Добавления к лекциям 4 семестр - Балашов (1187981), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Ïóñòü â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå çàäàíû ëèíåéíî íåçàâèñèìûå âåêòîðû e, e1 , . . . ,ek . Ïóñòü% = inf{ke − xk | x ∈ [e1 , . . . , ek ]}.Òîãäà%2 =¯¯ (e, e)¯¯ (e1 , e)¯¯..¯.¯¯ (e , e)k(e, e1 )(e1 , e1 )............(ek , e1 ) . . .¯ ¯¯ ¯ (e1 , e1 )¯ ,¯¯ ¯ (e1 , e1 )¯ ¯¯ ¯..¯ ¯.¯ ¯(ek , ek ) ¯ ¯ (ek , e1 )(e, ek )(e1 , ek )...19............¯¯¯¯¯¯.¯¯(ek , ek ) ¯(e1 , ek )(e1 , ek )...Äîêàçàòåëüñòâî. Èç ýëåìåíòàðíûõ ñâîéñòâ ìåðû Æîðäàíà ñëåäóåò,÷òî µk+1 P (e, e1 , . . . , ek ) = % · µk P (e1 , .
. . , ek ). Ñ ó÷åòîì ëåììû 1 ïîëó÷àåì òðåáóåìîå ðàâåíñòâî.Ëåììà 3. Ïóñòü11. . . a1 +b1k +1a1 +b1 +1a1 +b2 +1111 a2 +b1 +1 a2 +b2 +1 . . . a2 +bk +1 .A=............111...ak +b1 +1ak +b2 +1ak +bk +1ÒîãäàQdet A =(aj − ai )(bj − bi )1≤i<j≤kQ.(ai + bj + 1)1≤i,j≤kÄîêàçàòåëüñòâî. Âû÷òåì k-þ ñòðîêó ìàòðèöû A èç 1-é, . . . , (k − 1)-éñòðîê.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ìàòðèöóA1 =ak −a1(a1 +b1 +1)(ak +b1 +1)...ak −ak−1(ak−1 +b1 +1)(ak +b1 +1)1ak +b1 +1ak −a1(a1 +b2 +1)(ak +b2 +1).........ak −ak−1(ak−1 +b2 +1)(ak +b2 +1) .
. .1...ak +b2 +1ak −a1(a1 +bk +1)(ak +bk +1)ak −ak−1(ak−1 +bk +1)(ak +bk +1)...1ak +bk +1òàêóþ, ÷òî det A1 = det A. Ëåãêî âèäåòü, ÷òîQ(ak − ai )1≤i≤k−1det A1 = Qdet A2 ,(ak + bj + 1)1≤j≤kãäå1(a1 +b1 +1)...A2 = 1 (ak−1 +b1 +1)11(a1 +b2 +1).........1...(ak−1 +b2 +1)1...1(a1 +bk +1).1(ak−1 +bk +1) 1...Âû÷òåì ó ìàòðèöû A2 k -é ñòîëáåö èç 1-ãî, 2-ãî, . . . , (k−1)-ãî ñòîëáöîâ.20Ïîëó÷èì ìàòðèöóbk −b1(a1 +b1 +1)(a1 +bk +1)...A3 = bk −b1 (ak−1 +b1 +1)(ak−1 +bk +1)0bk −b2(a1 +b2 +1)(a1 +bk +1).........bk −b2(ak−1 +b2 +1)(ak−1 +bk +1) . .
.0...1a1 +bk +11ak−1 +bk +1 1...ñ det A3 = det A2 . Ñ ó÷åòîì îïðåäåëåíèÿ âñåõ ìàòðèö Ai , 1 ≤ i ≤ 3,ïîëó÷àåìQdet A =(ak −ai )(bk −bi )1≤i≤k−1(ak +bj +1)(aj +bk +1) ×Q1≤j≤k×det 1a1 +b1 +11a2 +b1 +11a1 +b2 +11a2 +b2 +11ak−1 +b1 +11ak−1 +b2 +1..................1a1 +bk−1 +11a2 +bk−1 +1....1ak−1 +bk−1 +1Ïîâòîðÿÿ èçëîæåííîå âûøå ðàññóæäåíèå åùå (k − 1) ðàç, ïîëó÷àåìóòâåðæäåíèå ëåììû.Ëåììà 4.
