Лекции по гидроаэромеханике (562036), страница 15
Текст из файла (страница 15)
тем одно из другого. Получим р ~ *- —" +~ — "- — *+~ ,*)~=о, (2.5) или в векторном виде (2.5') Г ° го1 Г = О. Условие (2.5) необходимо для возможности равновесия, Это условие есть необходимое и достаточное условие для того, чтобы векторное поле Г имело вид (2.6) Г= В ~гаг1 1, где В и Р— некоторые функции координат.
Подставляя (2.6) в (1.7), получаем дгаг1 Р = — цгаг1 р. 1 РВ Образуем якобиан ' и учтем при этом в(р, и) Р(х, у) равновесия (2,1) и равенство (2.6): (2.7) уравнения д$' дУ дх дх д$' д$' ду ду др дУ дх дх П(р,)) (2.8) =рв 0 (х, у) др д$' ду ду Аналогично получим — 0 — 0 0(у, я) ' д(я, х) Равенства (2.8) означают, что между р и Р имеется функциональная зависимость (2.8') 1'= Я(р) (2.9) Из уравнения (2.7) следует, что др=рВНР, рВ=, т. е. Ыр рв=ч (р).
(2, 10) Равенство (2.5) или эквивалентное ему равенство (2.6) дает общий вид сил, при которых возможно равновесие. При выполнении (2.5) силовые линии ортогональны к поверхностям = сопМ. Направление Г параллельно огай К в 3. УСЛОВИЯ НА ПОВЕРХНОСТИ РАЗДЕЛА ДВУХ ЖИДКОСТЕЙ Пусть имеются несжимаемые жидкости 1 и 11, разделенные поверхностью Х, причем р' =Ф р". Равенство напряжений в точках поверхности раздела в случае равновесия дает условие р !х р~ !х. (3.1) Умножая (2.2) на Р„(2.3) на Р„(2.4) на Р„и складывая, по- лучим Для каждой из жидкостей справедливы уравнения равновесия др — = Р'~г1 дх х' др1 — = р1Р, ду У' др'1 — рп~ ду др1 — — р1~ ° дг (3.2) дрп — рп~ д г. д 1' рп~ дх Умножим первое уравнение на Их, второе на Иу, третье на Иа и сложим полученные выражения, В результате будем иметь Ир1= р'(Г„Их+ Г„И~+ Г, г~~).
(3.3) Аналогично арп = рп (~„Их + Г„И у + ~, г~~). Пусть Их, Иу, Жа — проекции Иг — перемещения вдоль поверхности раздела Х. Тогда в силу (3.1) Ф'~,=Фп~,. (3.4) (3 5) Вычитая (3.4) из (3.3) и учитывая (3.5), получаем (р' — рп) (~„ах + ~„ау + ~, г~~) = О. (3.6) Так как р' Ф р" по предположению, то из (3.6) следует, что вдоль поверхности раздела Р„Их + Р„Иу + Р, Иг = О, Г ° Иг=О, (3.7) или (3.7') т. е. в каждой точке поверхности ее элемент ортогонален вектору силы Г. Равенство (3.7) означает, что работа массовых сил при перемещении вдоль поверхности раздела равна нулю. Если считать силы тяжести направленными вертикально, то поверхностями раздела будут горизонтальные плоскости. Если принять, что силы тяжести направлены к центру земли, то поверхностями раздела будут сферы.
$4. РАВНОВЕСИЕ ОДНОРОДНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ Г = — дгас1 р = дгас1 1 Ро Ро (4.1) т. е. равновесие несжимаемой жидкости возможно только в по- тенциальном силовом поле. Пусть Г = — дгас1 У. (4.2) 9б Система уравнений равновесия содержит уравнения (1.7)— (1.9). Уравнение состояния (1.9) для однородной несжимаемой жидкости имеет вид р = ро = сопз1. Учитывая это, можно уравнение (1.7) записать в виде Тогда из (4.1) и (4.2) следует, что ргали ( Р 1 = — ргали У, т.
