Лекции по гидроаэромеханике (562036), страница 14
Текст из файла (страница 14)
В силу (2.2) уравнение (2.4) примет вид Ио„, 1 др + ««(дЪ„+ д~о„+ д~о~'« ~«« " р дх р ~ дх~ ду~ дх' /' Аналогично запишутся два других уравнения — проекции на оси у и г. Вводя обозначения ««д'~ . д'«д'~ — — + — + =Л~ р ' дх' ду' дх~ перепишем уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости в виде (2.5) (2.6') +т ' +1 ' = р+21«, + дч дч дч ( до„~ до,„ дх " ду ~ дх дх 3 дх +( — Р+2н д'*) д"* — — — РЬНч+Ф Ф. (2.7) 88 ~Й'х 1 др ~««х р дх =Р— — — + чЛп, х~ Иву 1 др Ж " р ду =Р— — — +чЛо у> Иох 1 др Ж ~ р дг = Р— — — +чЛп . г Уравнения (2.6) равносильны одному векторному уравнению Ич 1 — = Р— — ргали р+ ч Ьч.
Ж р Уравнения (2.6) носят название уравнений Навье — Стоукса. Уравнение неразрывности (2.2) и уравнения Навье — Стокса (2.6) образуют систему четырех уравнений для отыскания о„, и„, о, и р, т. е. для несжимаемой вязкой жидкости при р = сопз( задача об отыскании поля скоростей и давлений может быть ре- шена независимо от задачи отыскания поля температур.
После того как функции ч и р будут найдены из (2.2) и (2.6), можно искать температуру, решая уравнение энергии. В отличие от уравнений Эйлера в уравнения Навье †Сток входят производные второго порядка. Это должно отразиться на постановке граничных условий. Если же «х = О, то уравнения Навье †Сток переходят в уравнения Эйлера.
Обратимся к уравнению энергии (1.3). Подставим выраже- ния (2.3) для тензора напряжений в группу слагаемых, входя- щих в уравнение энергии: В силу (2.2) йч ч = О. Через Ф обозначена сумма Ф=И 2 д +2 д" +2 д~ + д д + д +д + д +д.» Используя закон теплопроводности Фурье (1.$) и предположение, что Й = сопа1, получаем д~.» Жы д~~ ~ д'Т д»Т д'Т ~ Учитывая (2,7) и (2.9), перепишем уравнение энергии (1.3) в виде р — =е+Ф+ йЬТ.
(2. 10) Для несжимаемой жидкости Е = сТ+ сопа1, где с — теплоемкость, и уравнение энергии примет вид ср =е+Ф+ йЬТ. йТ Если система уравнений (2.2), (2.6) проинтегрирована, т. е. ч и р — известные функции, то уравнение (2.11) есть дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка для отыскания температуры Т. Входящая в (2.11) функция Ф неотрицательна и обращается в нуль илько в случае, когда жидкость покоится или движется как абсолютно твердое тело. Для идеальной жидкости Ф = О, так как ц = О. Функция Ф называется диссипативной функцией. Если среда неподвижна, т.
е. о = о„= о, = О, Ф = О, то уравнение (2.11) принимает вид известного уравнения теплопроводности дТ д'Т д»Т д' Т р — „=.+~(,„, +,„, + „,). Если коэффициент й нельзя считать постоянным, т. е. й = И(Т), то уравнение запишется в виде Итак, уравнения (2,2), (2.6), (2.11) образуют систему уравнений вязкой несжимаемой жидкости до» д~у дх + ду + дя 89 Функция Ф имеет вид (2.8). Система (2.12) содержит пять урав- нений для отыскания пяти функций: и„, и„, о„р, Т.
5 3. пОстАнОВкА 3АдАч ОБ ОтыскАнии течении ВЯЗКОИ ТЕПЛОПРОВОДНОИ ЖИДКОСТИ вЂ” =О, — =и — +о — +о —. д~ И~ д~ д~ д~ д1 ' Ж " дх ~ ду ~ дх ' 1. Граничные условия на обтекаемом теле. При установившемся течении тела неподвижны, скорость а точек поверхности обтекаемого тела равна нулю. Вязкая жидкость обладает свойством прилипания к телу.
Поэтому на поверхности 5 непроницаемого тела скорость частиц жидкости должна быть равна нулю, т. е. ч!з=О, или о„1з — — О, о,1з О, (3.1) где и„, и, — нормальная и касательная составляющие скорости. Если поверхность проницаема, то ч Ьз = 0 (М), где 0 (М) — заданная функция. Кроме условий для скорости ставится условие для температуры обычно одного из двух видов: либо задается температура Т жидкости у поверхности тела, например, если Т (М) — температура точек поверхности тела, то Т| =Т (М), (3.2) либо задается поток тепла д, идущий от тела к жидкости (или обратно): (3.3) 90 Имеем систему уравнений вязкой несжимаемой жидкости (2.12).
Чтобы решение интересующих нас задач, описываемых этой системой, было единственным, должны быть заданы граничные условия. Рассмотрим граничные условия трех типов: на обтекаемом теле, на границе раздела двух жидкостей и на бесконечности (если жидкость заполняет безграничное пространство). А. Постановка задач для установившихся течений. В этом случае для любой гидродинамической функции 1 Если А„т, — коэффициент теплопроводности и температура тела, то это условие можно записать в виде дТ ~ дТч Условие (3.3) означает непрерывность потока тепла. 2.
