Лекции по гидроаэромеханике (562036), страница 13
Текст из файла (страница 13)
(1;3) В силу (1.1) и (1.3) уравнение энергии запишется в виде р „=е — рйчч. ИЕ (1. 4) К полученным уравнениям надо присоединить уравнение состояния ~(р, р, Т) = О и выражение для внутренней энергии Е через какие-либо две величины из трех (р, р, Т). Таким образом, система уравнений гидромеханики для идеальной нетеплопроводной жидкости примет вид — + рйчч= О, Ир с!ч 1 — = Р— — угад р, Ю р йЕ р — + рйчч=а, (й (1.6) ~ (р, р, Т) — О. Здесь Е = Е(р, Т). Этой системе уравнений удовлетворяют все течения идеальной нетеплопроводной жидкости, как установившиеся, так и не- установившиеся, а также относящиеся к обтеканию жидкостью 82 Система (1.5) — система шести уравнений для отыскания шести искомых функций: о„о„, о„р, р, Т, Пять уравнений — нелиней- ные уравнения в частных производных первого порядка, одно уравнение — конечное соотношение.
Вид зависимости Е = = Е(р, Т) обычно известен. Массовые силы Г считаются за- данными функциями координат и времени. Объемное поглоще- ние энергии е обычно задается как функция р и Т, хотя иногда может зависеть и явным образом от координат и времени. Выпишем систему уравнений (1.5) более подробно: др др др др Г дух дну дог ~ — +Ох +О +О =Р— — —, дух дух д~х д~х ! др д~ х дх "ду х дг х р дх' до„до~ доу до„! др — +о +о — +о =Р д! х дх ~ ду х дг ~ р ду' дох дух дух дох 1 дп ( 1.5') — х+о '+о '+о =Р— — -~-, д~ х дх ~ ду хдг ' р дг' Г дЕ дЕ дЕ дЕ ~ / до„до„до Р(р, р, Т)=о.
5 2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ОБ ОТЫСКАНИИ УСТАНОВИВШИХСЯ ТЕЧЕНИИ ИДЕАЛЬНОИ НЕТЕПЛОПРОВОДНОИ ЖИДКОСТИ Согласно определению движение называется установившимl ся, если для любой гидродинамической величины А: А дА = О.Система уравнення (1.5) в этом случае может быть д~ записана в виде х д +~у д +~г д +рйчч=О, др др д дч дч дч о — +о — +о — =à — — ~гадр "дх Уду ~дл р ! дЕ дЕ дЕ ~ р (о, — + пд — + и,— ) + р Йч ю = е, ~ (р, р, т) = О, (2.1) где г=г(р, т).
(2.2) Искомые функции р, о„, о„, о„р, Т являются функциями х, у, л. Рассмотрим наиболее часто встречающиеся граничные условия, которым должны удовлетворять искомые функции. 1. Граничные условия на поверхности тела. Пусть установившийся поток жидкости движется относительно тела и пусть система координат неизменно связана с телом. Обозначим, как обычно, через 5 поверхность тела, через и— нормаль к поверхности (функция точек поверхности). Возможны два случая. а) Тело непроницаемо, т. е.
жидкость не проникает через поверхность 5 тела. Тогда нормальная составляющая скорости на границе должна быть равна нулю: о„1з О. В этом случае говорят, что тело обтекается. б) Тело проницаемо (например, пористое тело), т. е. возможно протекание жидкости через поверхность.
В этом случае поток жидкости через 5 является заданной функцией точек М поверхности 3 и (2.3) о ~з=~(М). (2.4) Если в жидкости находится несколько тел, неподвижных относительно друг друга, то граничные условия делжны выполняться на поверхности каждого из тел. 83 различных тел при разнообразных условиях. Множество реше- ний весьма широко. Надо научиться ставить условия, которые позволяли бы выбрать нужное решение, соответствующее усло- виям задачи. 2. Условия на поверхности раздела жидкостей.