Ïóñòü äàíà âîçðàñòàþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë {pk }∞k=1 . Ïóñòü íàòóðàëüíîå ÷èñëî n 6= pk äëÿ âñåõíàòóðàëüíûõ k . Òîãäà äâà óñëîâèÿ ýêâèâàëåíòíû:1) %(xn , [xp1 , . . . , xpk ]) → 0 ïðè k → ∞ â ñìûñëå ìåòðèêè RL2 [0, 1];P 12)pk = +∞.k≥1Äîêàçàòåëüñòâî. Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè n < p1 . Èç ëåìì 2 è 3è èç îïðåäåëåíèÿ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ â ïðîñòðàíñòâå RL2 [0, 1]R11÷åðåç èíòåãðàë âèäà (xm , xn ) = xm+n dx = m+n+1ïîëó÷àåì, ÷òî0kQ2np1pk% (x , [x , .
. . , x ]) =j=1kQj=121(pj − n)2(n + pj + 1)2,ò.å.kQ%(xn , [xp1 , . . . , xpk ]) =j=1kQj=1(pj − n)=(n + pj + 1)k µY1−j=12n + 1pj + n + 1¶.Êàê õîðîøî èçâåñòíî, ñòðåìëåíèå ê íóëþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòèk µYj=11−2n + 1pj + n + 1¶ïðè k → ∞ ðàâíîñèëüíî âûïîëíåíèþ ïðåäåëüíîãî ñîîòíîøåíèÿkXj=1µln 1 −2n + 1pj + n + 1¶→ −∞,k→∞(ïî÷åìó?).
Ïîñëåäíåå â ñèëó ïðèçíàêà ñðàâíåíèÿ ðàâíîñèëüíî òîìó,÷òîkX2n + 1→ −∞,−p +n+1j=1 jèëè æåPk≥11pk= +∞, ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.Òåîðåìà 4 (Ìþíö). Ïóñòü {pk }∞k=1 âîçðàñòàþùàÿ ïîñëåäîâà-òåëüíîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. Ñèñòåìà ñòåïåííûõ ôóíêöèé {xpk }∞k=1P 1=+∞.ïîëíà â RL2 [0, 1] òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàpkk≥1Äîêàçàòåëüñòâî. Èç òåîðåìû 2 [2, Ò. 2, ãë. 14, 7.3] ëåãêî ñëåäóåò,÷òî ñèñòåìà {xk }∞k=1 ïîëíà â RL2 [0, 1]. Óòâåðæäåíèå òåîðåìû ñëåäóåòèç ëåììû 4, ñîãëàñíî êîòîðîé ëþáóþ ñòåïåíü xn ìîæíî ïðèáëèçèòü ñëþáîé òî÷íîñòüþ â ìåòðèêå RL2 [0, 1] ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé ýëåìåíòîâ ñèñòåìû ñòåïåííûõ ôóíêöèé {xpk } â òîì è òîëüêî â òîì ñëó÷àå,P 1êîãäàpk = +∞.k≥1Òåîðåìà 5 (Ìþíö).
Ïóñòü {pk }∞k=1 âîçðàñòàþùàÿ ïîñëåäîâà-òåëüíîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, p0 = 0. Ñèñòåìà ñòåïåííûõ ôóíêöèéP 1{xpk }∞k=0 ïîëíà â C[0, 1] òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàpk = +∞.k≥1Îòìåòèì, ÷òî íàëè÷èå ñòåïåíè p0 = 0 îçíà÷àåò, ÷òî â ñèñòåìå ñòåï0åíåé {xpk }∞k=0 åñòü êîíñòàíòà (èáî x = 1).22Äîêàçàòåëüñòâî. Çàôèêñèðóåì f ∈ C[0, 1]. Ïóñòü P (x) ìíîãî÷ëåí, ïðèáëèæàþùèé f ñ òî÷íîñòüþ ε > 0 â C[0, 1].Òîãäà ïî òåîðåìå 5 ñóùåñòâóåò ìíîãî÷ëåíQ0 (x) =kXal xpl −1l=1òàêîé, ÷òîkP 0 − Q0 kRL2 < ε òàê êàêXk≥2Ïóñòü Q(x) = P (0) +Rx01= +∞ .pk − 1Q0 (t) dt.
