Лекции по гидроаэромеханике (562036), страница 11
Текст из файла (страница 11)
В реаль. ных жидкостях касательные напряжения не равны нулю, но 70 часто встречаются случаи, когда касательные напряжения малы по сравнению с нормальными. В таких условиях жидкости удобно представить как идеальные. Итак, считаем жидкость идеальной. Во всех случаях справедлива формула Коши т„= т„соз (и, х) + т„соз (и, у) + т, соз (йв).
(1.1) т„р„л, т„= р„1, т„= р„~, т,= р,й. (1.2) Подставив (1.2) в (1.1), получим р„п р„1 соз (и, х) + р„~ соз (и, у) + р,й соз (и, г). (1.3) Поскольку и = соз (и, х) 1+ соз (и, у) ~ + соз (и, я) й, (1.4) нз (1.3) следует, что (1.б) Рп Рх = Рц Ри = Р т„= — рп, у„= — р1, тд — — — р~, т = — рй. (1.6) Из (1.6) следует, что в идеальной жидкости величина нормального напряжения не зависит от ориентировки площадки. Величину р называют давлением. Из (1.6) следует, что составляющие тензора напряжений ти = — р, ти = 0 (~ Ф й).
Тензор напряжений идеальной жидкости будвт иметь вид Т =((ти,((= — р1. (1.7) В тензор (1.7) входит только величина р — скаляр. ф 2. ВЯЗКАЯ (НЬЮТОНОВСКАЯ) ЖИДКОСТЬ И ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ ДЛЯ НЕЕ Вязкой называют жидкость, в которой при движении кроме нормальных напряжений наблюдаются и касательные напряжения. Рассмотрим эксперимент, который проводил еще Ньютон. Имеются две плоскости, между которыми находится жидкость. Нижняя пластина закреплена, верхняя движется параллельно нижней на расстоянии Ь со скоростью ч (рис. 10). Опыт показывает, что сила 1, которую надо приложить к верхней пластине, 71 По определению идеальной жидкости Формулы (1.2) перепишутся в виде — р 0 0 о — р о о о — р 1 0 0 0 1 0 О 0 1 $ = и — „5, где 5 — площадь пластины, Сила, приходящаяся на ч единицу площади, в нашем случае касательное напряжение (2.1) Здесь ц — коэффициент, который зависит от свойств жидкости.
Этот же опыт дает распределение скоростей жидкости: на неподвижной пластине скорость жидкости равна нулю, на верхней — равна скорости пластины. Распределение скоростей поперек линейно зависит от расстояния 0 =0 —. у х (2.2) ЙОх 0 В силу (2.2) = —, и выражение для т„, можно запийу Ь сать в виде '~Ух = И,1 (2.3) 72 Для многих жидкостей равенство (2.1) выполняется с большой степенью точности. Коэффициент ц называется коэффициентом вязкости.
Причиной вязкости (касательных напряжений) яв- ляется хаотическое движение мо- Д лекул, переход которых из слоя в слой создает торможение этих движущихся слоев относительно друг друга. Так как в рассматриваемом движении о, = о,(~) и, следо- 1 (д0~ д0у1 З вательно е = — ( + 2 ~ ду дх / Рис. 1О. 1 йо„ вЂ” то, как следует из 2 (2.3), в этом случае справедливо соотношение ту„— — 2иеу„.
(2.4) В соответствии с рассмотренным опытом можно вывести связь между тензором напряжений и тензором скоростей деформаций в общем случае. Жидкость называется вязкой ньютоновской, если выполнены следующие условия: 1) в жидкости, когда она движется как абсолютно твердое тело или находится в покое, наблюдаются только нормальные напряжения; 2) компоненты тензора напряжений есть линейные функции компонент тензора скоростей деформаций; 3) жидкость изотропна, т. е.
ее свойства одинаковы по всем направлениям. Условие 1) означает, что т;н = О при 1 Ф й, если все е, = О. Условие 2) означает, что т;» могут быть представлены через е, в виде (учитывая симметрию тензора напряжений) тхх = Й10+ а„Ехх+ Й128уу+ аГЗЕ„+ а14Еху+ Й158у, + а1,Е,х, туу Й20 + Й218хх + Й228уу + Й238хх + Й248ху + Й258ух + Й268хх ~22 Й30 + Й31 хх + Й328уу + 33 22 + Й34 ху + Й35 ух + Й36 2х тху тух Й40 + Й418хх + Й428уу + Й438хх + + а44е.ху + Й45еух + Й468 х, (2.5) ту~ т~у Й50 + Й518хх + Й528уу + Й538~~ + + Й548ху + Й558у~ + Й568~~ тхх тхх Й60 + Й618хх + Й628уу + Й638хх + + Й648ху + Й658ух + Й668~~ Условие 3) означает, что коэффициенты аг» в (2.5) не зависят от выбора системы координат.
Предположим, что жидкость покоится или движется как абсолютно твердое тело. В этом случае все е, = О. Из формул (2.5) тогда будет следовать, что Й10 туу Й20 тх~ Й30 (2.6) т =т =Й40, т ='5 =Й50, '5, =т. =Й60. Но по условию 1) все касательные напряжения при этом обращаютсяя в нуль. Следовательно, Й40 Й50 Й60 (2.7) Нормальные напряжения в этом случае не зависят от ориентировки площадки.
