Колиденкова (1211099), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Граничное условие может быть задано различными способами:

- В каждой точке поверхности тела задается температура

(1.8)

где – известная функция точки поверхности и времени ;

- На поверхности задается тепловой поток

,

Откуда

, (1.9)

Где - известная функция, выражающаяся через заданный тепловой поток по формуле

;

- На поверхности твердого тела происходит теплообмен с окружающей средой, температура которой известна. Закон теплообмена очень сложен, но для упрощения задачи он может быть принят в виде закона Ньютона. По закону Ньютона, количество тепла, передаваемое в единицу времени с единицы площади поверхности тела в окружающую среду, пропорционально разности температур поверхности тела и окружающей среды:

,

где – коэффициент теплообмена. Коэффициент теплообмена зависит от разности температур , от характера поверхности и окружающей среды (он может изменяться вдоль поверхности тела). Будем считать коэффициент теплообмена постоянным, не зависящим от температуры и одинаковым для всей поверхности тела.

По закону сохранения энергии это количество тепла должно быть равно тому количеству энергии, которое передается через единицу площади поверхности за единицу времени вследствие внутренней теплопроводности. Это приводит к следующему граничному условию:

на

где – внешняя нормаль к поверхности , или, положив ,

. (1.10)

Таким образом, задача о распространении тепла в изотропном теле ставится так: найти уравнение теплопроводности (1.3), удовлетворяющее начальному условию

(1.11)

и одному из граничных условий (1.8), (1.9) или (1.10).

1.2 Применение теории вариационных неравенств

Теория вариационных неравенств возникла сравнительно недавно, однако за последние десятилетия она привлекла внимание очень многих исследователей. Ныне эта теория переживает период бурного и интенсивного развития.

Простейшая содержательная модельная задача, которая приводит к вариационным неравенствам, — это задача о кратчайшем пути, соединяющем две заданные точки на плоскости и обходящем некоторые препятствия. Этот кратчайший путь распадается на две части: на участки прямолинейного движения, где он подходит к препятствию или сходит с него, и участки, где приходится идти по границе препятствия.

В теории вариационных неравенств исследуются многомерные обобщения такого рода проблем минимизации. Функция, доставляющая минимум в многомерной задаче также имеет, вообще говоря, участки примыкания к границе, а вне таких участков она удовлетворяет некоторому уравнению с частными производными — уравнению Эйлера соответствующей вариационной проблемы. Таким образом, дело сводится к решению уравнения с частными производными со свободной границей, ибо граница области примыкания заранее неизвестна. Такие ситуации характерны для многих проблем физики и механики. Множество приложений задачи со свободной границей находят в инженерном деле — при расчете плотин, двигателей и разнообразных механизмов. Теория вариационных неравенств для многих проблем такого рода (как правило, тех, где так или иначе присутствует выпуклость) дает общую методику их решения. Эта теория создавалась на стыке многих актуальных областей — вариационного исчисления, выпуклого анализа, теории уравнений с частными производными, комплексного анализа и других.

1.3 Критерий минимизации выпуклого функционала

Все рассуждения будут проводиться в гильбертовом пространстве Х.

Если J есть линейный функционал, действующий в Х, то будем обозначать значение J на некотором элементе так:

Определение 1.1. Пусть J – функционал. Если существует предел то он называется вариацией функционала J на элементе u в направлении v.

Определение 1.2. Если есть непрерывный линейный функционал в Х, то называется производной по Гато: .

Определение 1.3. Если у функционала J существует производная , то будем говорить, что этот функционал дифференцируем по Гато на элементе u.

Определение 1.4 Множество называется выпуклым, если

Определение 1.5 Множество G называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки.

Пусть функционал J достигает наименьшего значения на элементе , где G – выпуклое множество, т.е.

,

тогда

Поэтому для

Если J дифференцируем, то, переходя в этом неравенстве к пределу при , получим неравенство: , которое называется вариационным неравенством.

Определение 1.6 Функционал , заданный на выпуклом множестве G, называется выпуклым в G, если для любых выполнено неравенство .

Теорема 1.1 (Критерий выпуклости дифференцируемого функционала)

Пусть функционал дифференцируем на выпуклом множестве G.