Пусть Х вЂ” поверхность раздела (рис. 11). Для установившегося течения эта поверхность неподвижна. Жидкость движется вдоль поверхности Х, не проникая через нее. Это означает, что о„'~ =о„"~ =О. (2.5) Существует еще условие, относящееся к давлению на поверхности раздела. Из закона количества движения следует, что для любой массы жидкости главный вектор объемных и поверхностных сил, включая силы инерции, равен нулю. Выделим элемент объема в виде шайбы вдоль поверхности раздела. Высота шайбы Лй, площадь основания Л5. Пусть Лй «С ЛЯ.
В силу малости ЛЙ силы, действующие на боковую поверхность, можно не учитывать. Объемные силы также можно не учитывать, так как они пропорциональны ЛЯ Лй. Равенство нулю главного вектора сил для такой шайбы приводит к условию равенства нулю суммы сил давлений, действующих на шайбу сверху (р'Л5) и снизу (р"Л5), т.
е. дает условие Р'!в = Р" 1~. (2.6) Таким образом, на поверхноа'Ь сти раздела должны быть выпол- нены условия (2.5) и (2.6). ФорРис. 11. ма поверхности Х находится из условий задачи. 3. Условия на бесконечности. Пусть некоторое тело обтекается потоком поступательным и однородным на бесконечности. В этом случае должны быть известны ч1„=ч„, р!„=р„,- Т!„=Т„. (2.7) Уравнение состояния связывает р, р и Т, поэтому достаточно задать только две из этих величин. Таким образом, из множества решений системы (2.1) надо выбрать то, которое удовлетворяет на поверхности тела условию (2.3) (если поверхность проницаема, то условию (2.4)), на поверхности раздела — условиям (2.5), (2.6), на бесконечности— условиям (2.7). Эти условия имеют общий характер и относятся к произвольным телам. Свойства жидкости (физика жидкости) отражены в уравнении состояния и в выражении для внутренней энергии.
$3. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ОБ ОТЫСКАНИИ НЕУСТАНОВИВШИХСЯ ТЕЧЕНИЙ ИДЕАЛЬНОЙ НЕТЕПЛОПРОВОДНОЙ ЖИДКОСТИ При неустановившихся течениях жидкости гидродинамические функции зависят от координат и времени. Система уравнений, которой они должны удовлетворять, — система уравнений (1.5), Рассмотрим граничные условия для нестационарных тече- ний.
1. Граничные условия на поверхности дви- ж у щ е г о с я т е л а. В случае нестационарного течения тела могут перемещаться в жидкости, могут и изменять свою форму. Как и раньше, пусть 5 — поверхность обтекаемого тела, и — нор- маль в точках 5. Обозначим через ч скорость частиц жидкости, через и(М,1) — скорость точки М поверхности тела в момент ~.
а) Если 5 — поверхность непроницаемого тела, то п„!з=и„(М, ~). б) Если тело проницаемое, то о„!з=У(М, ~), (3.2) (3.3) ч $ = ч (1), р 3 = р (1), Т 1 = Т (1). (3.4) 4. На ч ал ьны е условия. Для нестационарных задач движение будет зависеть от того состояния, с которого оно началось. Поэтому кроме граничных условий должны быть заданы в начальный момент времени 1, условия, характеризующие состояние жидкости во всей области, занятой жидкостью: ч1,, =чо(х, у, я), р1,, =ро(х, у, я), Т~, =Т,(х, у, я).
(3.5) Таким образом, задача состоит в том, чтобы найти такие функции о„о„, о„р, р, Т, которые являлись бы решениями системы (1.5), в начальный момент времени 1 = ~о обращались бы в заданные функции (3.5) и во все моменты времени удовлетворяли бы граничным условиям (3.1) или (3.2) на поверхности тела 5, условиям (3.3) на поверхности раздела (если она имеется), условиям (3.4) на бесконечности. В начальный момент времени поверхность раздела Е, должна быть задана. Форма поверхности Е в Зависимости от ~ при начальном условии Х(~) ~,, =Х ищется в процессе решения задачи.
