2. Model Checking. Вериф. парал. и распределенных программных систем. Карпов (2010) (1185529), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Ъаев 4 К М М-(В Всм7В, соатветствующий автомат Бюхи Вм (Яв, е, Яев, Б, Р). кппэрый допущмпт любые траеатории структуры Кринке М, определим следукнпим образом: Яя Ям — соотояния М не изменяются; Яев = лен — множество начальных состояний. М не измещютсв; ослед- яй все Е = 2"~ — алфавит автомата Вм составляют все подмнолмства атомарных преднкатов М; Г Юм — все состояния автомата В, валяются допускающими; если (э, э ) и Р, мо (э, Цэ), э 5 а Ь вЂ” все перехода, ведущие из щютоянняэ, помечмотся множеством Ь(э) атомарных преднкатов, истинных а этом состоянии.
На рис. 4.17 по структуре Кринке М построен автомат Бюхн, допускающий ° се те траектории, которые звдмотсв этой сэрукэурой Кринке. 0 мвидно, что ° се траектории структуры Кринке, и ъщько они соопщляют и-язык пестро. снного так автомата Бюхи. щупы, слова- ника- ~анщо: (м вы- ' Вм а~ест- Рие. *Зт. АВтОМВт БаХИ Вм, ИСЕЭРСЕВНЫй ПО Ствзвтзтю КРИНЩ М 4.8. Проверка м©дел88 для формул ) 'П Все шаги алгоритма проверки моделя дяя формул 1.Т(. (см. рнс, 4.6) теперь ясны: по заданной структуре Кринке М строится автомат Бюхн Вм, допускающий все траектория, которые возмакны в М; по БТ1 формуле ф стронтся "контрольный" автомат Бюхн В, допускающнй все а-слова, на кото.
рых выполняется р; затем стршпса синхронная композиция автоматов Вм Э В, н этот автомат проверяеюя на наличие у него цнкла, достижимого из начального состояния и включающего допускающее состояние. Еслн такой цнкл существует, он выаются как контрпрнмер — вычисление. не удовлетвормошсе формуле р. Отметим, что построение синхронной композмцнн автоматов здесь упрощается по сравнению с ойцим случаем: у автомата Бюхн, построенного по структуре Крнпке, все состоанна допускякнцне. Таким образом, в этом частноы случае в синхронной компознцнн автомаюв Бюхн Вм ЭВ те состояння булуг допускающими, у которых допускмощнм являегся второй компо- ПрмыврбЛВ Проверим, выпоющеюа лн свойспю р = СУ(г пь 4) нв структуре Крнпке М (см, рнс. 4.17, а).
Очевндно, р (СР(г=ьб))=РС( (Раьр))-"РС(гл у). Аюомат Бюхн Вм, построенный по структуре Кринке М, представлен на рнс. 4.17, б. На рнс. 4.18, а этот автомат Бюхн юи удобства представлен повторно, а на рнс. 4.18, б представлен автомат Бюхн В„, допускмощнй все вычнслення, удовмтворяющие формуле р РС(г л —.4) . Синхронная компознцна эпш двух автоматов представлена на рнс. 4.18, е. Найленный контр- пример выделен на рнс. 4.18, е. Он показывает одно нз вычислений, на которых исходная формула р= СР(гор) не выполняется лля исходной структуры Кринке. Это вычисление зсзгзз глез .... Действительно, нв этом вычнсленин не будет бесконечно часто повгораться формула газ 4 (нменно это требоввнне опредснемо исходной формулой р ). 4.9. ! ° О4 Сущесз юкгвсм щ.анна 1щгсма.
мня он ° сгрмуг щеках юграже ° нсрацг аулы м сеу еперь юнус. стро- 1БР тчИч4 Кото. матов имого РОШЛ- го по часг- рнс 4.16. В струюуре кринке наивен коитриример: вмчнслеюм янчззть." ' ив ютсром формула ЕФф ю д) ие яьюолммтся ютоя- эмпо- 4.9. Построение автомата Бюхи по формуле 1.Т~.
