Алексеев (1222236), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Для полинома первой степени (1.19):

система нормальных уравнений имеет вид:

где знак суммирования распространяется на все моменты наблюдения (все уровни) исходного временного ряда.

Аналогичная система для полинома второй степени (1.21):

имеет вид

Для полинома третьей степени (1.23):

система нормальных уравнений записывается следующим образом (1.24):

Параметры экспоненциальных и S-образных кривых находятся более сложными методами. Для простой экспоненты (1.25):

предварительно логарифмируют выражение по некоторому основанию (например, десятичному или натуральному) (1.26):

то есть логарифмы функции выводят линейное выражение, после чего для неизвестных параметров log⁡〖a 〗и log⁡〖b,〗 создают систему нормальных уравнений, основываясь на методе наименьших квадратов, похожую на систему для полинома со степенью один. При решении этой системы, ищут логарифмы параметров, а далее и параметры модели [6].

При опозновании параметров кривых роста с асимптотами (экспонента модифицированная, кривая Гомперца, кривая логистическая), Рассматривают два случая. Допустим, значение асимптоты k уже известно ранее, то несложной модификацией формулы и дальнейшего логарифмирования опознование параметров приводят к решению системы нормальных уравнений, неизвестными которой будут логарифмы параметров кривой.

Допустим, что значение асимптоты ранее неизвестно, то найти параметры указанные выше кривых роста можно с помощью приближенных методов: метод трех точек, метод трех сумм и так далее.

Исходя из этого, при моделировании динамики экономики, заданной временным рядом, сглаживанием исходного ряда, опознание наличия тренда, отбирая одну или несколько кривых роста и нахождения их параметров при наличии тренда находят одну или более одной моделей тренда для начального временного ряда. Возникает вопрос, как сильно эти модели близки к реальности экономики, которая отражается во временном ряду, и как обосновано использование этих моделей для анализирования и прогнозов данного явления экономики. Данный вопрос подробно описывается в следующем подразделе [7].

2.2 Оценка адекватности и точности трендовых моделей

Несмотря на вид и способ создания экономико-математической модели можно задать вопрос о возможных ее применениях в целях анализирования и прогнозов явления экономики будет решен тогда, когда установится её адекватность, то есть соответствия данной модели данному процессу или объекту. Полное соответствие модели существующему процессу или объекту не возможно, а адекватность является в какой-то мере условным понятием. При моделировании адекватность подразумевается не в общих чертах, а именно по тем модельным свойствам, которые являются значимыми для данного исследования.

Модель тренда данного временного ряда является адекватной, когда точно отражает систематические компоненты временного ряда. Данное требование аналогично требованию, чтобы остаточная компонента удовлетворяла свойствам случайной компоненты временного ряда:

• случайностью колебаний уровней остаточной последовательности;

– соответствием распределения случайной компоненты нормальному закону распределения;

• равенством математического ожидания случайной компоненты нулю;

• независимостью значений уровней случайной последовательности, то есть отсутствием существенной автокорреляции.

Проверка случайности колебаний уровней остаточной последовательности говорит о проверке гипотезы для правильности выбора вида тренда. В исследовании случайности отклонений от тренда мы располагаем набором разностей (1.27):

Характер таких отклонений изучают только с помощью ряда непараметрических критериев. Первым из критериев будет критерий серий, который основывается на медиане выборки. Величины ряда сортируют в порядке увеличения их значений и ищут медиану в следствии данного вариационного ряда, т.е. срединное значение нечетного n или среднюю арифметическую из двух срединных значений при п четном. Вернувшись к начальной последовательности и сравнив полученные данные этой последовательности с , будет стоять знак «плюс», если значение превышает медиану, и знак «минус», если оно не превосходит медиану; при возможности равенства сравнимых величин эквивалентное значение не используется. Следовательно, появляется последовательность, которая состоит из минусов и плюсов, сумма чисел которых не превышает n. Последовательность идущих подряд минусов и плюсов является серией. Тогда, чтобы последовательность была возможной выборкой, протяженность максимально длинной серии не будет очень большой, а сумма чисел серий — очень малой. Выберем протяженность самой длинной серии через , а общее число серий — через v. Выборка является случайной, при условии выполнения следующих определенных неравенств, для 5% -ного уровня значимости (1.28):

где квадратные скобки обозначают целую часть числа.

При нарушении одного из неравенств, гипотеза о случайном характере отклонений уровней временного ряда от тренда отвергается. Из этого следует вывод, что трендовая модель признается неадекватной [8].

Еще одним критерием для проверки может служить критерий пиков (поворотных точек). Уровень последовательности считается максимумом, если он больше двух рядом стоящих уровней, т.е. , и минимумом, если он меньше обоих соседних уровней, т.е. . В обоих случаях считается поворотной точкой; общее число поворотных точек для остаточной последовательности обозначим через p.

В случайной выборке математическое ожидание числа точек поворота и дисперсия выражаются формулами (1.29):

Критерием случайности с 5%-ным уровнем значимости, т.е. с доверительной вероятностью 95%, является выполнение неравенства (1.30):

(1.30)

где квадратные скобки, также, обозначают целую часть числа. При невыполнении неравенства, трендовая модель считается неадекватной.

Проверка соответствия распределения случайной компоненты нормальному закону распределения может быть произведена только приближенно с помощью исследования показателей асимметрии ( ) и эксцесса ( ), потому что временные ряды не очень велики. При нормальном распределении показатели асимметрии и эксцесса некоторой генеральной совокупности равны нулю. Мы предполагаем, что отклонения от тренда представляют собой выборку из генеральной совокупности, поэтому можно определить только выборочные характеристики асимметрии и эксцесса и их ошибки (1.31):

(1.31)

В данных формулах — выборочная характеристика асимметрии; — выборочная характеристика эксцесса; и соответствующие среднеквадратические ошибки.

При одновременном выполнении следующих неравенств (1.32):

(1.32)

гипотеза о нормальном распределении случайной компоненты принимается .

При выполнении одного из данных неравенств (1.33):

(1.33)

гипотеза о нормальном характере распределения отвергается, трендовая модель признается неадекватной. Другие случаи требуют дополнительной проверки с помощью более сложных критериев [9].

Помимо рассмотренного метода необходимо выделить ряд других методов для проверки нормальности закона распределения случайной величины: метод Вестергарда, RS-критерий и т. д. Рассмотрим наиболее простой из них, основанный на RS-критерии. Этот критерий численно равен отношению размаха вариации случайной величины R к стандартному отклонению S. В нашем случае а .

Характеристики

Список файлов ВКР