IDZ_KINEMATIKA_primer (1273226)
Текст из файла
2.2. Пример выполнения индивидуального домашнегозаданияРассмотрим в качестве примера задачу варианта N.Д а н о: A = 18, B = 15; ω 1 = 19 с −1 ; α = 32 ◦; β = 42 ◦; AO = OO' == L 1 = 0,63 м; PO' = 3 L 1 ; PB = L 2 = 0,54 м; CK = 1,5 BK .Возьмѐм 18-ю кинематическую схему для группы тел A (рис.3)1 и 15-юсхему для группы тел B (рис.7), и совместим эти схемы в общей точке B ,получив тем самым единый механизм (рис.9).
При этом перенумеруем(номерами 3, 4, 5) те его звенья, которые ранее номеров не получили.Аналитическое решение.При решении задач кинематики плоского движения аналитическим способомможно придерживаться следующей последовательности действий:1°. Выбрать кинематический граф, с которым связано не более двухнеизвестных величин (линейных и угловых скоростей).2 °. Составить кинематические соотношения для выбранного графа.3 °. Учесть связи в концевых точках графа.4 °. Решить полученные кинематические уравнения.5 °. Если не все неизвестные найдены, вернуться к пункту 1 °.В качестве первого кинематического графа возьмѐм граф31O' → A * → O .31Здесь 3 = 90 ◦ − α , 1 = 3 / 2 − 2 α .Точку A мы пометили звѐздочкой, чтобы подчеркнуть тот факт, что ползундвижется относительно стержня O ' P.
Наличие такого относительного движенияприводит к дополнительным слагаемым в составленных по графу уравнениях.Составим кинематические уравнения для этого графа, учитывая приэтом условия связей VO x = 0, VO y = 0, VO ' x = 0, VO ' y = 0 :0 = − ω 3 z L O sin 3 +VA*cos 3 − ω 1 z L 1 sin 1 ,(1)ω 3 z L O cos 3 +VA*sin 3 + ω 1 z L 1 cos 1 .(2)0 =Здесь L O = 2 L 1 cos α , а VA* – проекция скорости ползуна Aотносительно стержня O' P на сам этот стержень.В уравнения (1) и (2) вошли две неизвестные величины: ω 3 z и VA*; последняяв дальнейших выкладках не участвует, так что разумно сразу же исключить еѐ,домножая уравнение (1) на sin 3 , уравнение (2) – на cos 3 , и вычитая из второго уравнения первое.1Здесь и далее нумерация взята из Методического пособияА.В.Корецкий, Н.В.Осадченко.
Решение задач кинематики на персональном компьютере. М.:Издательство МЭИ, 2004. – 48 с.Рис. 9. Кинематические углы для аналитическогорешения задачи ИДЗПолучаем: ω 3 z = ω 1 z / 2 .Возьмѐм теперь новый граф:324324O' → P → B → K .Здесь 2 = 2 − β , 3 = / 2 − α , 4 = 3 / 2 . Принимая во вниманиеуравнения связей VO ' x = 0 , VO ' y = 0 , VK x = 0 , VK y = 0 и обозначая B K =L 4 , имеем0 = − ω 3 z 3 L 1 sin 3 + ω 2 z L 2 sin β + ω 4 z L 4 ,0 =ω 3 z 3 L 1 cos 3 + ω 2 z L 2 cos β .(3)(4)Из (4) находимω 3 L 1 sin αω 2 z = − −−−1−z−−−−−−−−−−−− ,(5)2 L 2 cos βа из (3) получаем, что ω 4 z = ( 3 ω 3 z L 1 sin 3 − ω 2 z L 2 sin β ) / L 4 .В соответствии с графом KVD x= ω 5 z L 5 sin β ,4502 − β→ C → DVD yимеем= ω 4 z 3 L 4 / 2 + ω 5 z L 5 cos β .(6)Уравнения связи для ползуна D таковы:VD x=VDcos 30 ◦ VDsin 60 ◦ ,VD y=VDsin 30 ◦ VDcos 60 ◦ .(7)Здесь через VD обозначена проекция скорости точки D на ось, параллельнуюнаправляющим ползуна (она образует угол 30 ◦ с осью Ox ).Из соотношений (6), (7) получаем, чтоVD = ω 4 z 3 L 4 sin β / ( 2 sin ( 60 ◦ − β ) ) .(8)Подставляя в (8) выражение для угловой скорости ω 4 z , окончательнонаходимsin βcos ( β − α )VD = 9 ω 1 z L 1 −−−−−−−−−−−−−−−− −−−−−−−−−−−−− .(9)sin ( β − 60 ◦ )4 cos βЗамечание.
В некоторых вариантах задания на одном из этапов решения неудаѐтся выбрать граф, с которым связано не более двух неизвестных величин.Тогда приходится рассматривать сразу два графа, решая составленные для нихчетыре кинематических уравнения как единую систему. Поскольку решить двесистемы линейных уравнений с двумя неизвестными в каждой значительно проще,чем одну систему с четырьмя уравнениями, рекомендуется так поступать толькотогда, когда Вы окончательно убедитесь, что более простой путь решения непроходит.Геометрическое решение.При решении задач кинематики плоского движения геометрическимспособом можно придерживаться следующей последовательности действий:1°.