В этом разделе мы рассмотрим один оставшнйса нераскрытым этап теорети- ко-автоматного подхода к проверке выполнения формулы ИЧ. на структуре Кринке; построение автомата Бюхи по формуле ПЧ.. Существует несколько алгоритмов выполнения этого этапа, и все они весьма сложные. В общем случае все они дают в результате автомат Бюхи с.эвеызнеициальным числом состояний относительно длины формулы р. Здесь заз рассмотрим один нз алгоритмов, который является концептуально простым, хотя он часто в результате дмт не ыинимальиый автомат Бюхн. Формулм ПЪ построены над множеством атомарных лредикатов АР, логических сынок и темпоральных операторов. Любая формула ЬП, молит быть выражена с помощью базиса Ь'П., т.
е. через атомарные предикаты, булевы операции и О, а также темпоральные операторы Х и 6. Все такие формулы задаются грамматикой: йпжр~ р!р р!Херир. еи на ком- ~евно Глемг4 Поставим следунящую задачу. По заданной 1П формуле, построенной над мнозмством АР атомарных преднкатов, построить вщпмат Бюхн с входным алфавитом 2"г, который попускает в точностн жм и -слова, удовлетворяющие формуле 9, н тояько их. Приыир 4А4 Рассмотрим формулу 9 (рчр)П(рлр). Этв формула ГП. щмтроена нвд алфавитом АР =(р, 9) и определяет все те вмчислення, на которых когда.то в будущем встрепгюя и р, и 9, а до этого в состояниях вычисления будут истинны или р, или 9.
Формула ф определена над последовательностями, построенными из символов алфавита 2", т. е. алфавит искомого автомата Бюхи есть Е (И,(р), (9), (р, 9)) . Формулы 1.т1. интерпрстирунпся на вычислениях — бесконечных цепочках состояний структуры Крипке (например, на цепочке а = эсг,зз ... рис. 4.19, а), в ющщом состоянии которых опрцаелены множества истинных в этом состоянии атомарных предикатов из множесща АР, Послеловвтельность подмножеств атомарных предикатов, соответствующая вмчислению а, определяется функцией пометок Е.
Вмчислению а нв рис. 4.19, а соответствует цмнзчка множеств атомарных преднкатов: Е(а) (РЦ9ЦР,9)(9Ц Цр).... б рве.ц19.Вычвсяенле, »а котором ыжжнщма фарнука 9=(рчб)П(р 9) Разметка состояний вычисления формулами (.Т(. Описмааемый в этом разделе метод построения автомата Бюхн по заданной Б'П:формуле основан на просюй идее, бяизкой идее рзаметки сосюяннй структуры Кринке лри проверке выполнения СТ1 формул. Эта идея была изложена в (145). Следу. солим лровер нии, щ Помеп лами 4 нарньс сгояни этом сс Очевнл бымн л состоя> атома рг ных прг Выполи нее: ллз крстноп е состга также и Обе так марным чена фо мул ой.
Для всех что на в~ зта форм В общеи способоь ивный м~ щий все автомата лений, ж можного Начнем с состояню гщма е сй над одным юряю- на нал и'да-то будут стяни, томата на вы- ример, вдел с!ножеепению Энной тэяннй ~ была Следуя этой идее, рассмотрим сначала наивный метод определенна того, выполняется ли формула ИЪ на заданном бесконечном вычислении. Например, проверим, будет ли формула 9=(рч9)6(рл9) выполняться на вычислении, представленном на рис. 4.19, а. Пометим каждое состояние вычисления зез!гз ... рис, 4.!9, а теми подформулами формулы 9, которые выполнякпсл в этом соспжнин, Начинвя с атомарных предикатов, истинных в нпкцом состоянии, будем добавлять в со. стояние все те более сложные подформулы формулм 9, которые истинны в этом состоямни.
