Текст ВКР (1218920), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Использование данного компонента, разработанного в лаборатории ММФТ, позволяет максимально задействовать свободные ресурсы кластера для расчета большого числа наборов без участия пользователя.

Более подробно работа программного компонента Запускатель описана в [13].

3.4 Визуализатор

На этапе проектирования программного комплекса были описаны основные возможности вычислительного кластера по отображению данных. В данном разделе подробно описаны алгоритмы, реализующие визуализацию результатов и те сложности, с которыми пришлось столкнуться в ходе разработки.

3.4.1 Представление результатов численного решения в виде двумерных графиков

Построение двумерных графиков осуществляется для всех наборов, которые были признаны оптимальными. Сценарииbash2d.sh и plot2d.sh выполняют построение двумерных графиков зависимости величины погрешности от шага сетки. Файлы данных, необходимые для визуализации этим сценариями, создаются Анализатором при работе в режиме analyze. Формат файлов с данными следующий:

3 0.084474

4 0.053220

5 0.033352

6 0.015923

7 0.007595

8 0.003697

Первая цифра – номер сетки, на которой найдено значение исследуемой погрешности (второе число). Значения первого столбца считываются в массив array при помощи цикла:

while read line; do

s=$(echo ${line##* })

array[$index]="$s"

index=$(($index+1))

done< $file

и передаются скрипту plot2d.sh в качестве параметров:

./plot2d.sh $file ""${array[0]}" ${array[0]}, … ,"${array[5]}" ${array[5]}"

Схема работы сценариев показана на рисунке 9:

Рисунок 9 – Блок-схемы работы скриптов bash2d.sh (слева) и вызываемого им plot2d.sh(справа)

Краткое описание работы Визуализатора:

– bash2d.shпоочередно передает имена файлов ($file) с данными для вывода в качестве параметра скрипту plot2d.sh, а также массив подписей по оси y ($(tics));

– plot2d.sh осуществляет настройку терминала gnuplot и последующую печать графика в файл формата *.eps.

Работа скриптов не требует участия человека. Благодаря использованию командной оболочки Bash достигается автоматизация построения графиков погрешностей.

Важной особенностью построения является использования массива подписей по оси погрешностей – tics. Этот массив передается скрипту plot2d.sh, который корректно воспринимает полученный список и производит визуализацию графика с необходимыми подписями.

Примеры двумерных графиков показаны на рисунке 10:

Рисунок 10 – Двумерные графики изменения погрешности с измельчением шага сетки

Каждый график строится в цикле по списку количества файлов, удовлетворяющих следующему шаблону:

ROOT_PATH/data2D*

где ROOT_PATH=$(cd $(dirname $0) && pwd). Данная запись означает, что будут отобраны все файлы из рабочего каталога, имена которых начинаются с data2D.

После построения графиков происходит копирование всех полученных результатов и представляющих их графиков в папку Final.

1. 3.4.2 Представление результатов численного решения в виде трехмерных графиков

Сценарии bash3d.sh и plot3d.sh, написанные для gnuplot под Bash, позволяют визуализировать результаты численного решения математических задач в виде трехмерных графиков. Как и скрипты bash2d.sh и plot2d.sh они представляют собой комбинацию между командами на Bash и программными настройками для gnuplot. Из Анализатора вызывается основной скрипт bash3d.sh, который подает на очередь скрипту plot3d.shимена файлов с данными:

./plot2d.sh $file

Эти имена находятся в файле dirs, который очищается после каждой итерации программного комплекса. Содержимое файла dirs:

/Path_to_result1/u

/Path_to_result1/v

…

/Path_to_result5/u

/Path_to_result5/v

Хранение полного пути к файлам с данными является необходимым условием при построении графиков в gnuplot.

В скрипте plot3d.sh происходит непосредственное обращение к gnuplot с определением настроек.