Подготовить таблицу МЦС.2°. Найти МЦС для всех звеньев, указывая отрезками прямых линийнаправления линейных скоростей.3 °. Показать стрелками, как ориентированы линейные и угловые скорости.4 °. Выполнить выкладки, применяя формулу, связывающую модульлинейной скорости точки и модуль угловой скорости тела, которому точкапринадлежит.Рис. 10. Мгновенные центры скоростей в задаче ИДЗПостроим мгновенные центры скоростей (рис.10).По поводу выполненных построений заметим, что МЦС для звеньев 1, 3 и 4мы нашли сразу же (это – неподвижные точки), после чего стали известныминаправления скоростей точек P, B и C (они ортогональны направлениям на МЦСзвеньев 3 и 4); скорость же точки D направлена вдоль направляющих ползуна.МЦС для звеньев 2 и 5 были найдены как точки пересечения перпендикуляров котрезкам, задающим направления линейных скоростей (эти перпендикулярыпоказаны штриховыми линиями).
Все построения основаны на том, что векторскорости точки тела всегда ортогонален направлению на МЦС этого тела.Скорость точкиA мы, используя теорему о сложении скоростей,представили в виде суммы относительной скорости -v--Aотн и переносной скорости-v-- пер :Aабс--- отн --- пер -v--A= vA + vA .При этом абсолютная скорость точки A (которая принадлежит звену 1)-v--Aнаправлена ортогонально направлению на МЦС звена 1, еѐ относительная скоростьнаправлена вдоль стержня 3 (с которым связана подвижная система отсчѐта).Переносная же скорость точки A (равная скорости той точки подвижной системыотсчѐта, с которой в данный момент времени совпадает точка A ) направленаортогонально направлению на МЦС звена 3.Таблица МЦС: МЦС (1 ) – т.
O МЦС (3) – т. O 'МЦС (2 ) – т. M МЦС (4) – т. KМЦС (5 ) – т. NПри расстановке стрелок – для определѐнности – принято, что звено 1,модуль угловой скорости которого задан в условии, вращается против ходачасовой стрелки (т.е. в положительном направлении). Изобразив стрелкой, какориентирована угловая скорость этого звена, мы затем последовательно показалиориентацию и всех остальных угловых и линейных скоростей (действуя попринципу: по угловой скорости находим линейную, по линейной – угловую).Результат этих построений представлен на рис.10 (отрезки прямых линий,задававшие направления линейных скоростей, с рисунка удалены: их замениливекторы этих скоростей).Переходим к выкладкам.Записав для модуля линейной скорости точки Aсвязывающую его с модулем угловой скорости звена 1, получаем:VAVAабсформулу, ω1 L1 .= ω1 A OТеперь из параллелограмма скоростей находим: VAпер = VA cos α == ω 1 L 1 cos α .
Учитывая соотношение AO ' = 2 L 1 cos α , получаем: ω 3 =пер= VA / AO ' = ω 1 / 2 . Для точки P имеем:VP = ω 3 3 L 1 = ω 1 3 L 1 / 2 .(10)Модуль угловой скорости звена 2 можно представить в видеVVPMBMPBω 2 = −−−−−−= −−−−−− .(11)Таким образом, для вычисления ω 2 нужно знать длину отрезка MP ; кстати,из (11) можно получить и значение VB , если только известна длина отрезка MB .Обе эти длины удобно найти по теореме синусов.По теореме синусов:PMBM−−−−−− = −−−−−−−−−−−−−cos βcos ( β − α )так чтоω 3 L sin αω 2 = −−−1−−−−−1−−−−−−− ,2 L 2 cos βДля звена 4 получаем ω 4 =VCVCVBL2,= −−−−−sin α(12)ω 3 L cos ( β − α )= −−−1−−−−−1−−−−−−−−−−−−−− .2 cos β/ CK =VB(13)/ BK , откудаω 1 9 L 1 cos ( β − α )= −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− .4 cos β(14)Значение VD можно было бы найти аналогичным способом (используя то, чтоМЦС звена 5 известен). Однако несколько быстрее приводит к цели теорема о том,что проекции скоростей двух точек тела на ось, проходящую через эти точки,равны [3] (эту теорему иногда называют теоремой Грасгофа).По теореме Грасгофа, пр D C -v--C = пр D C -v--D , то есть=VDVCsin β =sin ( 60 ◦ − β ) .
Отсюда получаем второй ответ задачи:VDsin βω 1 9 L 1 cos ( β − α )= −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− .sin ( β − 60 ◦ )4 cos β(15)Из (9) и (15) видно, что значения линейных скоростей, полученныеаналитическим и геометрическим способами, совпадают; а сравнивая (5) с (13) и–учитывая показанное стрелкой на рис.10 направление ω 2 , убеждаемся всовпадении результатов и для угловых скоростей..
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
