1625913103-5273f3d39c8d65d68eeaffebe952e6ad (532427)
Текст из файла
ÂÅÊÒÎÐÍÛÉ È ÒÅÍÇÎÐÍÛÉ ÀÍÀËÈÇËåêòîð Íàòàëüÿ Áîðèñîâíà ÀþïîâàÏðîãðàììà êóðñà ëåêöèé(5-é ñåìåñòð, ëåêöèè 32 ÷., ñåìèíàðû 34 ÷., äèô. çà÷.)§ 1.Îðòîãîíàëüíûå òåíçîðû â ãåîìåòðèè è ìåõàíèêå(4 ëåêöèè)Ïîíÿòèå îðòîãîíàëüíîãî òåíçîðà, åãî ïðåîáðàçîâàíèå ïðè ïåðåõîäå êíîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò, îñíîâíûå îïåðàöèè (ñëîæåíèå. ïðîèçâåäåíèå,ñâåðòêà). Ñèìâîëû Êðîíåêåðà è Ëåâè×èâèòû â îðòîíîðìèðîâàííîì áàçèñå.
Òåîðèÿ îïðåäåëèòåëåé è âåêòîðíàÿ àëãåáðà â òåíçîðíîì èçëîæåíèè.Ïðèâåäåíèå òåíçîðà ê ãëàâíûì îñÿì. Òåíçîð ìîìåíòà èíåðöèè êàê ïðèìåð îðòîãîíàëüíîãî òåíçîðà.§ 2.Òåíçîðíàÿ àëãåáðà(3 ëåêöèè)Íåîðòîãîíàëüíûå áàçèñû. Ñèñòåìû êîîðäèíàò è êîîðäèíàòû âåêòîðà (êîâàðèàíòíûå è êîíòðàâàðèàíòíûå). Ãðàäèåíò âåêòîðà êàê ïðèìåðêîâàðèàíòíîãî âåêòîðà. Ïðèìåðû ìàòåìàòè÷åñêèõ îáúåêòîâ, èçìåíÿþùèõñÿ ïî ¾òåíçîðíîìó¿ çàêîíó (ëèíåéíûå ôóíêöèîíàëû, êâàäðàòè÷íûåôîðìû, ëèíåéíûå îïåðàòîðû), îáùåå îïðåäåëåíèå òåíçîðà. Îïåðàöèè íàäòåíçîðàìè: ñëîæåíèå, ïðîèçâåäåíèå, ñâåðòêà, ñèììåòðèðîâàíèå, àëüòåðíèðîâàíèå. Òåîðåìà ñîêðàùåíèÿ.
Èíâàðèàíò. Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå èôóíäàìåíòàëüíûé òåíçîð. Ïîäíèìàíèå è îïóñêàíèå èíäåêñîâ. ÑèìâîëûÊðîíåêåðà è Ëåâè×èâèòû â ïðîèçâîëüíîì áàçèñå (âåêòîðíàÿ àëãåáðàâ íåîðòîãîíàëüíîì áàçèñå). Ïðîñòðàíñòâî-âðåìÿ Ìèíêîâñêîãî Òåíçîðûâ ïñåâäîýâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå è 4-âåêòîðû â ïðîñòðàíñòâå-âðåìåíèÌèíêîâñêîãî. Òåíçîð êàê ïîëèëèíåéíàÿ ôîðìà.1§ 3.Òåíçîðíûå ïîëÿ(5 ëåêöèé)Êðèâîëèíåéíûå ñèñòåìû êîîðäèíàò. Ëîêàëüíûé áàçèñ. Êîýôôèöèåíòû Ëàìå.
Êîîðäèíàòíàÿ çàïèñü âåêòîðíîãî ïîëÿ â ëîêàëüíîì áàçèñå.Ïðèìåðû ïîëÿðíàÿ, ñôåðè÷åñêàÿ, öèëèíäðè÷åñêàÿ è ýëëèïòè÷åñêàÿ ñèñòåìû êîîðäèíàò. Çàïèñü ãðàäèåíòà, ðîòîðà, äèâåðãåíöèè è ëàïëàñèàíàâ êðèâîëèíåéíûõ êîîðäèíàòàõ. Äèâåðãåíöèÿ êàê èíâàðèàíò.Ìåòðè÷åñêèé òåíçîð â êðèâîëèíåéíûõ êîîðäèíàòàõ. Ïîäíÿòèå è îïóñêàíèå èíäåêñîâ â êðèâîëèíåéíûõ êîîðäèíàòàõ. Ïîíÿòèå ãåîäåçè÷åñêîé.Ñèìâîëû Êðèñòîôôåëÿ I è II ðîäà. Ïîíÿòèå êîâàðèàíòíîé ïðîèçâîäíîé.Çàïèñü óðàâíåíèé ìåõàíèêè ñïëîøíîé ñðåäû â òåíçîðíîì âèäå.