(J – выпуклый в G)

Доказательство. Необходимость.

Имеем:

_{Поэтому} для

т.е.

Достаточность.

Согласно условию

Так как G выпукло, то отрезок . Положим в этом неравенстве

Тогда

Полагая из того же неравенства получим:

Умножая (1.12) на t, а (1.13) на и сложив, получим неравенство

Теорема доказана.

Теорема 1.2 (Критерий минимизации выпуклого функционала) Пусть выпуклый дифференцируемый функционал на выпуклом множестве G.

₍J достигает inf в )

Доказательство. Необходимость очевидна.

Достаточность. Т.к. J выпуклый и дифференцируемый, то в точке

Но , поэтому , т.е. J достигает inf в .

Теорема доказана.

Теорема 1.3 Пусть функционал выпуклый и дифференцируемый в выпуклом множестве G. Тогда функция

,

неубывающая.

Доказательство. Полагаем

Функция дифференцируема в (0,1) и для нее производная равна

Из выпуклости функционала J следует неравенство:

,

поэтому

,

то есть

Следовательно, ,

Теорема доказана.

В теореме 1.2 предполагается существование элемента u, на котором функционал J достигает наименьшего значения. В следующем параграфе рассмотрим вопрос о существовании такого элемента на замкнутом выпуклом множестве, даже, может быть, неограниченном.

1.4 Существование решения задачи минимизации функционала

Пусть Х гильбертово пространство, G – неограниченное множество в Х.

Определение 1.7 Функционал называется коэрцитивным на G, если , при .

Определение 1.8 Множество называется слабо замкнутым, если оно содержит все предельные точки слабо сходящихся последовательностей из этого множества.

Определение 1.9 Последовательность из гильбертово пространства Х называется слабо сходящийся к , если . В этом случае называется слабым пределом последовательности .

Определение 1.10 Функционал J называется слабо полунепрерывным снизу в , если для любой слабо сходящейся к последовательности выполнено неравенство .

Теорема 1.4 Пусть G – ограниченное слабо замкнутое множество из Х. Если функционал J слабо полунепрерывен снизу на G, то существует элемент такой, что .

Доказательство. Обозначим , тогда существует такая последовательность , что . Из извлекаем слабо сходящуюся подпоследовательность, за которой сохраним обозначение .

Т.к. G слабо замкнуто, то предел этой подпоследовательности принадлежит G, поэтому . Таким образом, .

Теорема доказана.

Теорема 1.5 Пусть G – слабо замкнутое множество из Х, на котором определен слабо полунепрерывный снизу функционал J. Если J коэрцитивен на G, то существует такое, что .

Доказательство. Обозначим . Если G ограничено, то по теореме 1.4 существование элемента , где , обеспечено. Пусть G неограниченно.

Так как функционал J коэрцитивен, то , такое, что выполнено неравенство .

Фиксируем элемент из G и возьмем . Тогда для этого выполнено . Но тогда . Это означает, что

а так как есть ограниченное слабо замкнутое множество, то по теореме 1.5 существует элемент , где

.

Теорема доказана.

Сформулируем без доказательств следующие теоремы.

Теорема 1.6 Всякое ограниченное замкнутое выпуклое множество G из гильбертова пространства Х слабо компактно.

Теорема 1.7 Пусть K – выпуклый замкнутый конус в гильбертовом пространстве. Функционал такой, что:

1. Функция выпукла в ;

2. Функционал слабо полунепрерывен снизу на , .

(J коэрцитивен в K) .

Здесь

2 Математическая модель распределения температуры в теле

2.1 Постановка задачи и построение математической модели

Пусть тело Ω изотропно и однородно, тогда стационарное уравнение распределения температуры (тепла) внутри этого тела описывается уравнением:

где а – плотность источника тепла в Ω. Происходит нагрев тела Ω от внутреннего источника тепла до максимальной температуры, не превышающей температуры на границе . Требуется определить распространение температуры тела.

Математическая модель данной задачи в ее гладком варианте принимает следующий вид:

(2.1)

Определим условия на Ω, Γ и на функции, входящие в математическую модель. Пусть Ω – ограниченная область с липшицевой границей Γ, функция , . Рассмотрим задачу:

Характеристики

Список файлов ВКР