Поверхности создаются с разрешение 100х100 полигонов, так как процесс отрисовки в этом случае не является слишком долгим, а также обладает достаточной наглядностью. Использование различных видов заливки полигонов позволяет наглядно отобразить распределение погрешности в области. В случае использования точно заданной палитры необходимо соотнести диапазон изменения величины абсолютной погрешности с количеством отображаемых цветов, чтобы разбиение на диапазоны было корректным (рисунок 11):

Рисунок 11 – Графики, построенные gnuplot для u (слева) и v (справа) компонент в градиентной (рисунки сверху) и жесткой (рисунки снизу) палитре

Построение трехмерных графиков, так же как и двумерных, происходит с выводом в файлы формата *.eps. Для этого в файле plot3d.sh устанавливается терминал вывода и имя файла вывода:

set terminal postscript eps color enhanced

set output "$1.eps"

Строка настройки set output "$1.eps" означает, что именем файла вывода будет первый параметр, передаваемый скрипту при запуске.

Файл plot3d.sh содержит следующие настройки по умолчанию:

– подключение возможности закрашенных полигонов и стандартной палитры RGB

set pm3d; set palette

set palette model RGB

– настройки угла обзора, подписей и масштаба сцены отображения;

set title "3d-map of absolute error"

set ticslevel 0.5

set view 72,63

set autoscale

set hidden3d

set contour both

set dgrid3d 70,70,4;

set style datalines

– настройки полигональной сетки, в зависимости от которых достигается наибольшая корректность отображения;

splot "$1.dat" ti ""

– вывод графика на печать, используя данные из указанного файла.

Оценить, насколько сильно влияет соотношение полигонов по каждой из компонент на информативность визуализации можно в Приложении В, в котором приведены графики с различными конфигурациями как палитры, так и полигонального разбиения.

В заключение следует добавить, что, как и упоминалось ранее в пункте 2.2, существует возможность вывода графиков и в интерактивном оконном режиме XWindows. Поддержка данной возможности также реализована в программном комплексе, но является неактивной в силу причин, описанных в том же пункте.

3.5 Тестирование автоматизированной работы

Разработанный комплекс был апробирован при исследовании двумерных задач теории упругости с сингулярностью, вызванной наличием на границе области входящего угла.

В многоугольной невыпуклой области была рассмотрена краевая задача с неоднородными граничными условиями первого рода относительно поля перемещений для системы Ламе с постоянными коэффициентами и

(3.1)

(3.2)

Здесь предполагается, что граница содержит один входящий угол с вершиной в начале координат, а правые части (3.1)–(3.2) удовлетворяют условиям (см. [14])

(3.3)

Для поставленной задачи было введено понятие -обобщенного решения.

Определение 1. -обобщенным решением задачи (3.1)–(3.3) будем называть такую функцию , которая почти всюду на удовлетворяет краевому условию (3.2) и для любой вектор-функции обращает

(3.4)

в верное равенство при любом, но фиксированном .

Здесь

соответственно билинейная и линейная формы. Весовая функция совпадает с расстоянием до особой точки в области и равна для .

Для численного решения краевой задачи (3.1)–(3.3) была построена следующая схема весового метода конечных элементов.

1. Область разбивается на конечное число треугольников с вершинами так, чтобы кончено-элементная сетка, удовлетворяла следующим стандартным требованиям: 1) два различных элемента либо не пересекаются, либо имеют общими только сторону или вершину; 2) площади всех элементов — одного порядка; 3) наименьший из углов триангуляции строго положительный и не зависит от нее.

2. Каждому узлу в соответствие ставится функция

где линейна на каждом конечном элементе, , — символ Кронеккера, и (для ) вещественное число.

3. Через обозначается линейная оболочка, построенная на системе базисных функций , а через — подмножество , содержащее функции, обращающиеся в в узлах, попадающих на границу. Для соответствующих множеств вектор-функций вводятся обозначения и .

4. Конечно-элементная аппроксимация, связанная с построенной триангуляцией, имеет вид

где , ,

Определение 2. Приближенным -обобщенным решением задачи (3.1)–(3.3) по весовому методу конечных элементов будем называть такую функцию , которая почти всюду в узлах, попадающих на удовлетворяет краевому условию и для любых вектор-функции и удовлетворяет интегральному тождеству

(3.5)

где .

Для проведения серии численных экспериментов была использована программа «Проба-IV» [15] и разработанный комплекс. Значения параметров, близкие к оптимальным, шкала для параметра v, а также графики и рисунки были получены комплексом автоматически.

Характеристики

Список файлов ВКР