Òîãäà¯x¯¯R 0¯Rx¯|P (x) − Q(x)| = ¯ P (t) dt − Q0 (t) dt¯¯ ≤00ssRxRxRx 0≤ |P (t) − Q0 (t)| dt ≤|P 0 (t) − Q0 (t)|2 dtdt ≤000≤ kP 0 − Q0 kRL2 < ε, ∀x ∈ [0, 1].Íî ìíîãî÷ëåí Q(x) èìååò âèäQ(x) = P (0)x0 +kXall=1plxplè kf − QkC ≤ kf − P kC + kP − QkC < 2ε.ßñíî, ÷òî óñëîâèå íàëè÷èÿ êîíñòàíòû â ñèñòåìå ñòåïåíåé (èíà÷å,P 1íàëè÷èå p0 = 0) íåîáõîäèìî. Åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òîpk < +∞, òîk≥1èç ëåììû 6 ïîëó÷àåì, ÷òî ñóùåñòâóåò íàòóðàëüíîå n òàêîå, ÷òî%(xn , [xp1 , .
. . , xpk ]) 6→ 0, k → ∞,â RL2 . Âûäåëÿÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü èç ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {pk }∞k=1(êîòîðóþ ñíîâà îáîçíà÷èì ÷åðåç {pk }∞k=1 ), ìîæíî áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ñ÷èòàòü, ÷òî íàéäåòñÿ ε0 > 0, äëÿ êîòîðîãî%(xn , [xp1 , . . . , xpk ]) ≥ ε0 , ∀ k.Ïóñòü Pk (x) ∈ [xp1 , . . . , xpk ] òîò ìíîãî÷ëåí, äëÿ êîòîðîãî âûïîëíåíîðàâåíñòâî%(xn , [xp1 , . . . , xpk ]) = kxn − Pk (x)kRL223(ïî÷åìó òàêîé ìíîãî÷ëåí Pk (x) ñóùåñòâóåò?).Ïîñêîëüêó äëÿ ëþáîãî ìíîãî÷ëåíà P (x) ∈ [xp1 , .
. . , xpk ]ε20 ≤ kxn − Pk (x)k2RL2 ≤ kxn − P (x)k2RL2 ≤ kxn − P (x)k2C ,òî ïðè óñëîâèèPk≥11pk< +∞ ñèñòåìà {1, xpk }∞k=1 íå îáëàäàåò ñâîéñòâîìïîëíîòû â C[0, 1].7. Ðàâåíñòâî Ïàðñåâàëÿ â S è òåîðåìàÊîòåëüíèêîâà äàííîì ðàçäåëå ìû ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ñâîéñòâà ïðåîáðàçîâàíèÿÔóðüå ôóíêöèè f : R → C:1F [f ](y) ≡ fˆ(y) = √ (v.p.)2π+∞Zf (x)e−iyx dx,−∞à òàêæå îáðàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå:F−11[f ](y) = √ (v.p.)2π+∞Zf (x)eiyx dx.−∞Èíòåãðàëû ïîíèìàþòñÿ â ñìûñëå ãëàâíîãî çíà÷åíèÿ ((v.p.)), äëÿ ôóíêöèè f ∈ RL1 (R) èíòåãðàëû ïîíèìàþòñÿ â íåñîáñòâåííîì ñìûñëå.Îáîçíà÷èì, êàê îáû÷íî, ÷åðåç S ïðîñòðàíñòâî Øâàðöà, ò.å.