Обозначим общую величину этих напряжений через — р. Тогда аи — — аг0 = а,0 —— — р. (2.8) Перейдем к системе координат х', у', г', оси которой являются главными осями для тензора скоростей деформаций. Обозначим ех,х,=е„е„,„,=е,, е, =е, (е, =О пРи 1'Ф й). Выпишем выражения для т„„и т„у =ту„в этих координатах, учитывая (2.7) и (2.8): (2.9) (2.10) т„.„ы = — р + Й1181 + Й1гег + Й1383 у'х' 41 1 + 42 2+ 43 3' ху ух Рассмотрим формулу (2.9). Покажем, что а1г — — а,3.
Для этого введем новые оси координат (2.1 1) Оси х", у", г" — тоже главные оси тензора скоростей деформаций. В этих осях равенство (2.9) сохраняет свой вид; (2. 12) 7З Здесь в1', е2", ез" — главные скорости деформации в осях х", у", г". Учитывая (2.11) и определение величин еь получим дох„дух. до„„ до, Подставив (2.13) в (2.12), будем иметь Р + а11в1 + а12вз + а13вз. Так как оси х' и х" совпадают, то т,.=т, и тх"х" = тх'х' ° Приравнивая (2.9) и (2.14), получим (2. 14) (2.15) (агз а1з) (~з вз) = 0 (2.16) Так как (2.16) имеет место при любых а2 и ез, то, следовательно, (2.17) аг2 — — а1з а12 — — а13 — — Л, а11 = Л + 214. Положим (2.18) Подставляя (2.18) в (2.9), получим т..., = — р+ Л (е, + е, + е,) + 2ре,.
Аналогично получим формулы для т„, и т,,'1 (2.19) т„,,= — р+ Л(е, + е + е ) + 214е~, тх'х' Р + Л (В1 + ~2 + ~З) + 214ВЗ' (2.19') Здесь е1+ е2+ ез= дич. Рассмотрим теперь выражение (2.10) для касательных напряжений и покажем, что в главных осях тензора скоростей деформаций все касательные напряжения равны нулю. Наряду с системой координат х', у', г' введем систему координат х"', у"', г"': (2.20) (2.22) дух„, до~, дх'" дх' 1' Подставляя (2.22) в (2.21), получаем (2.23) х'"у"' 41 1 ' 42 2 ~ 43 3 х'У" 74 Новая система координат также является главной и можно написать (2, 21) Очевидно, Но по физическому смыслу т,,„, и т„„,у„, справедливо и такое равенство: (2.24) Действительно, т,„,= т„„ величина т„,„, есть проекция вектора т„, на ось у', а т,„, „, — проекция этого же вектора на противоположное направление.
Из равенств (2.23) и (2.24) следует, что тх „О. Аналогично устанавливается равенство нулю и остальных касательных напряжений: тх у = ту х = тх г = тг х = ту г = тг у = О, (2.25) е, О О О е, О О О е, 1 О О О 1 О О О 1 тхх тху тхг тух ~уу ~уг тгх тгу тгг =( — р+ Л Йчч) (2.26) Равенство (2.26) устанавливает связь между компонентами двух тензоров (правую часть можно записать в виде одного тензора) в главных осях. Но если два тензора равны между собой в каких-то осях координат, то они будут равны и в любых других осях координат, так как компоненты тензора при переходе к другой системе преобразуются по одним и тем же законам.
Таким образом, связь между тензором напряжений и тензором скоростей деформаций в любых осях координат имеет вид 1 О О О 1 О О О 1 ехх Еху ехг еух еуу еуг е,х е,у егх тхх тху тхг ух туу хуг ~гх ~гу ~гг =( — р+ Л Йчч) (2.27) Для составляющих получим т~~ — р+ Л Йъ ч+ 2цец, тд~ — — 2це,~ (~ ~ й). (2.27') Используя формулы для составляющих тензора скоростей деформаций ((8,8) гл. 1), получим окончательное выражение для т. е. в главных осях тензора скоростей деформаций касательные напряжения в вязкой жидкости равны нулю. Но такие оси есть главные оси тензора напряжений. Следовательно, главные оси тензора скоростей деформаций одновременно являются и главными осями тензора напряжений.
Равенства (2,19) и (2.25) можно объединить, записав их в виде одного тензорного равенства: составляющих тензора напряжений в вязкой жидкости: дамур / до„доу п~ ~урх= Р+ АЙ~0+ 2И д ~ху=~ух= И1~ ду + дтп )' ~уу= Р+ Х Йч0+ 2Р, ту,— т,у — 1~1, д + д ), (2.28) д~л 1 дох дол ~ ~ы= Р+ХЙ~п+2И д а тях=~хг=И~ дг + дх )' В формулы (2.27), (2.28) входят два параметра: Х и ц. Если Х = и = О, то тензор напряжений вязкой жидкости обращается в тензор напряжений идеальной жидкости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
