ВКР_ПЗ Кутузова ЕС (1221256), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

z(t) = L^Te(t) + Jq(t), (1.14)

а описание ННЧ системы определено уравнением обратной связи вида

v(t) = F(z,t), q(t) = - v(t), (1.15)

где e(t), z(t) и q(t) - соответственно, n-мерный вектор состояния и m-мерные векторы выхода и управления;

m<n; F(z,t) - векторный функционал;

A, B, L, J - постоянные матрицы соответствующего размера (пара (A,B) полностью управляема, пара (L,A) полностью наблюдаема).

Следуя работам Попова В.М., для системы (1.13)-(1.15) введем так называемую присоединенную систему, т.е. дополним ее описание интегралом вида

(1.16)

и для системы (1.13)-(1.16) дадим следующее определение.

Присоединенная система (1.13)-(1.16) называется гиперустойчивой, если найдутся такие положительные константы d₀ , d₁, h₀, h₁, что любое решение системы (1.13)-(1.16) будет удовлетворять соотношению

(1.17)

а также будет выполняться интегральное неравенство Попова (ИНП)

(1.18)

где - максимальное значение евклидовой нормы .

ИНП вида (1.18) может быть и более простым, в частности:

(1.19)

(1.20)

Присоединенная система (1.13)-(1.16) называется асимптотически гиперустойчивой, если она гиперустойчива, а также выполняется соотношение

(1.21)

Известно, что если для присоединенной системы (1.13)-(1.16) показана ее гиперустойчивость, то гиперустойчивой является и система (1.13)-(1.15). Кроме того, если получены некоторые условия гиперустойчивости для системы (1.13)-(1.16), то эти же условия будут определять и гиперустойчивость системы (1.13)-(1.15). Данное обстоятельство весьма важно и удобно для решения задач синтеза систем управления, в частности, систем адаптации.

ННЧ системы (1.13)-(1.16) должна удовлетворять ИНП (1.18) или (1.19),(1.20). Таким образом, если это требование выполнено, то гиперустойчивость системы будет зависеть только от свойств ее ЛСЧ, которые можно задать в виде теорем, сформулированных в терминах положительности динамических систем.

Для гиперустойчивости системы (1.13)-(1.15), при выполнении ИНП вида (1.18) или (1.19),(1.20), необходимо и достаточно, чтобы передаточная матрица ЛСЧ рассматриваемой системы, т.е.

W(p) = J + L^Т (pE - A) ^-1 B (1.22)

была бы положительной вещественной матрицей.

Для асимптотической гиперустойчивости системы (1.13)-(1.15) при выполнении ИНП вида (1.18) или (1.19),(1.20), необходимо и достаточно, чтобы передаточная матрица ЛСЧ вида (1.22) была бы строго положительной вещественной матрицей, а система (1.13),(1.14) была бы минимально устойчивой.

Известно, что для минимальной устойчивости системы (1.13),(1.14) достаточно, чтобы были выполнены следующие требования:

- если J0, то должна существовать полуопределенная отрицательная матрица c₀=const<0, удовлетворяющая условию det(E-Jc₀) 0, при которой имеет место асимптотическая устойчивость тривиального решения системы

полученной из уравнений (1.13),(1.14) при

q (t) = c₀z(t), z(t) = L^Te(t)+Jq(t);

- если J=0, то должна существовать матрица c₀=const<0 (в частном случае c₀ может быть единичной матрицей, умноженной на отрицательную скалярную величину), обеспечивающая асимптотическую устойчивость тривиального решения системы

также полученной на основе уравнений (1.13),(1.14), но уже для

q(t) = c₀z(t), z(t) = L^Te(t).

Сформулируем ряд общих математических положений и в следующем пункте рассмотрим вопросы положительности системы (1.13), (1.14).

1.2.3 Положительность динамических систем

Пусть W(p) - скалярная функция вида

, (1.23)

где a(p) и b(p) - соответствующие полиномы комплексной переменной p, т.е. числитель и знаменатель передаточной функции W(p).

Функция W(p) является положительной вещественной, если выполняются условия:

- W(p) - вещественная для всех вещественных p;

- W(p) не имеет полюсов в полуплоскости Re[p]>0;

- возможные полюсы W(p) на оси Re[p]=0 являются различными, а все остальные нулевыми;

- Re[W(j)]>0, для всех , для которых p=j не является полюсом W(p).

Функция W(p) является строго положительной вещественной функцией, если выполняются условия:

- W(p) - вещественная для вещественных p;

- не имеет полюсов в полуплоскости Re[p]>0;

- Re[W(j)]>0, для всех .

Графическая интерпретация условия положительности (строгой положительности) и вещественности передаточной функции W(p), означает расположение ее годографа W(j) в правой (строго в правой) полуплоскости комплексной плоскости, что и отражено на рисунке 1.15.

Рисунок 1.15 – Графическая интерпретация передаточной функции W(p)

Если W(p), вида (1.23), является положительной вещественной функцией, то справедливы следующие утверждения:

- полиномы a(p) и b(p) имеют вещественные положительные коэффициенты;

- полиномы a(p) и b(p) не имеют корней в полуплоскости Re[p]>0;

- порядки полиномов a(p) и b(p) отличаются друг от друга не более, чем на единицу;

- функция

является положительной вещественной.

