m16 (526635), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Из формулы (18), (19), (20) находим величину момента упругих силM = (G ⋅ J C / l ) ⋅ ϕ(22)В данной работе используется крутильный маятник, принципиальная схема которого представленана рис. 4. Тело 1 массой m и моментом инерции JТ относительно оси z подвешено к двум стальнымструнам 2 длиной l каждая. Если тело 1 закрутить вокруг оси z, затем отпустить, то маятник будетсовершать крутильные колебания, которые описываются уравнением(23)ϕ = -2M + MJ !!Tупртргде ϕ - угол поворота тела в плоскости, перпендикулярной оси z,MТР - совокупный момент, создаваемый силами, тормозящими вращение тела (силы внешнего ивнутреннего трения).
При малых колебаниях можно считать, что(24)Μ = −χ ⋅ ϕ!тргде χ играет роль коэффициента сопротивления.Момент упругих сил будет определяться формулой (22) при условии, что входящие в нее величины G,JC,l являются характеристиками струны.2zl1xyl2Рис.4После подстановки (22), (24) в (23) и последующих преобразований приходим к уравнению(25)!! + 2β⋅ϕ! + ω2 ⋅ϕ = 0ϕοгде β=χ/2JТ - коэффициент затухания,ω0 =2G ⋅ J CJT ⋅ l(26)циклическая частота незатухающих колебаний. Решение дифференциального уравнения (25) приβ<ω0 будет иметь следующий вид:zza/2CD′CDzMC′M′SC′баC′вРис.5ϕ = Ae-βt cos(ωt + α)где A, α - амплитуда и начальная фаза колебаний, определяемые начальными условиями, аω = ωο2 − β2(27)(28)циклическая частота затухающих колебаний.
В данной лабораторной работе ω0 может изменятьсяв пределах ω0 =2,5 … 3.5 рад/с, а коэффициент затухания β имеет на три порядка меньшее значение, т.е. β≈0,01 c-1. Следовательно, при данных условиях ω02>>β2 и, согласно (28), ω=ω0. Поэтомупериод колебаний крутильного маятника, в соответствии с формулой (26), будет равенT=2πJT ⋅ l= 2πωo2G ⋅ J C(29)Из этой формулы, с учетом (21), находим величину модуля сдвига2π 2 ⋅ J T ⋅ l 64π ⋅ J T ⋅ l(30)G==T2 ⋅ JCT2 ⋅ d4В данной лабораторной работе момент инерции тела JТ складывается из моментов инерции рамкиJР и куба JК, т.е.(31)JТ=JР +JКВ частности при отсутствии кубаJТ=JР(32)Пусть ТР - период колебания рамки без куба, а ТТ - период колебания рамки с кубом.
Тогда, согласно (30), (31), (32), получим(33)GT 2 = 64π ⋅ l ⋅ J /d 4ppGTT2 = 64π ⋅ l ( J к + J p ) /d 4(34)G = 64π ⋅ l ⋅ Jк /[d4 (TT2 -TP2 )](35)Вычитая (33) из (34), находимМомент инерции куба вычислим, используя методы подобия и размерности. Например, размерность момента инерции любого тела имеет вид [J]=ML2. Следовательно, момент инерции куба относительно оси, проходящей через его центр масс, будет равен(36)J=γ⋅m⋅a2где m - масса куба, a- длина его ребра, γ- безразмерный численный параметр, который заранее неизвестен и зависит от ориентации оси вращения куба.
Если ось вращения z не проходит черезцентр масс, то момент инерции куба можно определить по теореме Штейнера(37)Jz =J+ m⋅b2где b - расстояние между осью z и осью OO’, проходящей через центр масс куба и параллельнойоси Z.Рассмотрим в качестве примера вычисление момента инерции куба массой т относительно оси z,проходящей через центр масс и середины его ребер (рис. 5, а). Разобьем куб на восемь маленькихкубиков так, как это показано на рис. 5, а. При этом масса кубика будет равна mК=m/8, а его сторона a=aК/2, где a - сторона большего куба. Для удобства вычисления объединяем кубики в двегруппу по четыре кубика в каждой группе (рис. 5, б, в). Момент инерции отдельного кубика в первой группе относительно оси z (см.
рис. 5, б), согласно (36) и (37), будет равенJ1=γ⋅mК aК2+mК⋅DC2,где DC = a/4. А момент инерции каждого кубика во второй группе (см. рис. 5, в) будет равенJ2=γ⋅mК aК2+mК⋅MS2,где MS = a ⋅ 3/4 . В итоге момент инерции большого куба будет складываться из моментов инерции всех кубиков, т.е.J=8γ⋅mК aК2+4mК⋅DC2+4mК⋅MS2,После подстановки соответствующих величин получим(38)J=γ⋅m a2/4+m a2/32+3m a2/32,С другой стороны, момент инерции большого куба (см.
рис. 5а), согласно (36), будет равен(39)J=γ⋅m⋅a2Из равенства (38) и (39) находим, что γ=1/6. Итак, момент инерции куба относительно оси z (см.рис. 5, а), имеет вид(40)J=m⋅a2/6Используя вышеизложенный способ вычислений можно показать, что зависимость (40) будетсправедливой и в случае, если ось вращения z проходит через центр масс и центры граней куба, атакже, если ось z проходит через центр масс и через противоположные его вершины.
