Колиденкова (1211099), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

(2.2)

Согласно теореме 1.2 задача (2.2) эквивалентна задачи нахождения функции из , такой, что

(2.3)

2.2 Эквивалентность задач (2.1) и (2.3)

Теорема 2.1. Пусть существует решение задач (2.1), (2.3) из пространства . Тогда эти решения совпадают.

Доказательство. Пусть – решение задачи (2.1) умножим уравнение на и проинтегрируем

,

где – любая функция из .

Воспользуемся формулой Гаусса-Остроградксого

.

Тогда

,

,

Т.к. , , то на

.

Но тогда

Таким образом, – решение задачи (2.3)

Теперь пусть – решение задачи (2.3), т.е. для всех выполненно неравенство

(2.4)

Используя формулу Гаусса-Остроградского для , где , получим неравенства

,

.

Т.к – произвольный элемент, то из этого неравенства следует т.е.

Умножим последнее уравнение на и проинтегрируем. Тогда по формуле Гаусса-Остроградского

Используя (2.4), получим неравенство

(2.5)

Полагая здесь , где на Γ, получим

,

Т.к. – произвольно, то почти всюду на Γ. Полагая в (2.5)

,

получим

,

.

Но , поэтому почти везде на

.

Таким образом, – решение задачи (2.1).

2.3 Существование и единственность решения вариационного неравенства

Теорема 2.2. Если то решение задачи (2.3) существует и единственно.

Доказательство.

Т.к. согласно теореме 1.2. задачи (2.1) (2.3) эквивалентны, то рассмотрим функционал

Положим здесь , где , , получим

,

Если , то

.

Пусть теперь , тогда , но , , поэтому . Следовательно, для такого , согласно теореме 1.7 функционал коэрцетивен, поэтому существует решение задачи (2.2), а значит и задачи (2.3).

Покажем, что это решение единственное. Предположим, существует еще одно решение . Тогда, т.к. – выпуклый функционал, то

=

= ,

=

,

,

Но тогда , где . Т.к , то

,

C .

Но , поэтому . Итак, .

3 Численная реализация

3.1 Основные понятия МКЭ

Метод конечных элементов — это численная процедура решения задач, сформулированных в виде дифференциального уравнения или вариационного принципа. В этом методе аппроксимирующая функция является линейной комбинацией непрерывных кусочно-гладких финитных функций. Финитные функции отличны от нуля только в заданном интервале. В МКЭ под такими интервалами подразумеваются конечные элементы, на которые разбивается область V .

Быстрому росту популярности МКЭ и становлению его ведущим методом численного решения физических задач способствовал ряд преимуществ конечно-элементного анализа перед многими другими численными методами. Главные достоинства МКЭ:

- Исследуемые объекты могут иметь любую форму и различную физическую природу – твёрдые деформируемые тела, жидкости, газы, электромагнитные среды;

- Конечные элементы могут иметь различную форму, в частности криволинейную, и различные размеры;

- Можно исследовать однородные и неоднородные, изотропные и анизотропные объекты с линейными и нелинейными свойствами;

- Можно решать как стационарные, так и нестационарные

задачи;

- Можно решать контактные задачи;

- Можно моделировать любые граничные условия;

- Вычислительный алгоритм, представленный в матричной форме, формально единообразен для различных физических задач и для задач различной размерности, что удобно для компьютерного программирования;

- На одной и той же сетке конечных элементов можно решать различные физические задачи, что облегчает анализ связанных задач;

- Разрешающая система уравнений имеет экономичную разреженную симметричную ленточную матрицу «жёсткости», что ускоряет вычислительный процесс на ЭВМ;

-Удобно осуществляется иерархическая дискретизация исследуемой области на подобласти с образованием суперэлементов, что позволяет эффективно использовать параллельное решение задачи.

Термин метод конечных элементов, в действительности, определяет широкий спектр вычислительных технологий в соответствии с некоторыми общими свойствами. Процесс конечно-элементного анализа включает определенную последовательность шагов. Перечислим эти шаги.

