Лекции по гидроаэромеханике (562036), страница 17
Текст из файла (страница 17)
е. чтобы ось г' проходила через центр тяжести объема. Тогда все составляющие момента будут равны нулю. Таким образом, система сил, действующих на тело, погруженное в однородную несжимаемую жидкость, находящуюся в поле сил тяжести, статически эквивалентна одной силе, равной по величине весу жидкости в объеме тела и направленной вертикально вверх, причем линия действия этой силы проходит через центр тяжести объема тела. Ч а сть 111. ГИДРОМЕХАНИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ Будем предполагать, что жидкость идеальна, нетеплопроводна и объемные источники тепла отсутствуют. Это означает, что тп —— — пр, 1х = 1у = 1~ = О, в = О. Система уравнений гидромеханики идеальной нетеплопроводной жидкости была получена в главе И1 (формулы (1.5)).
В этих уравнениях теперь следует положить е = О. ГЛАВА Х ИНТЕГРАЛЫ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИИ ГИДРОМЕХАН ИКИ ИДЕАЛЬНОИ ЖИДКОСТИ При определенных условиях некоторые из уравнений системы могут быть проинтегрированы. Эти условия имеют достаточно общий характер и оказываются выполненными во многих разных по характеру задачах. Полученные соотношения — интегралы системы уравнений — часто бывает более удобно использовать при исследовании задач, чем исходные уравнения. э 1. АДИАБАТА Движение жидкости называется адиабатическим, если жидкость не приобретает тепла извне и не отдает его. Предположения, принятые в этом разделе (1 = О, е = О), означают, что мы рассматриваем адиабатические движения.
108 Выпишем уравнение неразрывности и уравнение энергии — „, +р Йчч= О; др р — „, +рдич=О. йЕ (1.2) (1.1) Найдя йч ч из (1.1) и подставив ее в (1.2), получим р — — — — =О. йЕ р ~1р р д~ (1.3) Внутренняя энергия с учетом уравнения состояния может быть представлена как функция р и р. Принимая это во внимание, можем переписать (1.3) в виде < дЕ др дЕ др ~1 р с~р др Н др Н ( р Н нли дЕ др Г дЕ р~ др р + р О. др Ж ~ др р) Ж (1.4) Отсюда р дЕ рг др (1.5) др дЕ др Правая часть <1.5) — известная функция р и р, обозначим ее через ЯР Р): — "Р =ЕР, Р) (1.5') р=Ф(р, С), (1.6') т. е.
имеется баротропность для частиц. Интеграл (1.6) называется адиабатой. Возможны случаи, когда постоянная С, входящая в (1.6), постоянна для некоторой совокупности частиц. Так, для 109 др Уравнение <1.5') — обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. Оно связывает изменение давления с изменением плотности в движущейся частице, поскольку уравнение (1.5) получено из уравнения <1.4), в которое входили полные производные — и — . Проинтегрировав (1.5), получим д/7 др Ж Ж ' 9 (р, р)=С. (1.6) Здесь С вЂ” постоянная интегрирования, сохраняющая свое значение для движущейся частицы. При переходе от одной частицы к другой значение С может изменяться. Если бы движение рассматривалось в переменных Лагранжа (а, 6, с, 1), то можно было бы записать С = С(а, К с).
Равенство (1.6) означает, что плотность в движущейся частице является функцией одного только давления: установившегося движения С имеет постоянное значение на линии тока. Действительно, при установившемся движении траектории и линии тока совпадают. Возьмем точку М на линии тока, в ней постоянны давление рм и плотность рм. Для любой частицы, прошедшей через эту точку, можно записать С = Я (рм, рм). Для частиц, движущихся вдоль линии тока, проходящей через точку М, будет справедливо равенство 9 (р, р) = 9 (рм, рм). Таким образом, для установившегося течения имеется баротропность на линии тока.
Встречаются случаи движения, когда постоянная С одинакова для всех частиц жидкости, т. е. имеется оаротропность во всем пространстве, занятом жидкостью. П р и м е р. Лдиабата Пуассона. Рассмотрим газ, подчиняющийся уравнению Клапейрона (1.7) Пусть с. и с, — теплоемкость газа при постоянном объеме и постоянном давлении; предполагается, что они постоянны. В этом случае внутренняя энергия Е= с„Т. (1.8) ~о Учтем известное соотношение с — с = — и, выразив Т из р1 (1.7) через р и р, подставим Т в (1,8): Е= " —, или Е=— Р с„ — с„ р ' а — 1 Р Отношение с /с, = й называют показателем адиабаты. Уравнение (1.5) при таком выражении для Е примет вид ~~Р /с Р (1. 10) иР Р Интегрируя последнее уравнение, получаем соотношение, которое называют адипбптой Пуассонп: р = Ср".
