Вопросы экзамена по физике для вечерников МАИ (552436), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

2. Атом водорода

Э

лектрон в атоме водорода движется в силовом поле положительно заряженного ядра, т. е. находится в потенциальной яме с рельефом вида: U = - kq_е²/r.

Граничные условия имеют характер: .

Таким образом, имеем потенциальную яму бесконечной глубины (ящик)
с радиальной симметрией, со стенками гиперболической формы (фигура вращения - типа грамофонной трубы).

Кинетическая энергия электрона Т = kq_е²/2r и полная энергия Е = Т + U = - kq_е²/2r = - T = |U|/2.

В соответствии с изложенными выше соображениями, можно сразу сделать заключение о бесконечно большом числе уровней энергии электрона в атоме водорода. Энергия электрона остается дискретной до тех пор, пока ее значение остается отрицательным; этому соответствует связанное состояние электрона в атоме, электрон
остается внутри ямы.

Электрон за счет туннельного эффекта может кратковременно выйти за пределы ямы, (за границы), но затем обязан вернуться в нее обратно. Поэтому в квантовой теории говорят, что электрон вращается не по орбитам, а как бы размазан в пространстве в виде облака вероятности его различных местонахождений.

Стационарное уравнение Шредингера для электрона в атоме водорода имеет вид:

В силу наличия сферической симметрии потенциальной энергии, уравнение Шредингера целесообразно записать и решать в сферической системе координат r, , . Оператор Лапласа  в сферических координатах запишется так:

 = ² /x² + ² /y² + ² /z² = 1/r² /r(r² /r) + (1/r²sin ) /(sin  /) + (1/r²sin² )² /²

И уравнение Шредингера:

[1/r² /r(r² /r) + (1/r²sin ) /(sin  /) + (1/r²sin² )²/²] + (2m/ ²)(Е + kq_е²/r) = 0

Представляем  - функцию в виде произведения трех сомножителей с разделенными переменными r, , : ( r, , ) = R(r)  ()  Ф(). Решаем уравнение Шредингера методом разделения переменных. Возможность такого разделения доказывается в процессе решения.

После подстановки выражений для потенциальной энергии и волновой функции  электрона в атоме водорода в уравнение Шредингера, оно распадается на три уравнения, каждое из которых записано для своей сферической координаты:

1) R(r) = ₁(n, l); 2) () = ₂(l, m); 3) Ф() = ₃(m).

В этих уравнениях появляются квантовые числа n, l, m, как параметры при решениях соответствующих уравнений.

Решив три уравнения, получаем выражение для полной энергии электрона в атоме водорода, которая квантуется: Е_n = - k²mq_е⁴/2n^{2 2}. Это выражение совпадает с полученным ранее в полуклассической теории Бора. Напомним, что Бор, и позднее Зоммерфельд, постулировали введение квантовых чисел в теорию. Здесь же, в квантовой теории, квантовые числа вводятся не "вручную", а вытекают естественным образом в результате решения уравнения Шредингера. Четвертое квантовое число – спиновое, в нерелятивистском уравнении Шредингера не появляется. Оно вытекает из более общего, релятивистского уравнения Дирака.

Главное квантовое число n и в квантовой, и в классической теории определяет полную энергию электрона в атоме водорода: Е_n = - k²mq_е⁴/2n^{2 2}.

Орбитальное (азимутальное, побочное) квантовое число l, по Бору-Зоммерфельду, определяло форму орбиты электрона (ее отличие от круговой орбиты, ее "эллиптичность"). В квантовой же теории это число определяет форму электронного облака и численно - момент импульса электрона в нем:

.

Число l = 0, 1, 2, … (n - 1) изменяется, начиная с нуля, а у Бора с 1. При l = 0, L = 0 - нет вращения. Электронное облако имеет конфигурацию сферы. Такое состояние, называемое S - состоянием, в классической теории невозможно. Там орбиты были плоскими, и сферически симметричный случай был невозможен. Состоянию с нулевым значением момента импульса в теории Бора соответствовало бы прямолинейное движение электрона вдоль диаметра атома.

Магнитное квантовое число m у Бора - Зоммерфельда определяло ориентацию эллиптической орбиты электрона в пространстве, а в квантовой теории - ориентацию электронного облака в пространстве и численно - проекцию L_ момента импульса на некоторое выделенное направление z:

L_z = m , где m = 0,  1,  2, …  l.

Для l = 0 (S - состояние) и m = 0 - сферическая симметрия, нет никакой избранной симметрии в пространстве, то есть каких-либо выделенных в нем направлений.

Рассмотрим поподробнее 1S - состояние – простейший, сферически симметричный случай распределения плотности вероятности в пространстве. Это состояние является стационарным невозбужденным. В нем волновая функция (r, , ) = (r) - не содержит зависимости от угловых координат  и , и уравнение Шредингера запишется так:

.