Дискретизация области: построение сетки, задание свойств (материала) элементов. Область, на которой решается задача, аппроксимируется (покрывается) непересекающимися подобластями простого типа, которые называются конечными элементами (КЭ). Множество элементов, на которые разбита область, называется конечно-элементной сеткой. Вершины КЭ называются узлами. Узлы предназначены для описания геометрии элемента и для задания компонент решения (неизвестная величина задается в узлах). Узлы могут быть внешними и внутренними. Внешние узлы лежат на границе КЭ и используются для соединения элементов друг с другом. Также узлы могут располагаться между угловыми узлами. КЭ может иметь и внутренние узлы, такие элементы обеспечивают более точное описание искомых функций. Компоненты решения в узле называются степенями свободы. В зависимости от рассматриваемых задач число степеней свободы в узле различно. Например, если рассматривается задача теплопроводности, в каждой точке ищется одно значение температуры — одна степень свободы. А если рассматривается двумерная задача упругости относительно неизвестных перемещений, то число компонент будет равно двум, так как перемещение величина векторная u = (ux, uy). В качестве степеней свободы могут фигурировать как узловые значения неизвестной функции, так и ее производные по пространственным координатам в узлах. Кроме того необходимо задать свойства материала, из которого изготовлена конструкция или КЭ. Например, для изотропных тел при решении задач теории упругости необходимо знать такие константы, как модуль Юнга и коэффициент Пуассона материала, при решении задачи теплопроводности — коэффициент теплопроводности.

Выбор аппроксимирующих (базисных) функций. Чаще всего базисные функции выбираются в виде полиномов. Поэтому пространство, на котором ищется решение, является пространством кусочно-полиномиальных функций. Базисные функции могут иметь различный порядок: линейный, квадратичный, кубичный и т.д.

Формирование СЛАУ с учетом вкладов от элементов и узлов, введение граничных условий в систему уравнений. Например, если задача решается с помощью метода Галеркина (метода взвешенных невязок) формируются интегралы от произведения невязки на весовые функции, которые затем приравниваются к нулю. Если решается задача в вариационной постановке с помощью метода Ритца минимизации функционала, то СЛАУ получается после приравнивания к нулю производных функционала. Интегралы по области разбиваются на интегралы по конечным элементам, вычисляются элементные матрицы и элементные векторы, из которых формируются глобальная матрица и вектор правых частей системы.

Решение системы уравнений.

Определение расчетных величин в элементах. Этими величинами обычно являются производные от неизвестной функции (например, деформации, напряжения, тепловые потоки, скорости). Точное решение дифференциального уравнения при подстановке в это дифференциальное уравнение обращает его в тождество в каждой точке. Решение МКЭ предполагает, что приближенное решение будет удовлетворять дифференциальному уравнению в узлах сетки.

3.2 Решение

Рассмотрим задачу:

,

где , , требуется найти функцию , решающую данную систему.

Умножим начальное уравнение на , где - непрерывная, кусочно непрерывно-дифференцируемая функция и проинтегрируем полученное уравнение по всей области .

.

Воспользуемся формулой Гаусса-Остроградского

,

.

Будем искать приближенное решение данного уравнения как функцию непрерывную на области и линейную на каждом полученном элементе триангуляции. Эту функцию можно представить в следующем виде:

,

где - базисные функции.

Для решения задачи будем использовать кубические конечные элементы, который приведен на рисунке 1.

Рисунок 1 - Выбранный конечный элемент в локальной системе координат

Найдем базисные функции для таких элементов:

В общем виде .

Найдём коэффициенты функций :

Получим

Получим

Получим

Получим

Получим

Получим

Получим

Получим

В общем виде базисные функции с найденными коэффициентами выглядят:

Элементы локальной матрицы теплопроводности считаются по формуле:

.

Перейдем к локальным координатам ( ):

;

Характеристики

Список файлов ВКР