Ïîíÿòèåòåíçîðà ÐèìàíàÊðèñòîôôåëÿ.§ 4.Îñíîâû òåîðèè ïîâåðõíîñòåé â òåíçîðíîì èçëîæåíèèëåêöèè)(2Ïîâåðõíîñòü â ýâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå. Ïåðâàÿ êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà ïîâåðõíîñòè. Âû÷èñëåíèå äëèíû êðèâîé è ïëîùàäè îáëàñòè íà ïîâåðõíîñòè. Êðèâèçíà êðèâîé è êðó÷åíèå ïðîñòðàíñòâåííîé êðèâîé. Êðèâèçíà êðèâîé íà ïîâåðõíîñòè. Íîðìàëüíîå ñå÷åíèå ïîâåðõíîñòè. Ôîðìóëà Ýéëåðà äëÿ êðèâèçíû íîðìàëüíîãî ñå÷åíèÿ. Ãëàâíàÿ êðèâèçíà.Ãàóññîâà è ñðåäíÿÿ êðèâèçíà ïîâåðõíîñòè. Ãàóññîâî îòîáðàæåíèå ïîâåðõíîñòè. Âòîðàÿ êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà ïîâåðõíîñòè. Ãàóññîâà è ñðåäíÿÿêðèâèçíû êàê åå èíâàðèàíò.
Ãåîäåçè÷åñêàÿ êàê êðàò÷àéøàÿ òðàåêòîðèÿäâèæåíèÿ òî÷êè ïî ïîâåðõíîñòè. Ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ. Êîâàðèàíòíîåäèôôåðåíöèðîâàíèå.Ïðîãðàììó êóðñà¾Âåêòîðíûé è òåíçîðíûé àíàëèç¿ñîñòàâèëà ê.ô.-ì.í. Í. Á. ÀþïîâàËèòåðàòóðà.1. Êî÷èí Í.Å. Âåêòîðíîå èñ÷èñëåíèå è íà÷àëà òåíçîðíîãî èñ÷èñëåíèÿ.Ì., Èçä-âî ÀÍ ÑÑÑÐ, 1961.2. Ðàøåâñêèé Ï.Ê. Ðèìàíîâà ãåîìåòðèÿ è òåíçîðíûé àíàëèç. Ì., Èçäâî òåõí.-òåîð. ëèò-ðû, 1953.23. Àþïîâà Í.Á. Ëåêöèè ïî âåêòîðíîìó è òåíçîðíîìó àíàëèçó.
Íîâîñèáèðñê: ÍÃÓ, 2012. 94 ñ.http://www.phys.nsu.ru/ok03/doc/Ayupova_Tensor_lections.pdf4. Áåêëåìèøåâ Ä.Â. Êóðñ àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè è ëèíåéíîé àëãåáðû. Ì., Íàóêà, 1980.5. Òîïîíîãîâ Â.À. Òåíçîðíàÿ àëãåáðà è òåíçîðíûé àíàëèç. Íîâîñèáèðñê, Èçä-âî ÍÃÓ, 1995.http://www.phys.nsu.ru/ok03/doc/Toponogov.pdf6. Äóáðîâèí Á.À., Íîâèêîâ Ñ.Ï., Ôîìåíêî À.Ò.
Ñîâðåìåííàÿ ãåîìåòðèÿ. Ì., Íàóêà, 1979.7. Ñîêîëüíèêîâ È.Ñ. Òåíçîðíûé àíàëèç: Òåîðèÿ è ïðèìåíåíèå â ãåîìåòðèè è â ìåõàíèêå ñïëîøíûõ ñðåä. Ì., ÊîìÊíèãà, 2007.8. Êîâàíöîâ Í.È., Çðàæåâñêàÿ Ã.Ì., Êî÷àðîâñêèé Â.Ã., ÌèõàéëîâñêèéÂ.È. Äèôôåðåíöèàëüíàÿ ãåîìåòðèÿ, òîïîëîãèÿ, òåíçîðíûé àíàëèç.Ñáîðíèê çàäà÷. Êèåâ, Âèùà øêîëà, 1989.9. Áåêëåìèøåâà Ë.À., Ïåòðîâè÷ À.Þ., ×óáàðîâ È.À.
Ñáîðíèê çàäà÷ïî àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè è ëèíåéíîé àëãåáðå. Ì., Íàóêà, 1987.Çàäàíèå 1.(Ñäàòü ê 13 îêòÿáðÿ)1. Òåíçîð P è âåêòîð a çàäàíû ðàâåíñòâàìè1 2 2P = −2 1 1 , a = (1, 2, 3)2 4 5Âû÷èñëèòü a ⊗ P, P ⊗ a.2. Òåíçîð çàäàí â áàçèñå e:1 2 −2P = 2 1 1 .2 2 53Çàïèñàòü òåíçîð P â áàçèñå e0 , ãäå e0 = Ae,22133321√0A = −√55524√− √ − √3 53 5 3 53. Çàïèñàòü òåíçîð.2 −2 0Π = −2 9 2 02 2â ãëàâíûõ îñÿõ.4. Òåíçîð ìîìåíòîâ èíåðöèè ñèñòåìû çàäàí ñîîòíîøåíèÿìè 22a (m + M ) 2a2 (m − M )0 2a2 (m − M ) 2a2 (m + M )02004a (m + M )Íàéòè èíâàðèàíòû òåíçîðà. Çàïèñàòü òåíçîð â ãëàâíûõ îñÿõ.5.