Решение ищем в виде - простейшей сферически симметричной функции. Подставив в уравнение Шредингера, получим:

Полагаем равными нулю каждое из слагаемых по отдельности:

и ; и .

В итоге для энергии электрона в 1S - состоянии имеем: - как у Бора.

В

ероятность dP₁ местонахождения электрона в элементарном сферическом (шаровом) слое
с объемом dV = 4r²dr равна: . Радиальная плотность вероятности (радиальная функция распределения): - функция с максимумом. Плотность вероятности имеет максимум, при r = r_о, который и соответствует значению радиуса первой орбиты по теории Бора.

. У Бора для радиуса
орбит было: .

По теории Бора - Зоммерфельда электроны в атоме вращались по орбитам. В квантовой механике орбит как таковых нет, а есть целые пространственные области (облака), в которых электрон может находиться с разной вероятностью. Но у этого облака пространственного распределения вероятности местонахождения электрона есть максимумы, которые и попадают на радиусы боровских орбит. Таким образом, теория Бора есть некоторое приближение к более глубокой и полной, адекватной теории микробытия - к квантовой теории.

В невозбужденном 1S - состоянии вероятность найти электрон в разных направлениях одна и та же, зависящая только от радиуса. В возбужденных состояниях (при n  1 и l  0) плотность вероятности начинает зависеть и от углов  и . Рассмотрим, например, состояние с

= 1, называемое р - состоянием. В нем имеем три ориентации облака вероятности с m = 0,  1.

Для l = 1 она изображается фигурой типа гантели. Вдоль направления вероятность найти электрон по теории Бора, равна нулю.

Д

ля l = 2; d - состояние: m = 0,  1,  2 - итого пять ориентаций; две взаимно перпендикулярных гантели.

Для электрона в атоме водорода, как и для гармонического осциллятора, существуют определенные правила отбора, ограничивающие число возможных переходов электрона в атоме, связанных с дипольным излучением и поглощением света. Согласно этим правилам, побочное квантовое число l может изменяться на единицу, то есть l =  1, а магнитное квантовое число m – на ноль и единицу, то есть m = 0,  1. Переходы электрона с n – го на первый уровень (серия Лаймана), то есть в 1S состояние, могут осуществлять лишь из р – состояний: nр  1S. Соответственно переходы электрона на второй уровень (серия Бальмера) могут происходить по схемам: nр  2S, nS  2р, nd  2р.

Вопрос № 10 Прохождение частиц через потенциальный барьер. Туннельный эффект.

Потенциальной барьер конечной ширины. Туннельный эффект.

А

налитически и графически потенциальный рельеф барьера конечной ширины задается следующим образом:

Также, как и ранее в случае барьера бесконечной ширины, различаем два случая: 1) E > U_о и 2) E < U_о.

1. E > U_o (низкий потенциальный барьер). Частица налетает на барьер, имея энергию Е, большую его высоты U_о. Выделяем три области: I, II и III. Используя результаты рассмотрения случая с барьером бесконечной ширины, общий характер решения можно представить в виде  - функций (волн) с волновыми числами:

Частица из первой области может либо перейти во вторую область, либо отразиться от нее. И далее, на второй границе - ступеньке она может также либо
отразиться, либо пройти дальше в третью область. Энергию частицы, в силу консервативности и стационарности условий, считаем непрерывной и неизменной во всех трех областях.

2

. E < U_о (высокий потенциальный барьер). Для бесконечной ступеньки при Е  U_о в области за барьером волновая функция представляла собой
затухающую экспоненту: ₂  е^-kх.

Укорочение ступеньки (приближение второй границы к первой) приводит к тому, что волновая функция может не успеть заметно убыть на протяжении барьера. Это означает, что микрочастица может пройти за барьер (в область III), даже имея энергию, меньшую высоты барьера.

Факт возможности прохождения частицы через барьер при ее энергии меньшей высоты барьера является специфически квантовым, не имеющим классического аналога. Частица как бы "прокапывает" себе туннель под барьером, не имея энергии, достаточной чтобы преодолеть барьер сверху, обычным, классическим образом. Причем на выходе барьера энергия частицы остается той же, какая была на его входе. Поэтому этот специфический эффект и назвали туннельным. Он объясняет многие закономерности в физике твердого тела, в ядерной физике (при  - распаде). Сам он может быть объяснен на основе соотношения неопределенности Гейзенберга для энергии Еt  . Если t - время прохождения барьера, то энергия Е частицы имеет неопределенность Е  /t, достаточную для временного переворота условия Е  U_о в условие Е  U_о.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)