Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

В

ероятность подбарьерного прохождения (просачивания, туннелирования) резко уменьшается как с ростом ширины a, так и высоты U_о барьера. Расчет коэффициента пропускания (прозрачности) D  |₂|²  е^-2|k|а барьера при строгом решении задачи дает такое выражение:

При произвольной форме потенциального барьера:
В этих формулах предэкспоненциальный множитель D_о представляет собой величину, близкую к единице, то есть D_о  1.

Сравнивая поведение макро- и микрочастиц, можно сделать вывод о большем разнообразии возможностей в поведении квантовой частицы. Поведение макрочастицы оказывается более ограниченным, реализующим лишь часть возможностей присущих поведению микрочастицы. За этим стоит и соответствующее соотношение между теориями движения микро - и макрочастиц - квантовой и классической механиками: классическая механика является частным, предельным случаем более общей и фундаментальной - квантовой механики.

Движение частицы в области с потенциальным барьером (скачком) бесконечной ширины.

П

отенциальным барьером называют потенциальный рельеф в виде ступеньки. Рассмотрим сначала потенциальный барьер бесконечной ширины, который задается аналитически и графически в следующем виде: 0 при х  0

U(х) =

U_о при х  0,

где U_о – высота барьера (см. рис.).

Запишем уравнение Шредингера для двух областей I и II потенциального рельефа:

I обл. U(x) = 0; или , где .

II обл. U(x) = U₀; или , где .

В обеих областях поведение частицы (ее волновая функция) описывается характерным уравнением – ДУГК, но с разными значениями волнового числа k. Запишем решения этого уравнения в стандартной форме для координатной части плоских волн де Бройля:

I обл. ; II обл. .

Два слагаемых в этих решениях изображают волны, бегущие в противоположном направлении оси Х (в положительном и отрицательном направлении), или, иначе – падающую и отраженную волны. Но, если падающая на барьер из первой области волна , может отразиться от него, то волне ₂, прошедшей за барьер во вторую область отразиться не от чего. Поэтому слагаемое , изображающее эту волну, полагаем равным нулю, и тогда .

Определим амплитуды волновых функций, описывающих поведение частицы в обеих областях. Положим для простоты амплитуду А₁ падающей на барьер волны, равной единице: А₁ = 1. Тогда

.

Амплитуды отраженной от барьера (В₁) и прошедшей за барьер (А₂) волн, определим, привлекая условия непрерывности волновой функции и ее производной на границе потенциального барьера (при х = 0):

Через амплитуды отраженной (B₁) от барьера и прошедшей (A₂) за барьер волн выражаются такие его характеристики, как коэффициент отражения R и коэффициент пропускания D = 1 - R.

Коэффициент отражения равен квадрату модуля (то есть плотности вероятности) амплитуды отраженной от барьера волны: .

Соответственно коэффициент пропускания .

С

мысл коэффициентов R и D может быть истолкован так: R = n₁/n и D = n₂/n, где n - плотность потока падающих на барьер частиц (число частиц, подающих на единицу площади за единицу времени). Соответственно, n₁ - плотность потока отраженных от барьера частиц, а n₂ - плотность потока прошедших через барьер частиц. Так как n₁ + n₂ = n, то сумма R + D = n₁/n + n₂/n = n/n = 1.

Т. к. волновое число k в области за барьером k₂  (Е – U_о) - может быть как действительным, так и мнимым, то рассмотрим два случая:

1. E > U_о (низкий потенциальный барьер). Микрочастица, имеющая кинетическую энергию большую высоты барьера, может, как пролететь над ступенькой во вторую область (с вероятностью D), так и отразиться от нее (с вероятностью R). Эта возможность отражения от низкого барьера (потенциальной ступеньки), выражает принципиальное отличие квантовой частицы от классической. Классическая частица при Е  U_о барьер всегда преодолевала. Для квантовой (микро -) частицы условие Е  U_о может нарушаться в силу соотношения неопределенности для энергии (Е  t  ) и на короткое время t превращаться в свою противоположность Е  U_о.

Прошедшая за барьер частица уменьшает свою кинетическую энергию и импульс, что соответствует увеличению длины волны (волновой функции): ₂  ₁. Это следует и из формул для волновых чисел:

и  ₂  ₁.

Изобразим на графике характер волновых функций частицы на фоне потенциального рельефа ступеньки (чтобы не загромождать чертеж, изображаем только бегущие - падающую и проходящие волны).

2. Случай с E < U_о (высокий потенциальный барьер). Налетающая на барьер частица имеет энергию меньшую высоты барьера. Как и в первом случае, на ступеньке скачком меняется амплитуда
и длина волны (волновой функции), полная же энергия, в силу консервативности системы, дол-
жна оставаться непрерывной (сохраняющейся).