е. ~Ро/ р С РОУ. (4.3) Постоянная интегрирования С находится из условия р ~,, — — ро. Таким образом, давление найдено. Если массовые силы — силы тяжести, то Р, = Р„= О, Р, = = — д и потенциал У = дг. Из формулы (4.3) в этом случае получаем гидростатический закон: Р = ро+ РИ (ао — а) Для несжимаемой жидкости коэффициент теплопроводности зависит от температуры нли постоянен. Если А = А(Т), то уравнение (1.8) для температуры — нелинейное уравнение в частных производных второго порядка.
В случае А = сопз1 уравнение (1.8) переходит в уравнение Лапласа д'Т д'Т д'Т дх' ду2 дг~ + + — =О. (4.4) Функции, являющиеся решением уравнения Лапласа, называются гармоническими. Следовательно, в рассматриваемом случае Т есть гармоническая функция. Для решения уравнения Лапласа должны быть заданы граничные условия. Чаще всего встречаются два типа граничных условий и соответственно формулируются две краевые задачи. 1.
На поверхности 5 заданы значения температуры, т. е. Т~~ — — Т(М) — заданная функция точек поверхности (задача Дирихле) . 2. На поверхности 5 задается значение нормальной произ- дТ! водной, т. е. — ~ =Я(М) (задача Неймана). Известно, что дп ~з задача об отыскании решения уравнения (4.4), когда на 5 за- дТ дана —, разрешима только при условии, если ~ ~ )й )М) Ш5 = 0 дп ' Ь дТ Физический смысл этого условия очевиден. Величина й д с15 дп есть поток тепла через площадку Ш5, а условие )') ЯШ5= Г дТ ~ — с15= О означает, что общее количество тепла, входящее .1 дп и выходящее через поверхность 5, равно нулю. При равновесии это условие выполнено. Если решать внешнюю задачу Неймана для безграничной области, то условие для потока тепла не ставится — тепло рассеивается. Итак, в случае однородной несжимаемой жидкости задача об определении температуры решается независимо от задачи об определении давления.
4 зпк. )031 97 $5. РАВНОВЕСИЕ БАРОТРОПНОй ЖИДКОСТИ Введем определение: жидкость называется баротропной, если ее плотность есть функция только давления р =Ф(р). (5.1) В противном случае жидкость называется бароклинной. Предположим, что жидкость баротропна, и выпишем уравнения равновесия (2.1), учитывая (5.1): 1 др 1 др — — =Р— — =Р ф (р) дх "' П> (р) ду ,,( ) +=Р,. (5.2) Введем в рассмотрение функцию и (5.3) Система (5.2) с учетом (5.4) примет вид дР дР дР— =Р— =Р— =Р. х> (5.5) Из (5.5) следует, что массовые силы Г должны быть потенциальны, т. е.
равновесие возможно, если поле массовых сил консервативно. Пусть Р = — ргали У, (5.6) где Р— потенциал массовых сил. Из (5.5) и (5.6) следует дР д$~ дР д$~ дР д$~ — — — — — — — — — йР = — дУ. дх дх ' ду ду ' дг дг ' (5.7) Интегрируя (5.7), получим Р(р) =С вЂ” У. (5.8) Постоянная С находится из условия р~~=~, — — ро. Определив и и подставив его в (5.1), получим р.
Давление и плотность постоянны на поверхностях У = соп51. 3 а м е ч а н и е. Если жидкость находится при постоянной температуре (изотермична) Т = То, то уравнение равновесия для температуры удовлетворяется тождественно, а уравнение состояния принимает вид р = ! (р, То) = Ф (р), т. е. плотность есть функция только давления — жидкость баро. тропна. Для Р(р) справедливы равенства дР 1 др дР 1 др дР 1 др — — — — (5.4) дх Ф(р) дх ' ду Ф(р) ду ' дг Ф(р) дг ' П р и м е р 1. Рассмотрим равновесие жидкости при отсутствии массовых сил, т.
