Алексеев (1222236), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Подытожив вышесказанное, можно отметить следующие свойства полиномиальных кривых роста:

• от полинома высокого порядка можно путем расчета последовательных разностей (приростов) перейти к полиному более низкого порядка;

• значения приростов для полиномов любого порядка не зависят от значений самой функции .

Это говорит о том, что полиномиальные кривые роста можно использовать для аппроксимации (приближения), а так же прогнозирования экономических процессов, в которых последующее развитие не зависит от достигнутого уровня.

В отличие от использования полиномиальных кривых использование экспоненциальных кривых роста предполагает, что будущее развитие зависит от достигнутого уровня, например, от значения функции, зависит прирост. В экономике чаще всего применяются две разновидности экспоненциальных (показательных) кривых, такие как простая экспонента и модифицированная экспонента.

Простая экспонента представляется в виде функции

где а и b — положительные числа, при этом если b больше единицы, то функция возрастает с ростом времени t, если b меньше единицы — функция убывает.

Исходя из уравнения видно, что ордината данной функции изменяется с постоянным темпом прироста. Если взять отношение прироста к самой ординате, оно будет постоянной величиной (1.2):

(1.2)

Прологарифмируем выражение для данной функции по любому основанию (1.3):

Можно сделать вывод: логарифмы ординат простой экспоненты линейно зависят от времени.

Модифицированная экспонента имеет вид (1.4):

где постоянные величины: а меньше нуля, b положительна и меньше единицы, а константа k носит название асимптоты этой функции, т.е. значения функции неограниченно приближаются (снизу) к величине k. Могут быть другие варианты модифицированной экспоненты, но на практике часто встречается указанная выше функция.

Если прологарифмировать первые приросты данной функции, то получится функция, линейно зависящая от времени, а если взять отношение двух последовательных приростов, то оно будет постоянной величиной (1.5):

В экономике распространены процессы, которые сначала растут медленно, затем ускоряются, а затем снова замедляют свой рост, стремясь к какому-либо пределу. Примерами таких процессов являются процесс ввода некоторого объекта в промышленную эксплуатацию, процесс изменения спроса на товары, обладающие способностью достигать некоторого уровня насыщения, и другие. Для моделирования данного вида процессов используются так называемые S-образные кривые роста, среди которых наиболее распространены кривая Гомперца и логистическую кривая.

Кривая Гомперца имеет аналитическое выражение (1.6):

где а, b — положительные параметры, причем b меньше единицы; параметр k — асимптота функции.

В кривой Гомперца выделяются четыре участка: на первом — прирост функции незначителен, на втором — прирост увеличивается, на третьем участке прирост примерно постоянен, на четвертом — происходит замедление темпов прироста и функция неограниченно приближается к значению k. В результате конфигурация кривой напоминает не что иное как латинскую букву S.

Логарифм данной функции является экспоненциальной кривой; логарифм отношения первого прироста к самой ординате функции — линейная функция времени.

С помощью кривой Гомперца можно описать, например, динамику показателей уровня жизни. Модификации данной кривой используется в демографии для моделирования различных показателей, один из которых будет являться показатель смертности [3].

Логистическая кривая, или кривая Перла—Рида — является возрастающей функцией, наиболее часто выражаемая в виде (1.7)

другие виды этой кривой (1.8):

В выражениях параметры а и b — положительны; k — предельное значение функции возрастает бесконечно по времени.

Взял производную данной функции, то заметно, что скорость логистической кривой возрастает в каждый момент времени пропорционально достаточному уровню функции и разности между максимальным k значением и максимальным уровнем. Логарифм отношения первого прироста функции к квадрату ее значения (ординаты) есть линейная функция от времени.

Настройка графика логистической кривой приближается к графику кривой Гомперца, но отличаясь от последней логистическая кривая имеет симметричную точку, которая совпадает с точкой перегиба. Рассмотрим проблему предварительного выбора вида кривой роста для данного временного ряда. Предположим, есть временной ряд .

Чтобы выбрать вид полиномиальной кривой роста чаще всего более известным методом будет метод конечных разностей (метод Тинтнера). Данный метод используется для начального выбора полиномиальной кривой, если, во-первых, уровни временного ряда состоят только из двух компонент: случайная компонента и тренд, и, во-вторых, тренд будет достаточно гладким, и тогда его можно аппроксимировать полиномом разных степеней [4].

Вначале этого метода вычисляются разности (приросты) до k-го порядка включительно (1.9):

Для аппроксимации экономических процессов обычно вычисляют конечные разности до четвертого порядка.

После чего для исходного ряда и для каждого разностного ряда вычисляются дисперсии по следующим формулам:

для исходного ряда (1.10):

для разностного ряда k-го порядка (k = 1, 2, ...) (1.11):

Производится сравнение отклонений каждой последующей дисперсии от предыдущей, т.е. вычисляются величины (1.12):

если для определенного значения k данная величина не превышаетт некоторой впереди заданной положительной величины, т.е. дисперсии первого порядка, то в данном случае степень аппроксимирующего полинома будет равна k - 1.

Более уникальным методом начального выбора кривых роста, позволяющим выбрать данную кривую из более широкого класса кривых роста, будет метод характеристик прироста. Данный метод основывается на использовании отдельных характерных свойств кривых, рассматриваемых выше. При методе начальный временной ряд сначало сглаживается методом простой скользящей средней. Допустим, для интервала сглаживания m = 3 уровни сглаживания рассчитываются по формуле (1.13):

причем чтобы не потерять первый и последний уровни, их сглаживают по формулам (1.14) и (1.15):

Затем вычисляются первые средние приросты (1.16)

вторые средние приросты (1.17)

а также ряд производных величин, связанных с вычисленными средними приростами и сглаженными уровнями ряда (1.18):

В соответствии с характером изменения средних приростов и производных показателей выбирается вид кривой роста для исходного временного ряда, при этом используется таблица 1.1.

Таблица 1.1 ­– Кривые роста

Показатель	Характер изменения показателя во времени	Вид кривой роста
Первый средний прирост	Примерно одинаковы	Полином первого порядка (прямая)
То же	Изменяются линейно	Полином второго порядка (парабола)
Второй средний прирост	Изменяются линейно	Полином третьего порядка (кубическая парабола)
	Примерно одинаковы	Простая экспонента
	Изменяются линейно	Модифицированная Экспонента
	Изменяются линейно	Кривая Гомперца
	Изменяются линейно	Логистическая Кривая

На практике при предварительном выборе отбирают обычно две-три кривые роста для дальнейшего исследования и построения трендовой модели данного временного ряда. Для этого рассмотрим методы определения параметров отобранных кривых роста. Параметры полиномиальных кривых оцениваются, как правило, методом наименьших квадратов, суть которого заключается в том, чтобы сумма квадратов отклонений фактических уровней ряда от соответствующих выравненных по кривой роста значений была наименьшей. Данный метод приводит к системе так называемых нормальных отобранных кривых [5].

Характеристики

Список файлов ВКР