Граничные условия на поверхности раздела двух жидкостей. Поверхность Х неподвижна. Условие для скорости ч'! чван . (3.4) Условие (3.4) — условие непрерывности скорости при переходе через поверхность раздала, т. е. в вязкой жидкости должны быть равны не только нормальные, но и касательные составляющие скорости. Если и — нормаль к площадке, расположенной на поверхности Х, то условие для напряжений будет .г1 ~ .ги ~ (3.5) Условие для потока тепла (сохранения потока тепла) дТ „ дТ ~ (3.6) 3. Условия на бесконечности Таким образом, задача состоит в нахождении решения системы уравнений (2.12), удовлетворяющего условиям, указанным в пунктах 1, 2, 3.
Б. Постановка задач для неустановившихся теч'ений. 1. Граничные условия на поверхности тела. При нестационарных течениях тела могут перемещаться в жидкости, могут и изменять свою форму. Пусть а(М, ~) — скорость точки М поверхности 5 тела в момент времени 1. Тогда для непроницаемого тела ч] =ц(М, ~). для проницаемого тела ч~~ — — ч(М, ~), где Ч(М, г) — заданная функция. Условия для температуры сохраняют свой вид, только в этом случае функции, входящие в (3.2), (3.3), зависят еще и от времени 1.
2. Граничные условия на поверхности раздела сохраняют вид (3.4) — (3,6), но теперь от времени 1 могут зависеть не только функции ч, ~„, Т, но и сама поверхность раздела Е, 3. На бесконечности должны быть известны ч Я, р (1), т р. 4. Начальные условия не отличаются от начальных условий в идеальной жидкости: в некоторый момент 10 должны быть заданы ч, р, Т как функции координат х, у, а. Кроме того, должна быть задана поверхность раздела Хо в момент 10. Таким образом, требуется найти решение системы уравнений вязкой теплопроводной жидкости, которое в момент 1 = 10 удовлетворяло бы начальным условиям и во все моменты времени условиям на поверхности тела, условиям на поверхности раздела и условиям на бесконечности. Методы современной математической физики, основанные на функциональном анализе, позволяют исследовать весьма широкий класс задач гидродинамики, уточнить их постановку и до.
казать теоремы существования и единственности решения, а также непрерывную зависимость решения от данных задачи. Ч а с т ь 11. ОСНОВЫ ГИДРОСТАТИКИ ГЛАВА 1Х УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ И ИХ ИНТЕГРИРОВАНИЕ Рассматриваем покоящуюся жидкость. В этом случае в жидкости наблюдаются только нормальные напряжения, причем их величина не зависит от ориентировки площадки (см. $ 1 гл.
ч'1). Тензор напряжений принимает вид (1.7) гл. ч'1, а это означает, что для задач о равновесии жидкости не существенно различие между идеальной и вязкой жидкостью. Будем предполагать, что у жидкости нет внутреннего момента и что для нее справедлив закон теплопроводности Фурье. 5 1. УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ Выпишем систему уравнений гидромеханики в общем виде: —,+рг11чч=О; Ир Ж ~Ь дс, дты дс~ Ж Р + дх + ду дя (1.2) йЕ дч дч дч д~х д~ы д~а Р~,=~. д +~ы д +~. д +д +д +д +~' ( 3) Р=~(р, т). (1.4) Так как жидкость находится в равновесии, то это означает, что о = — О и — = — О, а тогда для ~юбкой функц~~ ~: — = — + И~ д~ д1 Ж д1 +ч угад ~ =О.
Имея это в виду, обратимся к системе уравнений (1.1) — (1.4). Уравнение неразрывности (1.1) выполняется автоматически. Закон количества движения (1.2) в силу равенств тх= — 1р, Т„=-1р, т.= -йр запишется в виде Р— — угад р = О. 1 р (1.5) Уравнение энергии примет вид д~„дну д1~ (1.6) Уравнения (1.5), (1.6) и (1.4) образуют систему уравнений равновесия. Предполагая, что объемных источников тепла нет, т. е. в = О, и учитывая закон Фурье 1 = А угад Т, где А = А(р, Т), получим систему уравнений равновесия в виде 1 Г= — ~гад р; р (1.7) р=1(р, Т). (1.8) (1.9) В системе уравнений равновесия пять уравнений, а искомых функций три: р, р, Т.
Система переопределена. Это означает, что равновесие возможно не всегда, Получим условия разрешимо- сти системы (1.7) — (1.9). $ 2. УСЛОВИЕ ДЛЯ СИЛ Выпишем уравнения (1,7) в проекциях: — =рР др — =рР др ду (2.1) — =рР . др дя ~ дРу дух '~ др др р1,— — —,1+à — — à — =о. ~, дх ду ! У дх ' ду (2.2) Аналогично получим еще два уравнения: ~ дР~ дР~ ~ др др р1 — — — 1+à — — à — =О ~,ду дя ! ~ду Удх Г дРх дРл ~ др др р ~ — — — ~~+г — — г — =о. ~ дх дх 1 " дя ~ дх (2.4) 94 Продифференцируем первое уравнение по у, второе по х и выч.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
