ь~ Для того чтобы система уравнений гидромеханнки оказалась замкнутой, должно быть построено дополнительное уравнение для отыскания Е'„'. В случае, если колебательная энергия мало отклоняется от своего равновесного значения Е,(Т) (т. е. рассматривается слабонеравновесный процесс), это уравнение имеет вид ~~ЯН „' = — (Е, (Т) — Е,"). Здесь Е,(Т) — равновесное значение Е,, соответствующее данной температуре Т; Е" ,— фактическое (искомое) значение колебательной энергии. Величина т, имеющая размерность времени, называется временем релаксации и характеризует быстроту, с которой система приходит в состояние равновесия.
Обычно величина т есть функция р и Т. Если двухатомные молекулы можно представить как гармонические осцилляторы, то для однокомпонентиого газа это уравнение справедливо н прн больших отклонениях от равновесия. $4. ДВА ПРИМЕРА НА ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕГРАЛА БЕРНУЛЛИ 1. Истечение несжимаемой жидкости через м а л о е о т в е р с т н е. Рассмотрим истечение жидкости из сосуда через отверстие. Будем считать, что отверстие расположено вблизи дна (рис.
12). Жидкость предположим несжимаемой и находящейся в поле сил тяжести. Пусть 5 — площадь открытой поверхности жидкости в сосуде, з — площадь отверстия, Н вЂ” уровень жидкости в сосуде. 115 Предполагаем, что в/5 « 1. Когда отверстие открыто, то уровень в сосуде понижается, хотя и медленно. Возникающее течение будет неустановившимся, но медленно изменяющимся во времени (в/5 мало). Это движение можно приближенно рассматривать как последовательную смену установившихся движений.
Такая трактовка неустановившихся движений носит название квазистационарной трактовки, или квазистационарного подхода. При таком подходе можем записать интеграл Бернулли, который для несжимаемой жидкости прп 1' = дг для любой линии тока имеет вид (2.13). Рассмотрим линию тока АВ, проходящую через точку А поверхности 5 и точку В в сечении в. Записав интеграл Бернулли для точек А и В этой линии, будем иметь 2 2 ~А РА ~в рв 2 р + +аН= — +— 2 р Принимая, что давление в точках А и В равно атмосферному р4 —— рв — — р„ получаем Ра 2 2 А ~в — + с Н= —. 2 2 Рис. 12, Из последних двух равенств найдем скорость истечения жидко- сти из сосуда / 2до в=ив — ~/ 1 ~~у Так как в/5 «1, то можно написать о м ~/2цН.
Последняя формула есть известная формула Торричелли. Скорость истечения не отличается от скорости материальной точки, падающей с высоты Н. 2. Истечение газа из со- Р суда через малое отверс т и е. Рассматриваем газ, подчиняющийся уравнению Клапейрона, Рис. 13. для которого справедлива адиабата Пуассона. Пусть газ вытекает в атмосферу через малое отверстие (рис. 13). В силу этого параметры газа внутри сосуда меняются мало, и можно пользоваться квазистационарным подходом.
Пусть А — линия тока, соединяющая точку А внутри сосуда с точкой В в сечении вытекаю- 116 Уравнение неразрывности (постоянство расхода) приводит к соотношению вА~ пвв (4.2) (4.4) 117 щей струи. Для точек А и В можно записать адиабату Пуассона (1.11) и интеграл Бернулли (2.19): РА Рв й й РА Рв (4.1) о~ й РА ~в2 7г Рв 2 +й — 1 р 2 +й — 1 р При большом сосуде и малом отверстии оА « ов и можно принять о,~ = О, рл = ро, рз = ро. Обозначая ов = -", рв — — р, рв — — р, пол уч а ем из и итег р ал а Бернулли (4.1) Из условия адиабатичности следует = .( —,')'". (4.3) Подставляя (4.3) в (4.2), найдем скорость истечения =~~,",::~ -(-;.) ''1 Формулы (4.3) и (4.4) дают решение задачи. Рассмотрим полученное решение. Чтобы оно имело смысл, нужно, чтобы р < ро.
Введем величину о = ро — расход на единицу площади. Используя (4.3) и (4.4), получаем 2 й †1 Ч= 1, 1 рорй ~1 — 1 (4.5) Формула (4.5) позволяет исследовать зависимость д от Ро или, если ро постоянно, от р — давления среды, в которую вытекает газ.
При ~ = 1, т. е. р = ро, имеем равновесие, газ течь не будет. При уменьшении р, т. е. ~, расход увеличивается и при некотором ч достигает максимума. При дальнейшем уменьшении $ величина д уменьшается, обращаясь в нуль при 5 = О (рис. 14). Эксперименты под- у 1 тверждают справедливость зависимо- / 1 сти дЯ) лишь для $ ) ~*. При ~ ( ~* в действительности расход остается постоянным, равным максимальному. Рис.
14. Максимальное значение расхода о* = = д Я*) достигается, когда скорость истечения оказывается равной скорости звука. Дальнейшее понижение давления р уже не оказывает влияния на истечение из отверстия — возмущения из внешней среды не проникают внутрь (скорость распространения возмущений — скорость звука — будет меньше скорости газа в струе). При ~(~", когда струя становится сверхзвуковой, предположение об одномерности течения оказывается неверным, надо учитывать пространственный характер течения. 8 б.
УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА В ФОРМЕ ГРОМЕКИ вЂ” ЛЭМБА Выпишем уравнение Эйлера — = à — — ргали р. (1У 1 (й р 15.1) Введем в рассмотрение оператор У' и скалярное произведение ч Ч: Д . Д д Ч=1 — +1 — +~ —, Дх дд Дг ' д Д д ч у'=о — +о — +о —. х Дх У Ду л Д~ (5.2) Применим оператор (5.2) к вектору скорости ч: 1Ч У) Ч=Ох — „+ ΄— „+ О,— ДУ ДУ ДУ (5.3) С1У и используем 15.3) при записи вектора ускорения — в уравне- Л нии (5.1): — = —,+(ч.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
