Лекции по гидроаэромеханике (562036), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Для определения произвольных постоянных С|, С~, Сз должны быть заданы условия. Условия могут быть различными; (6.21) 1О1 Таким образом, равновесие жидкости в консервативном поле сил возможно, если некоторая функция Я(Р) является гармонической. Если предположить, что Р— именно такой потенциал, то функция Я(Р) может быть найдена из соотношения (6.15). Имея это в виду, вернемся к уравнению (6.13), которое запишем в виде например, на поверхности равного потенциала Г = ~, могут быть заданы р и Т, на поверхности Г = ~1 задано Т, т.
е. р1„, „=р,, Т~,, =Т„Т~„, „Т,. (622) 3 а м е ч а н и е. Все рассуждения сохранились бы и в случае, когда А = А(р, Т, Ъ') и уравнение состояния имеет вид р = = р(р, Т, Ъ'). Вместо системы (6.20) получили бы несколько более общую систему — „",= — ~(р,т, ~), (6.23) (6.24) (6.26) Из (6.25) получим (6.27) Подставляя (6.27) в (6.24) и интегрируя полученное уравнение, будем иметь 1пр=!пС,— — ~ „1 1 . (6.28) Г 1 ~И(~) ~' с,+с, ~ 1 ~(ц а~ Отсюда р = Сзехр Г т(1) ~Ч л,~ Гч 1 ,И и, С2+С, — — ~Ц й ~Ц Равенства (6.27), (6.29), (6.26) дают решение задачи.
Запишем полученное решение для случая, когда массовые силы — силы тяжести Р, = — д = сопз(. Потенциал массовых сил Р = да удовлетворяет уравнению Л$' = О. Из (6.14) следует, что д(У) = й" ($') = О, откуда Я'(Г) = сопзт. Предпола- (6.29) 102 мт ал(и) ~(р, т, ~) — „=с, р = Р (р, Т, ~') Пусть газ подчиняется закону Клапейрона; р = — рт.
Предло ~п положим, что пю = т(Ъ'), А = Й(Ъ') (например, молекулярный вес и и коэффициент турбулентной теплопроводности А зависят от высоты). Система уравнений равновесия (6.23) с учетом уравнения состояния примет вид ар т(У) р ю г, т' д ( у ) ~ т ~ ~ Д 1 ~ ( ~ ) ю ' ж т (1') р р= л, т' гая, что й и и постоянны, из (6.27) получаем Т= С +Ь 1т. й (6.30) Из (6.24) н (6.26) найдем р и р: Р=Св(Сы+ ~ 1) ' ' ° 2= ~ т . (631) Постоянные С~, С~, Сз находятся из условий на границе. Пусть эти условия имеют вид (6.22) и пусть на поверхности Земли О, Тогда для Г = да можно равенства (6.22) записать в виде Т 1, Π— — То, р 1, Π— — ро, Т 1,, = Т,.
С учетом условий при г = 0 и а = а~ получим известные барометрические формулы ~г, Йэ (6.32) 103 Т, — Т, Т, — Т1 л тп — 1т,-т,) Т= ТО р=ро 1 Я1 ТО ~1 т р Р= г, Т' Последние равенства дают ход изменения температуры, давления и плотности с изменением высоты в предположении, что Й и и постоянны. Температура линейно зависит от высоты. Для земной атмосферы падение температуры на 1000 м примерно равно 6,5'. Нетрудно выписать решение и для случая, когда массовые силы изменяются обратно пропорционально квадрату расстояния от центра Земли.
1. Если рассматривать не очень большие расстояния от Земли, то можно как это обычно делают, приближенно принять поверхность Земли за плоскость и массовые силы направленными вертикально, т. е. положить Р„= Р„= О, Р,—,, где ~122 (2+ ~)2 ' а — радиус Земли, д — ускорение силы тяжести на ее поверхности а = О. В этом случае потенциал массовых сил Д122 = — — , откуда а + а = — — . Функция о(1т), определяемая Д12 2 а+ г' У 2 2 формулой (6.14), будет д(~т)=, (а+а) = — —, и уравнение (6. 15) дл я Я ( Р) за пи шется в виде Я" (~) 2 Я'(У) У ' Отсюда Я'(Г) = —, и Я (Г) = — — + Сь Выражение Я(1т) С через г будет иметь вид Я=, (а+ г) + Сь т. е.
Я(г) — гармоническая функция. Подставляя К(1т) = —, в (6.27) и (6.29) и вычисляя интегралы, легко получим зависимость Т, р и р от а. В частности, температура будет опять линейно зависеть от а: Т = Т, — ' ' Я = Т~ (1 ' ' ) . 16.33) 2. Задачу о равновесии атмосферы вокруг Земли, когда массовые силы есть силы тяготения, можно рассмотреть и в более точной постановке, считая, что Земля — однородный шар и силы направлены к центру Земли.
В этом случае, вводя сферические координаты г, О, ~р, будем иметь Потенциал массовых сил У = — — удовлетворяет уравнению дп2 Г Лапласа ЛУ = О и согласно 16.14) функция д(У) = О, откуда Й'(У) = сопМ. В формулах 16.27) и 16.29), дающих решение задачи, следует, вообще говоря, при больших изменениях высот учитывать зависимость и и й от У, т. е. от высоты.