е. Р = О. В этом случае рта(1 р = О (см. (1.7)) и р = сопз1. П р и м е р, 2. Рассмотрим газ, подчиняющийся уравнению Клапейрона, при изотермическом равновесии рТ Т= Т0. Йо Отсюда вт р ~(Р) ~р г ~р ~,т, р Р (р) = 1 — = 1 — = — '' 1п —. 1р, Р 1р, Ф(Р) ш Р0' Подставляя Р(р) в (5,8) и учитывая, что р~ =р0, получим т в,т, р (~ )'о) — '' 1и — = У0 — У, р=р0е ~0' . Если массовые силы— ~п р0 силы тяжести, то У = дл и т (~ Л0) К р = р0е "бт Давление убывает с высотой как ехр( — Сл). $6. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ РАВНОВЕСИЯ ЖИДКОСТИ В КОНСЕРВАТИВНОМ СИЛОВОМ ПОЛЕ (6,1) то система уравнений равновесия с учетом (6.1) примет вид др дУ др д$' др д$' — р = р — = р (6.2) дх дх' ду ду ' дг дя' — (Й вЂ” )+ —,(Й вЂ” )+ — (Й вЂ” ) =О, (6.3) р=~(р, Т), (6.4) где ~=~(р, Т). (6.5) Необходимое условие для равновесия выполнено — силы консервативны.
Можно ожидать, что задача имеет решение. Из уравнений (6.2) следует, что Ыр = — рддр, т. е. Ыр р= НУ ' 99 Рассмотрим общий случай равновесия сжимаемой жидкости в консервативном силовом поле, когда система уравнений равновесия имеет вид (1.7) — (1.9). Так как поле массовых сил консервативно, т. е. 1-' = — дга(1 У, Используем результаты, изложенные в $ 2, положив в приведенных там формулах В = 1. Тогда согласно (2.9) Р=Р(У) (6.7) и в соответствии с (6.6) нли (6.13) ат (ага1и)' ' '(Ю Левая часть (6.13) — функция только У, следовательно, и правая часть должна зависеть только от У.
Обозначим ЬУ (р аА ~/)2 Ч ( )' (6.14) Отсюда следует, что равновесие возможно, если потенциал массовых сил таков, что справедливо (6.14). Поле массовых сил известно, и если (6.14) выполнено, то д(У) — известная функ. 1ОО р=р(У). (6.8) Таким образом, давление и плотность есть функции только У. Так как по предположению температура входит в уравнение состояния (6.4), то — Ф О. Решив (6.4) относительно Т и учтя д~ (6.7) и (6.8), получим, что температура также есть функция только У, т.
е. Т= Т(У). (6.9) Очевидно, что на поверхностях равного потенциала У = сопз1 давление, плотность и температура постоянны. Решить задачу — значит найти вид зависимостей р, р, Т от У. Рассмотрим уравнение (6.3). Из (6.5) в силу (6.7) и (6.9) следует, что ~=~(р, т)=~(У). (6.10) Так как А и Т, входящие в (6.3), есть функции лишь У, то уравнение можно переписать в виде Раскрывая производные от произведений, получаем Используя обозначения Л~ и огай ~, будем иметь —, (А —,) ф~гай 1~)'+ А —, ЛУ = О. а ат ат пия.
Чтобы установить, для каких потенциалов массовых сил выполнено равенство (6.14), введем вместо д(Р) новую функцию Й(Р) согласно равенству Р" (У) д(Р) = Функция Я(Р) не может быть выбрана произвольно. Посмотрим, какому условию она должна удовлетворять. Из равенства (6.14) следует дЛ(Г)~д'У + д'У + д'У)+ РЮ ~(дГ )~ (дГ)~ (дГЛ (6.16) Уравнение (6.16) есть уравнение Лапласа для Я(Р): д, ~(1~) + д, ~(1~) + д, ~ (Р) =О. (6.17) (6.15) ат~ Г ~ г1 Л" 1Ц (6.18) ат Л' 1У) '(Ю Интегрируя один раз уравнение (6.18), имеем ~ — „„=сл ®. (6.19) Собирая вместе (6.4), (6.6), (6.19), получим систему уравнений равновесия ф= — 1(р, Т), ь "'=С,~~~и) р=~(р, Т). (6.20) Таким образом, задача свелась к обыкновенным дифферен- циальным уравнениям. Интегрируя систему дифференциальных уравнений, получим общее решение задачи о равновесии жид- кости в консервативном поле сил р=рЖ с„с„с,), т= т(Р, с~, с~, сз), Р=Ир, Т).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