Начальные и граничнйе условия должны быть согласованы, т. е. начальные условия должны уховлетворять условиям в бесконечно далекой точке и на поверхности обтекаемых тел. Кроме рассмотренных граничных условий встречаются и другие граничные условия, с которыми приходится иметь дело при рассмотрении различных задач, где С(М,~) — заданная функция. 2. Граничные условия на нов ер х ности р аздел а. В этом случае поверхность раздела может менять свою форму, перемещаясь с течением времени. Пусть и~ — скорость точек поверхности Х, разделяющей жидкости 1 и 11 (см.
рис. 11). Тогда условия запишутся в виде о„'~ =о„" ~ =и~, р' ~ =р" ~ . 3 Условия на бесконечности: Г Л А В А Ч111 СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ГИДРОМЕХАНИКИ ВЯЗКОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОЙ ЖИДКОСТИ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ДЛЯ НЕЕ В этой главе будем рассматривать вязкую жидкость, для которой связь теизора напряжений с тензором скоростей деформаций дается формулами (2.28) гл.
ч'1, установленными на основе закона трения Ньютона. Будем предполагать, что жидкость подчиняется закону теплопроводности Фурье (см. (4.1) гл. ч'1). Будем рассматривать жидкости без внутреннего момента. В этом случае уравнение моментов (учитывая, что ти ти) удовлетворяется автоматически.
5 1. ОБШАЯ СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ГИДРОМЕХАНИКИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ Уравнение неразрывности — ~- + р Й ч ч = О. д Ж (1.1) Уравнение движения сплошной среды Ыч дух дхы дух р — -рР+ + " + — '. Л дх ду дх (1.2) Связь тензора напряжений с тензором скоростей деформаций: г д~х ~хы ~ых 1~1, ~ ду Г д"ы т ы-1'~ д Г дох тхх=тхг И ~ д» дух тхх = Р+ Л ЙчЧ+ 2И д д~ы ду дух дг тыы — — р + Л Йч ч + 2р т„= — р+ Л Йчч+ 2р Закон теплопроводности Фурье й —,~=А —,~=й —. дТ дТ дТ дх ' ы ду ' х дг ' (1.5) Уравнение состояния ~ (р, р, т) = О. (1.6) Уравнение энергии йЕ дч дч д~ д~х И~ы Вх р — =в+.
— +. — +; + х+ — ы+ — '. (1З) И " дх ы ду х дх дх ду дх 5 2. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ГИДРОМЕХАНИКИ ОДНОРОДНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ Рассматриваем однородную несжимаемую жидкость. Для нее р = р0 соп81 — уравнение состояния. Будем предполагать, что коэффициенты вязкости ц и теплопроводности й являются постоянными: ц = соп81, Й = соп81. (2.1) Так как р = сопз1, то — =О и уравнение неразрывности при- ЫР нимает вид доу до~ ду дг — О. (2.2) будет дух дх + (2.2) Тензор напряжений в' силу дух т.». = Р+ 2И д Г дух д "и ~ тху тух И~ +- ~ду Дх !' Г доу д~з ~ туг тгн 1~~ + !' ~дя ду / до~ д~х 1 доу — Р+2Р д до~ т„= — Р+2И дя (2.3) Рассмотрим уравнение движения (1,2).
Запишем его проекцию на ось х и подставим вместо ти выражения (2.3). Учитывая при этом (2.1), получим 87 К этим уравнениям надо присоединить выражения для внутренней энергии Е, коэффициентов вязкости 1~ н Л н теплопроводности й: Е = Е (Р, Т), Л = Л (Р, Т), Р = Р (Р, Т), й Ф (Р, Т). (1.7) Считаем, что поле массовых сил Г и вид функции е известны. Таким образом, имеем систему (1.1) — (1.6), в которой число неизвестных равно числу уравнений.
Если в уравнения (1.2) н (1.3) подставить (1.4) и (1.5), т. е. исключить нз рассмотрения тд и 1;, то получим систему шести уравнений: (1,1), (1.2), (1.3), (1.6) для шести искомых функций: о, о„, о„р, р, Т. Выразив из уравнения состояния одну из функций через две другие и подставив ее выражение в уравнения (1.1), (1.2), (1.3), можно получить систему пяти уравнений для отыскания пяти функций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