Т. к. при Е  U_о, - мнимое,
то есть k₂ = ik, то = А₂ - не волна, а затухающая экспонента.

П

лотность вероятности нахождения частицы во 2 -ой области - экспоненциально убывает с ростом х, т. е. с удалением от границы барьера. Как это понимать? Проникает частица во вторую область или нет? Считается, что частица может заходить во вторую область, но затем обязана вернуться обратно. Частица не уходит совсем во вторую область, но и отражение ее от ступеньки происходит не на самой границе барьера, а с определенной (убывающей) вероятностью смещено от границы во вторую область. Объяснение этой возможности проникновения частицы за высокий потенциальный барьер также, как и отражение от низкого барьера, может быть связано с привлечением соотношения неопределенности Гейзенберга для энергии Е t  . На коротких интервалах t времени неопределенность Е энергии может быть достаточной для перехода условия Е  U_о в условие Е  U_о, которое и позволяет частице заходить за границу барьера.

Коэффициент отражения R частицы от высокого потенциального барьера бесконечной ширины всегда равен единице, а коэффициент пропускания D = 0.

( и ) D = 1 – R = 0.

4

. Потенциальной барьер конечной ширины. Туннельный эффект.

А

налитически и графически потенциальный рельеф барьера конечной ширины задается следующим образом:

Также, как и ранее в случае барьера бесконечной ширины, различаем два случая: 1) E > U_о и 2) E < U_о.

1. E > U_o (низкий потенциальный барьер). Частица налетает на барьер, имея энергию Е, большую его высоты U_о. Выделяем три области: I, II и III. Используя результаты рассмотрения случая с барьером бесконечной ширины, общий характер решения можно представить в виде  - функций (волн) с волновыми числами:

Частица из первой области может либо перейти во вторую область, либо отразиться от нее. И далее, на второй границе - ступеньке она может также либо
отразиться, либо пройти дальше в третью область. Энергию частицы, в силу консервативности и стационарности условий, считаем непрерывной и неизменной во всех трех областях.

2

. E < U_о (высокий потенциальный барьер). Для бесконечной ступеньки при Е  U_о в области за барьером волновая функция представляла собой
затухающую экспоненту: ₂  е^-kх.

Укорочение ступеньки (приближение второй границы к первой) приводит к тому, что волновая функция может не успеть заметно убыть на протяжении барьера. Это означает, что микрочастица может пройти за барьер (в область III), даже имея энергию, меньшую высоты барьера.

Факт возможности прохождения частицы через барьер при ее энергии меньшей высоты барьера является специфически квантовым, не имеющим классического аналога. Частица как бы "прокапывает" себе туннель под барьером, не имея энергии, достаточной чтобы преодолеть барьер сверху, обычным, классическим образом. Причем на выходе барьера энергия частицы остается той же, какая была на его входе. Поэтому этот специфический эффект и назвали туннельным. Он объясняет многие закономерности в физике твердого тела, в ядерной физике (при  - распаде). Сам он может быть объяснен на основе соотношения неопределенности Гейзенберга для энергии Еt  . Если t - время прохождения барьера, то энергия Е частицы имеет неопределенность Е  /t, достаточную для временного переворота условия Е  U_о в условие Е  U_о.

В

ероятность подбарьерного прохождения (просачивания, туннелирования) резко уменьшается как с ростом ширины a, так и высоты U_о барьера. Расчет коэффициента пропускания (прозрачности) D  |₂|²  е^-2|k|а барьера при строгом решении задачи дает такое выражение:

При произвольной форме потенциального барьера:
В этих формулах предэкспоненциальный множитель D_о представляет собой величину, близкую к единице, то есть D_о  1.

Сравнивая поведение макро- и микрочастиц, можно сделать вывод о большем разнообразии возможностей в поведении квантовой частицы. Поведение макрочастицы оказывается более ограниченным, реализующим лишь часть возможностей присущих поведению микрочастицы. За этим стоит и соответствующее соотношение между теориями движения микро - и макрочастиц - квантовой и классической механиками: классическая механика является частным, предельным случаем более общей и фундаментальной - квантовой механики.

Вопрос № 11. Модель атома Бора. Спектр излучения атома водорода.

Теория атома водорода по Бору

В качестве последнего примера безуспешных попыток классической физики дать полную теорию физических явлений рассмотрим атом водорода.

Согласно классической модели Резерфорда атом водорода состоит из одного электрона, вращающегося вокруг положительно заряженного малого атомного ядра. Эта классическая модель не смогла объяснить два основных экспериментальных факта:

а) стабильность атома водорода

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)