(1.1 1) Соотношение (1.11) имеет место в частице. Постоянная С может изменяться от частицы к частице. При установившемся движении С (т. е. р/р") постоянна на линии тока. 3 а м е ч а н и е. Предположение о постоянстве с и с„, при котором получено соотношение (1.11), справедливо в определенном диапазоне температур, зависящем от физических свойств ср газа. Величина показателя адиабаты Й = — = 1+ — зависит с„ с„ от структуры молекул, составляющих газ: для одноатомных газ 5 зов с„= — Я и Й = —; для двухатомных, когда энергию колебательного движения молекул практически можно не учиты- 5 вать с„= — Я и й= — и т.д. 2 5 11О $2.
ИНТЕГРАЛ БЕРНУЛЛИ Предположим, что хсидкость идеальна, массовые силы консервативны, движение установившееся, имеет место баротропность на линии тока. Так как жидкость идеальна, то уравнение движения дч 1 — = à — — угад р. р (2.1) Так как массовые силы консервативны, то Г= — ргали Г (2.2) и уравнение (2.1) можно переписать в виде ~Ь 1 — = — ргали à — — ргали р.
Ж Р Предположение о баротропности иа линии тока означает, что р=Ф(р, С), (2.4) (2.3) дъ' 1 — Ыг = — ргали Г с1г — — ргали р с1г. Ж Р (2.5) Так как линия тока является и траекторией, то ~~г Дч 1 (о' '~ А ' Ж 2 ~2/' — =ч — Ыг= сЬ ч = — И(ч ч) =И1 — ~1. Кроме того, (2.6) ргали Г ° с1г = АУ, ргали р ° с1г = с1р. Подставив (2.6) и (2.7) в (2.5), получим 2 Имея в виду (2.4), введем функцию Р(р, С): Р(~, с)=~ С учетом (2.9) равенство (2.8) можно переписать в виде а( — ", + г+р) =О. (2.7) (2.8) (2.9) (2.10) Отсюда ,г — + У+ Р=- сопз1. 2 (2.
11) Равенства (2.10) и (2.11) имеют место на любой линии тока, но постоянная в правой части (2.11) может изменяться при 111 где С постоянна на линии тока. При установившемся движении траектории и линии тока совпадают. Обозначим через с~г(с~х, с~у, сЬ) элементарное перемещение вдоль линии тока и умножим скалярно все члены (2.3) на Ыг: переходе от одной линии тока к другой.
Равенство (2.11) называют интегралом Бернулли. Рассмотрим интеграл Бернулли для двух важных случаев. 1. Однородная несжимаемая жидкость. В этом ~' ~р случае р — заданная постоянная и Р (р) = ~ — = — (р — р ). р,, Р Р Интеграл Бернулли примет вид — + Г+~ =С. 2 Р (2. 12) Если массовые силы — силы тяжести, то Г = дг и интеграл Бернулли в этом случае — +дг+ —" = С, 2 Р (2.
13) или — + г+ — = С'. 0' Р 2~ РИ (2. 14) Учитывая (2.15), вычисляем Р(р): ! Р(р)== ~ —.= Рр-и' .=Р— „, ° "= — „, -' (.16) Подставив (2.16) в (2.11), получим интеграл Бернулли в виде (2. 17) Из физики известно, что производная — равна квадрату скодр дР рости звука.
В случае адиабатического процесса можно убедиться, что а-= — = й —. Таким образом, ~~Р Р ~1Р Р (2.18) 112 Отдельные слагаемые в (2.14) имеют размерность длины и на,г зываются соответственно: — = 6 — скоростной, г — геометри2д с ческой, Р— пьезометрической высотами.
Равенство (2.14) РИ позволяет дать такую формулировку интергала Бернулли: при движении однородной несжимаемой жидкости в поле сил тяжести сумма скоростной, пьезометрической и геометрической высот постоянна вдоль линии тока. 2. С о в е р ш е н н ы й г а з.
В этом случае уравнение состояРс ния есть уравнение Клапеирона р = — рТ, с, = сопМ. При сделанных в этой главе предположениях имеет место адиабата Пуассона (1.11). Введем новую постоянную Р = С"". Тогда р» рр-н» 1 (2.15) Р» Р Эта формула является одной из важных формул газовой динамики.
В газовой динамике обычно массовые силы не учитывают, а постоянную С обозначают через !о. В этом случае интеграл Бернулли принимает вид сР а — +~ !=~о. (2. 19) ~о 2 Ро !о= Кто = —— Может случиться, что в некоторой точке скорость газа окажется равной скорости распространения звука в данном месте, т. е. а = а = а,. Полагая в (2.19) а = а = а„, получаем выражение !о через критическую скорость а,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
