Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

СОДЕРЖАНИЕ

Введение 6

1 Уравнения распространения тепла. Элементы теории вариационных неравенств 9

1.1 Уравнения распространения тепла в изотропном твердом теле. 9

1.2 Применение теории вариационных неравенств 15

1.3 Критерий минимизации выпуклого функционала 16

1.4 Существование решения задачи минимизации функционала 20

2 Математическая модель распределения температуры в теле 23

2.1 Постановка задачи и построение математической модели 23

2.2 Эквивалентность задач (2.1) и (2.3) 24

2.3 Существование и единственность решения вариационного неравенства. 26

3 Численная реализация 29

3.1 Основные понятия МКЭ 29

3.2 Решение 32

Заключение 41

Список использованных источников 42

Приложение А 43

Листинг программы 43

Введение

Объектом исследования является однородное изотропное тело с заданной на его границе температурой, внутренними источниками тепла и терморегулятором. Изотропным называется тело, одинаковое по своей структуре, свойствам и т.д. во всех направления внутри тела из выбранного центра.

Предметом исследование является математическая модель распространения тепла.

Теплопередача как наука – это учение о распространении тепла, т.е. об обмене внутренней энергией между отдельными частями сплошной среды. Тема данной работы актуальна благодаря тому, что теплопередача имеет обширные приложения во всех сферах деятельности человека. Перечислим некоторые из них.

Энергетика (тепловые и атомные электростанции), теплотехника (теплообменные аппараты химической промышленности), металлургия и сварка, машиностроение (системы охлаждения двигателей), военное дело (взрывы, горение); строительство (теплоснабжение и вентиляция); аэрокосмическая область (тепловая защита, двигатели). Методы теплопередачи применяются и при исследовании природных явлений (климат, ледники и льды, реки, озера, океаны, вулканы, пожары).

Целью выпускной квалификационной работы является исследование и разработка модели распределения температуры в однородном теле.

Данная цель может быть достигнута с помощью следующих задач:

- Разработать математическую модель задачи

- Сформулировать вариационную постановку задачи

- Доказать эквивалентность вариационной и исходной задач

- Доказать существование и единственность решения задачи с помощью теории вариационных неравенств.

- Решить исследуемую задачу с помощью метода конечных элементов

- Построить соответствующий вычислительный алгоритм.

- С помощью разработанного комплекса прикладных программ на объектно-ориентированном языке C++, осуществить численную реализацию этого алгоритма.

Вариационный метод — мощный теоретический инструмент исследования явлений и процессов в технических устройствах, природе, живых организмах и сообществах. Сила метода в том, что наиболее общие его утверждения и теоремы сами являются законами природы.

Суть вариационного подхода к определению истинного состояния системы заключается, как известно, в сравнении нескольких близких состояний и использовании таких критериев отбора, которые позволяют удовлетворить всем уравнениям и условиям задачи. В исторически первой вариационной теории, построенной Лагранжем для определения механических систем с голономными удерживающими связями, — принципе возможных перемещений, — в качестве критерия отбора использовано равенство нулю работы сил, действующих на систему и предполагаемых неизменными при бесконечно малых возмущениях истинного состояния. Было установлено, что для потенциальных систем равенство нулю возможной работы представляет собой условие стационарности некоторой функции — полной энергии системы.

Переход от удерживающих связей к неудерживающим (односторонним — типа натянутой нити) был выполнен впервые Фурье; анализ показал, что возможная работа на возмущениях устойчивого состояния равновесия системы с односторонними связями должна быть положительной или, во всяком случае, неотрицательной. Следовательно, применение вариационной теории в таких ситуациях приводит к необходимости решать уже не уравнения, а неравенства, т. е. в общем случае задача оказывается нелинейной.

Динамика систем с односторонними связями была впервые разработана М. В. Остроградским и завершена в трудах Майера и Цермело. Здесь, по существу, был построен алгоритм интегрирования уравнений движения, при котором в каждый момент времени связи, не оказывающие влияния на систему, отбрасываются, и задача сводится к классической — для систем с удерживающими связями.

В дальнейшем теория была обобщена на системы с бесконечным числом степеней свободы — задачи механики сплошной среды. Впервые такого рода задачу рассмотрел М. В. Остроградский; применительно к механике деформируемого твердого тела основополагающей оказалась работа Синьорини — о равновесии линейно упругого тела в гладкой жесткой оболочке. В итоге, благодаря этим и другим математикам, возникла содержательная и глубокая теория, имеющая разнообразные приложения к естественным наукам и к технике.