Во всех этихслучаях формула (35), с учетом (40), примет следующий вид:32π ⋅ l ⋅ m ⋅ a 2G= 4 23d ( TT - Tр2 )ОПИСАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ(41)Исследование упругих свойств металлических струн будем проводить с помощью установки«Крутильный маятник FPM -05’’, представленной на рис. 6. Миллисекундомер (FPM - 14) 12 расположен на основании 13. Измерение высоты и установление горизонтального положения основания 13 производится с помощью четырех регулируемых ножек. В основании 13 закреплена колонка 6, на которой с помощью прижимных винтов установлены кронштейны 5, 8, 9.
Зажимы кронштейнов 5 и 9 фиксируют концы металлических струн. С другой стороны струны удерживаютрамку 2, которая служит для закрепления массивного куба. На кронштейне 8 устанавливаетсястальной сегмент 4, на котором расположены фотоэлектрический датчик 3, электромагнит 7, шкала фиксации угловых отклонений 10.
Перемещение электромагнита 7 по дуге сегмента 4 фиксируется по шкале 10 с помощью стрелки, прикрепленной к электромагниту 7. Куб 11 крепится в рамке2 при помощи подвижной стальной планки 1, которая имеет возможность перемещаться по цилиндрическим направляющим, скрепленным крайними неподвижными планками. Смещениепланки 1 вверх (далее в скобках указывается действия при смещении планки 1 вниз) производитьдвумя руками: большими пальцами рук браться за неподвижную планку 1 (за нижнюю планку), ауказательными пальцами за верхнюю планку (за подвижную планку 1).56127311489121013ВремяПериодыСетьСбросПускСтопРис.6Высота планки 1 фиксируется затягиванием гаек на зажимных втулках, установленных на планке1.
Куб 11 фиксируется в рамке 2 с помощью крепежных винтов. Точная ориентация куба 11 относительно оси вращения обеспечивается с помощью специальных высверленных в нем отверстий.Фотоэлектрический датчик 3 и электромагнит соединены с миллисекундомером электрическойсвязью.Система управления работой миллисекундомера состоит из клавишных переключателей «СЕТЬ»,«СБРОС», «ПУСК», «СТОП», расположенных на лицевой панели прибора. После включения установки в сеть и начатия клавиши «СЕТЬ» миллисекундомер приводится в рабочее состояние.Клавиша «ПУСК» предназначена для управления работой электромагнита. Напряжение на электромагнит подается при отжатии клавиши «ПУСК».Работе установки FPM-05 происходит следующим образом. Сначала необходимо развернуть рамку 2 прибора до положения, в котором стрелка-флажок рамки притягивается сердечником электромагнита 7.
Затем нажатием клавиши «СБРОС» миллисекундомер приводится в исходное рабочее состояние. После начатия клавиши «ПУСК» электромагнит освобождает стрелку-флажок, ирамка 2 начинает совершать колебания вокруг вертикальной оси. При пересечении стрелкойфлажком светового луча фотоэлектрического датчика формируется электрический импульс, который поступает в миллисекундомер. При этом первоначальный импульс запускает счетчики времени и числа периодов, последующие импульсы поступают в счетчик числа периодов. Показаниясчетчиков высвечиваются цифровыми индикаторами, расположенными на лицевой панели миллисекундомера, обозначенными «ПЕРИОДЫ» и «ВРЕМЯ».
При нажатии клавиши «СТОП» отсчетвремени колебаний и числа периодов прекращается после завершения полного периода колебанийрамки 2.ВЫПОЛНЕНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАПредварительно отвинтите крепежный винт и освободите куб 11 из рамки 2.1. Установите электромагнит 7 на угол ϕ=30° по шкале фиксации угловых отклонений 10 и зафиксируйте его, затягивая гайку.2.
Включите в сеть установку FPM-05.3. Нажмите клавишу «СЕТЬ».4. Отожмите клавишу «ПУСК».5. Разверните рамку 2 так, чтобы стрелка-флажок была зафиксирована сердечником электромагнита 7.6. Нажмите клавишу «СБРОС».7. Нажмите клавишу «ПУСК».8. Нажмите после девяти периодов колебаний клавишу «СТОП». По завершении полного периодаколебаний рамки на цифровых индикаторах должны высвечиваться N = 10 периодов и время колебаний. Результаты занесите в таблицу.9. Рассчитайте период колебаний по формуле T=τ/N, где τ время N колебаний.10. Повторите опыт n раз (n = 5). Результаты занесите в таблицу.n11.
Вычислите среднее значение периода по формуле < T >=∑ T/n .i=1Результат занесите в таблицу.№опытаМоментинерциителаВремя десяти колебанийτ, сПериод колебания,Т, сСреднее значение периода колебаний<Т>, сСреднее значениепериода колебанийT,c1…JР56…JК + JР1011…JК + JР1516…JК + JР2012. Закрепите куб 11 в подвижной рамке 2 так, чтобы ось вращения проходила через середины егограней, и повторите опыты в соответствии с пп. 5...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