Очевидно, что истинность формул из атомарных предиквгов, свюаниых жо. быми логическими операциямн, можю быть определена непосредственно в состояниях. Например, подформула (Р ч 9) истинна в состоянии гс (потому что в неы истинен атомарный предикат р), и в состоянии г, (в нем истинен атомарный предикат 9 ), но ложен в состоянии зз (в нем лолщы оба атомзрныхпреднката, Р и 9) Выполнимость подформул с темпораяьными операторамн определить сложнее. лля этого требуется анализ подформул в последующих соспжннях конкретного вычисления, Например, на вычислении и зег,зз ... рнс. 4.19, а' в состоЯнии з, фоРмУла 9=(Рч9)ЩРл9) выполнзетсл.
а в ссстоаниизз, также помеченном атомарным предикатом 9, эта формула не выполняется. Обе такие рюметкп состояний допустимы, т. е. состояние, помеченное щонарным предикатом 9, мозмт быль при такой разметке дополнительно па!щь чено формулой (рч9)О(рл9), а может быть и не помечено этой фпрмулой. Для всех состояний вычисления и твющ разметка дана на рис. 4 19, б. вещно, что на вычислении и формула 9=(рч9)1!(Рлр) вьюолнлетса, поскольку эта формула помечает начальное состояние вычисления. В общем случае проверить выполнимость произвольных формул 1.Т1. этим способом невозможно, поскольку вычисления бесконечны. Однако этот наивный метод разметки дает идею того, как строить автомат Бюхи, допускающий все вычисления, удовлетворяющие формуле ЬТ1..
Состояниями такого автомата будут все возможные "согласованные" разметки состояний вычислений, допускыощих формулу 9, а переходы определзтса по правилам возможного соседства состояний в таких вычислениях. Начнем с формального определения тех подформул, которые яюгую помечать состояния искомого автомата Бюхи.
Гжме 4 Множеспа всех воиаожных подфармул формулы»р определяет так называемое "замыкание" формулм»р (обазначаеюв с)(»р), от сааза с1олв е), Фактически, с)(»р) — зто множеспю всех подформул формулы»р, которме могут поввиться в сннюксич»иком дереве прн мылите формулы 9. Будем считать, что для каждой формулы нз с1(»р) ее отрицание неявно входит в с1(»р) . Длв формулы (р ч д)В(р л 9) таких подформул пять: с!((рчб)Г)(р»» д))~ р,р, рчи рлд,(рчд)У(р»»а) ). Конечно, не все комбинации подформул аналюнрусмой формулы 9 могут помечать одно н то же состояние любого вычисления.
Подформулы, которые ма»ут помечать аастояние, должны быль непротнаоречнвмми, согласованными, а их множество, помечающее аастояние, должна быль максимальным. Например, формула н ее отрицание не могут одновременно помечать состояние. Делее, рассмотрим рис.4Л9,б.
Состояние г» помечено формулами (р, р ч 4), и очевидно, что оно не может быль помечено, например, форму. лай р л 7, посколььу в зе не выпалнвекя 9. Далее, состояние з» помечено пустым множеспюм формул. В этом состоянии р н 4 ложны, здесь не могут встрститьсл ни рлс, нн р ч 9, ни сама анализируемая формула»р: в этом состоянии ии одна из подформул формулы»р не выполняется (н, следомтвныю, выполнжоюя отрицания нх всех). Состояние зз помечено формулами (р, Е рче,р»»а,(рчр)1)(р*а)) — все эти подформулы выполняются в этом соспжнии вычисления рис.
4.19, »Ь а их отрицания не выполняются. Атомы темпорйльной формулы логики (.Т(. Легко определить форинльные правила построения всех максимальных согласованных мнвкес»в подформул анализируемой формулы»р, каторымн яюгуж быль помечены состояния таких вычиаленнй, на кажармх еынаяляетсл формула»р. Назовем такие множества аманами. 4 Определение 4.6 1втомы твмпаральной лы ловили БтЦ Миакество подформул произвольной темпоральной формулы а логики 1П, назовем согласованным, если существует вычисление. на котором все они могут выполниться. Любав макснмаяьное множеспю согласованных падформул формулы»р будем называть атомом этой формулы. Атомы ю»м к О К1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