Сущность многих из вариационных методов состоит в формулировке рассматриваемой задачи математической физики в вариационной форме как задачи об отыскании функции, реализующей минимум (или, в общем случае, экстремум) некоторого функционала, и в последующем нахождении приближений к этой функции. Методы вариационного исчисления дают возможность доказывать существование соответствующего решения, а так же фактически находить его с любой степенью точности.

Работа состоит из трех глав. В первой главе рассмотрен вспомогательный материал теории вариационных неравенств, известный в математической литературе. Глава 2 содержит три пункта, в них уделено внимание описанию и построению модели распространения тепла в однородном теле с внутренними источниками тепла и терморегулятором, исследованию модели на предмет существования и единственности решения. Третья глава посвящена численной реализации модели.

1 Уравнения распространения тепла. Элементы теории вариационных неравенств

1.1 Уравнения распространения тепла в изотропном твердом теле

Рассмотрим твердое тело, температура которого в точке в момент времени определяется функцией . Если различные части тела находятся при различной температуре, то движение тепла в теле будет происходить от более нагретых частей к менее нагретым. Возьмем какую-нибудь поверхность внутри тела и на ней малый элемент . В теории теплопроводности принимается, что количество тепла , проходящее через элемент за время , пропорционально и нормальной производной , т. е.

, (1.1)

где – коэффициент внутренней теплопроводности, а – нормаль к элементу поверхности в направлении движения тепла. Будем считать, что тело изотропно в отношении теплопроводности, т.е. что коэффициент внутренней теплопроводности зависит только от точки тела и не зависит от направления нормали поверхности в этой точке.

Обозначим через тепловой поток, т.е. количество тепла, проходящего через единицу площади поверхности за единицу времени. Тогда (1.1) можно переписать в виде

(1.2)

Для вывода уравнения распространения тепла выделим внутри тела произвольный объем , ограниченный гладкой замкнутой поверхностью , и рассмотрим изменение количества тепла в этом объеме за промежуток времени . Видно, что через поверхность за промежуток времени , согласно формуле (1.1), выходит количество тепла, равное

,

где – внутренняя нормаль к поверхности .

Рассмотрим элемент объема . На изменение температуры этого объема на за промежуток времени нужно затратить количество тепла

где – плотность и теплоемкость вещества. Таким образом,

количество тепла, необходимое для изменения температуры объема на , равно

или

,

так как

.

Предположим, что внутри рассматриваемого тела имеются источники тепла. Обозначим через плотность (количество поглощаемого или выделяемого тепла в единицу времени в единице объема тела) тепловых источников. Тогда количество тепла, выделяемого или поглощаемого в объеме за промежуток времени , будет равно

.

Составим теперь уравнение баланса тепла для выделенного объема . Очевидно, что , т.е.

=

,

или, применив формулу Остроградского ко второму интегралу, получим

Так как подынтегральная функция непрерывна, а объем и промежуток времени произвольны, то для любой точки рассматриваемого тела и для любого момента времени должно быть

(1.3)

или

. (1.3’)

Это уравнение называется уравнением теплопроводности неоднородного изотропного тела.

Если тело однородно, то , и – постоянные и уравнение (1.3’) можно переписать в виде

. (1.4)

где

, .

Если в рассматриваемом однородном теле нет источников тепла, т.е. , то получим однородное уравнение теплопроводности

(1.5)

В частном случае, когда температура зависит только от координат и , что, например, имеет место при распространении тепла в очень тонкой однородной пластинке, уравнение (1.5) переходит в следующее:

. (1.6)

Наконец, для тела линейного размера, например для тонкого однородного стержня, уравнение теплопроводности примет вид:

. (1.7)

Можно отметить, что при форме уравнений (1.6), (1.7) не учитывается тепловой обмен между поверхностью пластинки или стержня с окружающим пространством.

Чтобы найти температуру внутри тела в любой момент времени, недостаточно одного уравнения (1.3). Необходимо, как это следует из физических соображений, знать еще распределение температуры внутри тела в начальный момент тела (начальное условие) и тепловой режим на границе тела (граничное условие).

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов ВКР