ïðîñòðàíñòâî áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé f : R → C, îáëàäàþùèõ ñâîéñòâîìlim xm f (k) (x) = 0|x|→+∞äëÿ ëþáûõ m, k ∈ {0, 1, 2, 3, . . . }.Ëåììà 5. Ïóñòü f, g ∈ S ; x ∈ R. Òîãäà+∞+∞ZZixξˆg(ξ)f (ξ)e dξ =f (x + y)ĝ(y) dy.−∞−∞24(20)Äîêàçàòåëüñòâî. Èíòåãðàëû èìåþò ñìûñë, ò.ê. f, g ∈ S , à çíà÷èò,fˆ, ĝ ∈ S (ïî÷åìó?). Èìååì+∞Zg(ξ)fˆ(ξ)eixξ dξ =−∞+∞+∞ZZ1=g(ξ) √f (y)e−iξy dy eixξ dξ.2π−∞−∞ ñèëó [2, 4.5, ñ. 106], èíòåãðàëû ìîæíî ïîìåíÿòü ìåñòàìè, ïîýòîìó+∞Zg(ξ)fˆ(ξ)eixξ dξ =−∞1=√2π +∞+∞ ZZg(ξ)e−iξ(y−x) dξ f (y) dy =−∞−∞+∞+∞ZZ=ĝ(y − x)f (y) dy =ĝ(y)f (x + y) dy.−∞−∞Åñëè â ôîðìóëå (20) ïîëîæèòü x = 0, òî+∞+∞ZZg(ξ)fˆ(ξ) dξ =ĝ(y)f (y) dy.−∞−∞Åñëè â ïîñëåäíåé ôîðìóëå çàìåíèòü g ∈ S íà ĝ ∈ S , òî (ñ ó÷åòîìðàâåíñòâà ĝˆ = g )+∞+∞ZZˆf (ξ)ĝ(ξ) dξ =f (y)g(y) dy,−∞à çíà÷èò, è−∞+∞+∞ZZˆf (y)g(y) dy.f (ξ)ĝ(ξ) dξ =−∞(21)−∞ ôîðìóëå (21) w îçíà÷àåò êîìïëåêñíîå ñîïðÿæåíèå ÷èñëà w ∈ C.25Âçÿâ â ôîðìóëå (21) g = f ∈ S , ïîëó÷àåì, ÷òî+∞+∞ZZ¯¯¯ ˆ ¯22|f (y)| dy.¯f (ξ)¯ dξ =−∞(22)−∞Ôîðìóëà (22) íàçûâàåòñÿ ðàâåíñòâîì Ïàðñåâàëÿ.
Ðàâåíñòâî Ïàðñåâàëÿ(22) îçíà÷àåò, ÷òî ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ýëåìåíòîâ f, g ∈ S , çàäàâàåìîå ïî ôîðìóëå+∞Z(f, g) =f (ξ)g(ξ) dξ,−∞çàäàåò èçîìåòðèþ ìåæäó S è F [S].Óïðàæíåíèå 5. Ïóñòü f, g ∈ S . Òîãäà ñâåðòêîé ôóíêöèé f è gíàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ+∞Z(f ∗ g)(x) =f (x − y)g(y) dy.−∞Äîêàæèòå, ÷òîf[∗g =√2π fˆ · ĝ,1\(f· g) = √ fˆ ∗ ĝ.2πÐàññìîòðèì òåïåðü ôóíêöèþ f ∈ S ñî ñïåöèàëüíûì ñâîéñòâîì:íîñèòåëü åå ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå suppfˆ ñîäåðæèòñÿ â îòðåçêå [−Ω, Ω],ãäå Ω > 0. Òàêèì îáðàçîì, fˆ(x) = 0 ïðè |x| ≥ Ω.
Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òîó òàêîé ôóíêöèè f ôèíèòíûé ñïåêòð.Ôóíêöèè ñ ôèíèòíûì ñïåêòðîì âàæíûé ñ ôèçè÷åñêîé òî÷êèçðåíèÿ îáúåêò. Äåéñòâèòåëüíî, âî ìíîãèõ ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷àõ íàñèíòåðåñóåò îãðàíè÷åííûé íàáîð ñïåêòðàëüíûõ õàðàêòåðèñòèê. Íàïðèìåð, ÷åëîâåê ñëûøèò çâóê â ïðèìåðíîì äèàïàçîíå àêóñòè÷åñêèõ êîëåáàíèé îò 20 Ãö äî 20 êÃö; âèäèò â äèàïàçîíå ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëíïðèìåðíî îò 390 ÒÃö äî 790 ÒÃö è ò.ä.Ïîýòîìó äëÿ ïðèëîæåíèé áûâàåò âàæíî îïèñàòü ñèãíàë ÷åðåç åãî(ôèíèòíûé) ñïåêòðàëüíûé ¾ïîðòðåò¿.Òåîðåìà 6 (Êîòåëüíèêîâ). Ïóñòü ôóíêöèÿ f ∈ S èìååò ôèíèòíûé ñïåêòð: suppfˆ ⊂ [−Ω, Ω]. Òîãäà¡ ¡¢¢k=+∞X ³ π ´ sin Ω t − π kΩ¢ .¡(23)kf (t) =fπΩkΩ t− Ωk=−∞26Ôîðìóëà (23) ïîêàçûâàåò, ÷òî äëÿ âîññòàíîâëåíèÿ ôóíêöèè ñ ôèíèòíûì ñïåêòðîì äîñòàòî÷íî çíàòü ëèøü äèñêðåòíûé íàáîð çíà÷åíèék=+∞π{f (kT )}k=−∞, ãäå T = Ω.
Ôîðìóëó (23) ÷àñòî íàçûâàþò ôîðìóëîéÊîòåëüíèêîâà.Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàçëîæèì ôóíêöèþ fˆ(ω) íà îòðåçêå [−Ω, Ω] âðÿä Ôóðüå ïî ñèñòåìå ýêñïîíåíò{eiÈìååìfˆ(ω) =πωΩ k+∞}k=−∞.+∞Xπωck (fˆ)ei Ω kk=−∞(ïî÷åìó â ïðåäûäóùåé ôîðìóëå ðàâåíñòâî?), ãäå ñ ó÷åòîì ôîðìóëûäëÿ îáðàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå1ck (fˆ) =2Ω√ZΩπωfˆ(ω)e−i Ω k dω =2π ³ π ´f − k .2ΩΩ−ΩÏîäñòàâëÿÿ êîýôôèöèåíòû ck (fˆ) â ðÿä Ôóðüå äëÿ fˆ, ïîëó÷àåì (îïÿòüñ ó÷åòîì ôîðìóëû äëÿ îáðàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå è ôèíèòíîñòèñïåêòðà f )+∞Z1√f (t) =fˆ(ω)eiωt dω =2π−∞!ZΩ Ã √+∞12π X ³ π ´ iωt−i πω kΩfk e=√dω =2ΩΩ2π−Ω1=2Ω+∞Xk=−∞k=−∞³ π ´ ZΩπωfkeiωt−i Ω k dωΩ−Ω(ïî÷åìó çàêîííî ïåðåñòàâèòü ñóììó è èíòåãðàë?).Ñ ó÷åòîì ðàâåíñòâàZΩeiωt−iπωΩ kdω =−Ω³π ´2kπ sin t −t − ΩkΩìû ïðèõîäèì ê ôîðìóëå (23).27Óïðàæíåíèå 6.
Óñëîâèå f ∈ S ÿâëÿåòñÿ èçáûòî÷íûì â òåîðåìå6. Ïîïûòàéòåñü çàìåíèòü åãî íà áîëåå ñëàáîå óñëîâèå è äîêàæèòå ñîîòâåòñòâåííî áîëåå ñèëüíûé âàðèàíò òåîðåìû 6.Ñïèñîê ëèòåðàòóðû1. Èâàíîâ Ã. Å. Êóðñ ëåêöèé ïî ìàòåìàòè÷åñêîìó àíàëèçó. ×. 2. Ì.:ÌÔÒÈ, 2011. 187 ñ.2.
ßêîâëåâ Ã. Í. Ëåêöèè ïî ìàòåìàòè÷åñêîìó àíàëèçó. ×. 2. Ì.: Ôèçìàòëèò, 2004. 332 ñ.28.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