Все утверждения данной леммы, за исключением последнего, определяют лишь необходимые условия положительности вещественной функции (1.23). Используя эти условия для рассматриваемой W(p), можно сформулировать простое достаточное условие положительности вещественных функций, когда полиномы a(p) и b(p) имеют только вещественные корни.

Пусть выполнены первые три условия вышеуказанной леммы, тогда для положительности вещественной функции вида (1.23) достаточно, чтобы выполнялись требования:

- полиномы a(p) и b(p) имеют только вещественные корни;

- корни полинома a(p) должны последовательно чередоваться с корнями полинома b(p), следуя один за другим.

Для линейных систем, описываемых уравнениями (1.13),(1.14), весьма распространен случай, когда в уравнении (1.14) матрица J=0.

Рассматривая этот случай отдельно, сформулируем для него следующий результат.

Линейная стационарная система

(1.24)

z(t) = L^Тe(t), (1.25)

является положительной или передаточная матрица

W(p) = L^Т(pE - A)^-1B, (1.26)

является положительной вещественной матрицей, тогда и только тогда, когда существует матрица H=H^Т>0 и матрица Q=Q^Т>0, факторизуемая в виде Q=NN^Т, такие, что

HA + A^ТH = - Q = - NN^Т, B^ТH = L^Т,

где N - некоторая матрица.

Для приложений весьма важны нижеследующие результаты о строгой положительности и вещественности передаточных матриц ЛСЧ системы управления.

Передаточная матрица вида (1.22), элементы которой не имеют полюсов в полуплоскости Re[p]>-p₀, где p₀=const>0, является строго положительной вещественной, когда существуют матрицы H=H^Т>0, Q=Q^Т>0, N и P такие, что будут выполнены условия

HA + A^ТH = - NN^Т-2p₀H = - Q, B^ТH +P^TN^Т = L^Т, P^T P = J+J^T.

Таким образом, в силу требований H=H^Т>0, Q=Q^Т>0, всегда существует скалярная величина p₀0, удовлетворяющая условию

Q -2p₀H > 0,

а также матрица N, позволяющие факторизовать матрицу (Q -2p₀H ) в следующем виде NN^Т.

Передаточная матрица (1.26) является строго положительной вещественной матрицей, когда существуют матрицы H=H^Т>0 и Q=Q^Т>0 такие, что будут выполнены условия

HA + A^ТH = - Q, B^ТH = L^Т. (1.27)

Поскольку в условиях теоремы требуется, чтобы существовали симметричные положительно определенные матрицы H и Q, удовлетворяющие матричным уравнениям, то учитывая свойство матрицы Q=Q^Т>0, алгебраическую задачу можно переформулировать как задачу определения условий существования только матрицы H=H^Т>0, удовлетворяющей решению следующей алгебраической задачи:

HA + A^ТH < 0, B^ТH = L^Т. (1.28)

Для решения такой задачи широко используются частотные теоремы Якубовича В.А.

Если линейная стационарная система (1.13),(1.14), описывается уравнениями (1.24),(1.25), то для существования матрицы H=H^Т>0, удовлетворяющей соотношениям (1.28), достаточно, а при rank(B)=m и необходимо, чтобы полином det(pE-A) был гурвицевым и , при q0, выполнялись частотные неравенства

где W(j) имеет вид (1.26).

Таким образом, вышеуказанная теорема решает специальную алгебраическую задачу (1.28) в частотной области.

Далее в задачах синтеза, систематически используется нижеследующий вариант ее решения.

Пусть в уравнении (1.14) матрица J=0, а вектор выхода системы (1.13),(1.14) - z(t) l-мерный, m<l<n.

Введем линейное преобразование вектора z(t), формируя в системе (1.13), (1.14) линейно-измененный или обобщенный вектор выхода системы z₀(t), который определим в виде

z₀(t) = G^Тz(t) = G^ТL^Те(t), (1.29)

где G - матрица постоянных коэффициентов соответствующего размера.

В работах Ландау И.Д., аналогичная процедура осуществляется преобразователем, который был им назван линейным компенсатором.

Пусть матрица G задана (выбрана некоторым образом), требуется определить условия существования матрицы H=H^Т>0 и некоторой матрицы G₀, удовлетворяющих соотношениям

H(A+BG₀^TL^Т) + (A+BG₀^TL^Т)^ТH < 0, B^ТH = G^T L^Т, (1.30)

Введем следующие обозначения:

s(p) = det(pE-A) det[G^TW(p)], (1.31)

(1.32)

где W(p) имеет вид (1.26).

Можно показать, что s(p) - полином степени, не превышающей число (n-m). Для существования матриц H=H^Т>0 и G₀, достаточно, а при rank(B)=m, то и необходимо, чтобы полином был гурвицевым, а матрица s₀ - положительно определенной.

В частном случае, когда m=1, т.е. матрица G является вектором, который обозначим через g, вышеуказанная теорема дает следующий результат:

Отсюда вытекает следствие, что для существования матрицы H=H^Т>0 и некоторого вектора g₀, удовлетворяющих соотношениям

H(A+B g ₀^TL^Т) + (A+B g ₀^TL^Т)^ТH < 0, B^ТH = g ^T L^Т (1.33)

необходимо и достаточно, чтобы полином

a(p) = b(p)g^TW(p) = g^TL^Tadj(pE - A) B (1.34)

был гурвицевым степени (n-1) с положительными коэффициентами.

Характеристики

Список файлов ВКР