Ïóñòü A íåâûðîæäåííîå ïðåîáðàçîâàíèå. Äîêàçàòü, ÷òî åñëèA(x × y) = Ax × Ay,ãäå x, y ïðîèçâîëüíûå âåêòîðà òî A îðòîãîíàëüíîå ïðåîáðàçîâàíèåÇàäàíèå 2.(Ñäàòü ê 24 íîÿáðÿ)1. Êàêèå èç ñëåäóþùèõ îòîáðàæåíèé T : V 3 × V 3 → R ÿâëÿþòñÿòåíçîðàìè? Åñëè T òåíçîð, íàéòè åãî êîîðäèíàòû.à) T (u, v) = u1 v 1 − 2u2 v 1 + 3u1 v 2 − u1 v 3 ;á) T (u, v) = u1 u3 + 2u2 v 1 + 4v 1 v 3 ;â) T (u, v) = (u1 + u2 )2 + (v 1 + v 2 − v 3 )2 .42.
Òåíçîðû aij , bij , cij èìåþò òàêèå êîîðäèíàòû(aij ) =b11 = 1,1 24 3,b12 = 3,(cij ) =b21 = −2,1 −25 1.b22 = 2.Âû÷èñëèòü aij bjk + cik3. Òåíçîð aijkl çàäàí ðàâåíñòâàìèa1111 = 1,a1121 = 2,a2111 = −4,a2121 = 3,a1112 = 3,a1122 = 4,21a2112 = −2, a22 = −1,121212a1211 = −4, a21 = −3, a12 = −2, a22 = −1,a2211 = 5,a2221 = 6,a2212 = 7,a2222 = 8.[ij]Íàéòè akl , aij(kl) .4.
 íåêîòîðîì áàçèñå ìåòðè÷åñêèé òåíçîð è òåíçîð Tij èìåþò ñëåäóþùèå ìàòðèöû êîîðäèíàò.5 −22 1(gij ) =, (Tij ) =−2 10 3Âû÷èñëèòü Ti··k .5.  àôôèííîé ïðàâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò e1 , e2 , e3 äàí ìåòðè÷åñêèéòåíçîð5 4 0(gij ) = 4 6 1 0 1 1è çàäàíû âåêòîðû u = e1 + 2e3 , v = 3e1 − e2 . Âû÷èñëèòü êîíòðàâàðèàíòíûå êîìïîíåíòû âåêòîðà w, ãäå w = u × v.5Çàäàíèå 3.(Ñäàòü ê 15 äåêàáðÿ.)1.
 êðèâîëèíåéíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò (x1 , x2 , x3 ) â òî÷êå (4, 0, π/4)òåíçîð tji èìååò êîîðäèíàòû (tji ) = e1 ⊗ e1 + e1 ⊗ e2 + 5e2 ⊗ e1 +2e2 ⊗ e2 + 3e2 ⊗ e3 + 4e3 ⊗ e2 + 6e3 ⊗ e1 .0000Íàéòè êîîðäèíàòû tji0 â ñèñòåìå êîîðäèíàò (x1 , x2 , x3 ) ñâÿçàííîé ñ00202(x1 , x2 , x3 ) ñîîòíîøåíèÿìè x1 = x1 , x2 = ex cos x3 , x3 = ex sin x3 .2.
Âû÷èñëèòü êîìïîíåíòû ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà äëÿ òðåõìåðíîé êðèâîëèíåéíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò, ñâÿçàííîé ñ äåêàðòîâîé ñîîòíîøåíèÿìèppx = −x3 + (x3 )2 + x1 , y = x2 , z = x3 + (x3 )2 + x1 ,3. Äëÿ êðèâîëèíåéíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò, ñâÿçàííîé ñ äåêàðòîâîé ñîîòíîøåíèÿìèr√vx = uv, y =uâû÷èñëèòü (gij ) è Γi,jk .4.
Òåíçîð T èìååò êîìïîíåíòû:T·11· = 0,T·12· = 2x1 ,T·21· = x1 − x2T·22· = 1Âû÷èñëèòü ∇1 T , åñëè Γ111 = (x1 )2 ; Γ112 = Γ121 = x1 x2 ; Γ122 = (x2 )2 ;x1Γ211 = 0; Γ212 = Γ221 = 2 ; Γ222 = 0.x5. Âû÷èñëèòü div a è êîâàðèàíòíûå êîìïîíåíòû rot a, ãäå a =(a1 , a2 , a3 ) = ((x3 )2 , x2 + x1 , (x2 )2 ), à êîîðäèíàòû (x1 , x2 , x3 ) ñâÿçàíûñ äåêàðòîâûìè ñîîòíîøåíèÿìèppx = x1 , y = x2 + (x2 )2 + x3 , z = −x2 + (x2 )2 + x3 .6.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
