Домашнее задание. Фомичев А.В. Расчет параметров межпланетных траекторий по методу сфер влияния (1998) (1245048), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

рис. 1).2. Расчет параметров траектории в сфере действия Земли.Оптимальный маневр.Расчет межпланетных траекторий по методу сфер влияния предполагает ихразбиение на участки конических сечений, каждый из которых имеет лишь одинпритягивающий центр (тяготением остальных небесных тел пренебрегают). Вусловиях рассматриваемой задачи такими центрами являются: на первом этапе Земля, на втором - Солнце и на завершающем - планета назначения Р. Границыкаждого из участков в большинстве подходов определяются размерами сферыдействия меньшего небесного тела по отношению к большему. Радиусы сфер-8-действия для планет Солнечной системе вычислены и приводятся в таблицах. Вчастности, радиус сферы действия Земли R ДЗ  9 ,4  10 5 км .Начальными условиями движения КА на последующем коническом сечении являются конечные условия движения на предыдущем с учетом собственногодвижения сферы действия вместе с планетой вокруг Солнца.Для того, чтобы найти параметры движения КА внутри сферы действияЗемли, необходимо вначале рассчитать его скорость относительно Солнца в момент начала движения по найденной выше эллиптической траектории межпланетного перелета.Радиальная и трансверсальная составляющие этой скорости определяютсякакСС1   cos  0 (15)vr 0  sin  0 ,v n0 ppv0  vr20  vn20Из рис.

2 видно, что нормальная составляющая скорости КА в этот моментсовпадает по направлению с орбитальной скоростью ЗемлиСvкрЗ  nЗ rЗ  29 ,8 км с .rЗСледовательно, относительно Земли КА в этот момент будет иметь нормальную скорость v'n0 .Если vкрЗ  vn0' v n0  v крЗ ; если vкрЗ  vn0' v n0  v крЗ .ТогдаC1   cos  0    C ,prЗа его общая скорость относительно Землиv'n0  vno  vкрЗ (16)(17)v0 З  vr20  v'n20Такова скорость КА относительно Земли при выходе из сферы ее действия,т.е. на расстоянии от Земли r0 З  R ДЗ .Вывод КА на межпланетную траекторию производится с круговой орбитыожидания высотой h0 над поверхностью Земли. Известно, что одноимпульсныйманевр перехода с одной кеплеровой орбиты на другую будет оптимальным всмысле минимума энергетических затрат, если он производится в их общей апсидной точке касания.

В данных условиях это означает, что гиперболическая относительно Земли межпланетная траектория должна в своем перицентре касатьсякруговой орбиты ожидания.Тогда в соответствии с интегралом энергии-9--10-v02З 2 З2 З, v2З R ДЗR З  h0откуда следует, что скорость, которую КА должен иметь в перицентре гиперболической орбиты в сфере действия Земли, 11 (18)vЗ  v02З  2 З RRhЗ0  ДЗХарактеристическая скорость оптимального маневра, переводящего КА скруговой орбиты ожидания высотой h0 на эту гиперболическую орбиту, составляетЗ(19)v  vЗ R З  h0Для нахождения ориентации этого участка орбиты в геоцентрической эклиптической системе координат может быть использован следующий подход.Определяются параметры орбиты КА в сфере действия Земли.На основании интеграла энергии2 Зv2З  ЗR З  h0aЗнайдем большую полуось орбиты1 2v2З aЗ  RhЗ 0 Зa З  0 , так как относительно Земли орбита КА является гиперболической.Для гиперболической орбиты:- эксцентриситетR  h0З  З 1  1;aЗ- малая полуосьbЗ  a З  2З  1 ;- угол наклона асимптотb  З   arctg  З  ; aЗ - фокальный параметрpЗ  a З  2З  1или на основании интеграла площадей  RЗ  h0 vЗ   З pЗ-11-(20)(21)(22)(23)(24а)RЗ  h0 vЗ 2 ;(24б)З- истинная аномалия точки выхода КА из сферы действия Земли относительно ЗемлиpЗ1  pЗR ДЗ  cos  0 З  1 1   З cos  0 З З  R ДЗ1  p(25) 0 З  arccos   З  1 R З  ДЗпричем  2   0 З   .Скорость КА относительно Земли на выходе из сферы действия:- радиальнаяЗ(26)vr 0 З  З sin  0 ЗpЗ- нормальнаяЗ1   З cos  0 З (27)v n0 З pЗОчевидно, чтоpЗv0 З  vr20 З  vn20 З ,(28)однако составляющие vr 0 З и vn0 З отличаются от vr 0 и v'n0 , найденных выше по(15) и (16), из-за того, что радиус-вектор точки выхода КА из сферы действияЗемли r 0 З повернут в геоцентрической системе координат по отношению к единичному вектору n0 З , совпадающему по направлению с вектором точки выходаотносительно Солнца в геоцентрической эклиптической системе координат r 0 наугол  (рис.

2). Этот угол рассчитывается из треугольника скоростей, в котором   ,где v'n0 v'n0, 0    sin  ,    arcsin v0 З2 v0 З v vsin   n0 З ,    arcsin  n0 З  , 0   v0 З2 v0 З Таким образом,(29)  -12-Угол  полностью определяет ориентацию орбиты КА в сфере действияЗемли в геоцентрической эклиптической системе координат. В частности (см.рис. 2),- угол, составляемый радиусом-вектором r 0 З с осью Ox(30) 0З   0   ;- положение линии апсид гиперболической орбиты по отношению к осиOx задается углом(31) З   0 З   0 ЗЗнание этих углов, а также параметров a З , p З ,  З позволяет достаточноточно построить гиперболическую траекторию движения КА в сфере действияЗемли в геоцентрической эклиптической системе координат (см.