Если же, как и раньше, принять т и й постоянными, то решение может быть сразу выписано. Для температуры оно имеет вид а 1 —— т, — т, Г Т=Т, то а 1 —— Г) где То — температура при г = а; Т) — температура при г = г). Если в выражении для Т обозначить г — а через а, то получим Т=го(1 ' ' '). (634) Примечание редактора Из уравнений равновесия жидкости в консервативном силовом поле, как известно, следует, что между давлением р и плотностью р существует функциональная зависимость.
Жидкость, для которой р есть функция только р, обычно называют баротропной. При этом имеется в виду, что зависимость р от р заранее задана. Это позволяет при решении задач о движении баротропной жидкости ограничиться рассмотрением уравнения неразрывности и трех уравнений движения для нахождения четырех функций — и„ г)„, г)„ р, а при исследовании равновесия жидкости — рассмотрением трех уравнений (так как уравнение неразрывности удовлетворяется тождественно).
Жидкость, уравнение состояния которой имеет общий вид ~(р, р, Т) = О и относительно которой не делается никаких специальных предположений (об изотермичности или адиабатичности процессов и др.), называют бароклинной. При решении задач о движении бароклинной жидкости приходится привлекать уравнение энергии. Задача о равновесии жидкости, уравнение состояния которой имеет общий вид ~(р, р, Т) = О и относительно которой не делается никаких специальных предположений, также не может быть точно решена без использования уравнения энергии. Зависимость р от р в этом случае заранее неизвестна и для каждой задачи может быть найдена только после ее решения. Решение задачи о равновесии жидкости в консервативном силовом поле, изложенное в $ 6, получено С. В.
Валландером и изложено в статье «Равновесие бароклинной теплопроводной жидкости в консервативном силовом поле» (Доклады АН СССР,1974, т, 216, Л4 21. 104 $7. ОБЩИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ГЛАВНОГО ВЕКТОРА И ГЛАВНОГО МОМЕНТА СИЛ ДАВЛЕНИЙ (7.1) Момент этой силы относительно начала координат сЛ =ГАДЫР~=(гает„)Ю. (7.2) Проинтегрировав (7.1) и (7.2) по поверхности 5, получим общие формулы для главного вектора и главного момецта сил, действующих на поверхность 5 со стороны жидкости: Р~ = т„д5; [.=а[охи„)[5.
(7.3) (7.4) Если в жидкости действуют только нормальные напряжения, то т, = — пр и формулы (7.3) и (7.4) принимают вид Р~= — рп И5; ). = — ~ ~ [с Х и) р с)5. В проекциях на оси координат получим Р. = — ~~ р сов [и, х) й5, Р„'= — ~ ~ рспп[и, у) о5, Р. = — ~~ рспп[и, х) с)5; х., = — ~~ р [усов [и, и) — псов[и, у)[с)5, х'х ~ ~ Р [х сов [п х) псов [и 2)[ с)5, Ь, = — ~ ~ р [хсов [и, у) — усов [и, х)[с)5.
(7.5) (7.6) (7.7) (7.8) 105 Пусть имеется некоторое тело и пусть 5 — часть поверхности тела, соприкасающаяся с жидкостью. Как обычно, и — нормаль к элементу поверхности Ы5, направленная в ту сторону, где находится жидкость. На плошадку Ы5 со стороны жидкости действует сила ЫР5 = т„д5. Б 58. ЗА ~~И АРХИМЕД удем рассмат и в поле с атривать одно илы тяжест . родную нес и. Массовые с илы Р Р олучена ф ости решена акой жидк х — у=О я давления на в ~ 4, где была Введем вместо г ко Р= сто г координату г', положив (8.1) / Ро т.
е. б — го — — э удем отсчиты ' от ывать г' от ы ' от так называ при г=г емого п ив прим ет вид го+ о =г — '1. огда форм ла риведенного ула для давления Пусть в жн Р= РЫг дкость пог ъе . Слим глав ове хн (8.2) , действующих ~5 (8.2) в ф х со сто он что пов н р5 вного векто а х ность г сов (и, х) Ы5 = О Г~ = — '„=О, разом, на тело ру низу вверх тела. ычисли ии гла и равная в есу жидко , действует 7.8) им проекции гла дкости в объента. спольз я ~х=рЫ '1г ~ г) уя формулы г усов(п, г) — г „г [, г) — гсоз(п, у)] сЮ= д дг' „= — рр х с~т, Ь, = О.
Введем координ аты цент а ра тяжести объема Тогда вы а '=-'6"" '=-' огда выражения для 1.„, Е да вы а, Еу, Е, можно записать в в 1Об ,отл . = . (8.4) дении момента. Известно, что система сил приводится к одной равнодействующей, если скалярное произведение главного вектора на главный момент равно нулю. В нашем случае это имеет место: (Р ° Е) = Р„[т„+ Р„1.„+ Р,1., = О. Выберем начало координат так, чтобы х, = у, = О, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