рис. 2).3. Пример расчета межпланетной траектории.В постановке задачи, приведенной в п. 1, будем считать:rЗ  1 а.е.  1,496  10 8 км ;rP  rМ  1,5237 а.е. (планета Р - Марс);  30 0 (положение Марса на 22.III.1998 г.);Х : 5.XII .1998 гг . - день старта.Допустим далее, что запуск КА производится с круговой орбиты ожиданиявысотой h0  200 км над поверхностью Земли.Дополнительные данные: C  0 ,000296 а.е.3 сут 2  1,3249  10 11 км 3 с 2 - константа гравитацииСолнца;532 З  3 ,9858  10 км с - константа гравитации Земли.Также известны указанные выше:TЗ  365 ,25 сут - длительность земного года;vкрЗ  29 ,8 км с - орбитальная скорость Земли.Требуется:1) определить параметры межпланетной траектории и изобразить ее в масштабе в гелиоцентрической эклиптической системе координат;2) определить параметры траектории КА в сфере действия Земли и рассчитать характеристическую скорость оптимального маневра перехода на эту траекторию с исходной круговой орбиты, привести соответствующие рисунки.На основе соотношений, обоснованных в п.

1, находим:по (1) nЗ  0 ,9856 град сут ,по (2) nМ  0 ,5365 град сут ,Поскольку   0 и nЗ  nМ , согласно (4в), для k  1 получаем t a  735 сут . Следовательно,-13-по (5) A : 26.III .2000 гг . ипо (6)  a  725 0  2  360 0  5 0 k  2  .Зная, что X : 5.XII .1998 гг . ,по (7) находим t 0  258 сут ,по (5)  0  254,3 0 ,по (9)  0 M  108,4 0 .Длительность полета и его угловая дальность (10) составляют:  477 сут ,   725 0  254 0  360 0  110 ,10 k  1 .Далее по рис.

1 приложения находим a  1,43 a.e.Уточняем это значение по уравнению Ламберта (см. таблицу 1 приложения, форма траектории 2), где c  2 ,07 a.e. , s  2 ,285 a.e. ,sin  0 ,8938 (т.е.   2 ,2115 рад ), sin  0 ,2742 (т.е.   0 ,5555 рад ).22После уточнения (в данном случае с применением ЭВМ), находимa  1,428 a.e.Вычисляя фокальный параметр по формуле, приведенной в таблице приложения 2 (форма траектории 2), получаем p  0 ,7296 a.e. .Далее находим остальные параметры орбиты относительно Солнца:по (11)   0,6993 ,по (12) r  0 ,4294 a.e.,r  2 ,4266 a.e.

,по (13) b  1,021 a.e. ,по (14) с учетом (10) выбираем  0  112,75 0 ,a  360 0  137 ,3 0  222 ,7 0 a   0    109,95 0 - совпадение удовлетворительное.Выполненный в масштабе чертеж найденной траектории был приведен нарис. 1.Рассчитаем теперь параметры траектории в сфере действия Земли в соответствии с методикой, изложенной в 1.2:по (15) vro  22 ,51 км с ;по (15) vn0  25 ,44 км с ;тогда v0  33 ,97 км спо (16) v'n0  4 ,36 км с ;по (18) vЗ  25 ,42 км с ;по (20) a З  759 ,2 км ;по (17) v0 З  22 ,93 км с ;по (19) v  17 ,64 км с ;по (21)  З  9,66 ;по (22) bЗ  7297 ,8 км ;по (23)  З   84,10 ;по (24) pЗ  70086 км ;по (26) vr 0 З  22 ,93 км с ;по (25)  0 З  95,5 0 ;по (27) vn0 З  0 ,177 км с ;-14-по (28) v0 З  22 ,93 км с ;по (29)   10 ,96 0 ,   0 ,442 0 ,откуда   10,52 0 ;по (30)  0 З  243,78 0 ;по (31)  З  339,28 0 .Вид этой траектории схематически изображен на рис.

2.В заключение следует заметить, что рассчитанная здесь траектория является для заданных граничных условий энергетически оптимальной, так как времяперелета   477 сут при угловой дальности   110,10 , как это следует из рис.П3.1 приложения 3, заставляет выбрать число полных оборотов КА вокруг Солнца N  0 . В общем, когда возможен перелет с N  0 , оптимальным (в смыслеминимума характеристической скорости v ) будет вариант с максимально возможным N , так как он будет соответствовать минимальной величине большойполуоси a эллиптической траектории относительно Солнца, а следовательно, иминимальной энергии, необходимой для ее реализации.-15-ПРИЛОЖЕНИЯПриложение 1Автоматизированный календарьДля определения числа дней между датами можно воспользоваться следующими выражениямиn  F2  F1 ,F2  F1 ,где фактор Fi определяется:- для месяцев январь и февральF  365YYYY   DD  31MM  1  YYYY  1 4 ; 0 ,75YYYY  1 100  1- для месяцев с марта по декабрьF  365YYYY   DD  31MM  1  0 ,4 MM  2 ,3 , YYYY  4  0 ,75YYYY  100  1где   - целая часть числа в скобках,YYYY - четырехзначный индекс года,- двузначный индекс месяца,MM- двузначный индекс дня.DDЗная время перелета или число дней между датами и одну из дат, а именнодень старта, легко можно методом подбора индексов года, месяца и числа найтидату дня прибытия.-16--17-Приложение 3Номограммы решенияуравнения Ламберта-18--19--20--21--22-.

Характеристики

Список файлов домашнего задания