Хохлов Ю.С. - ПМСА для эконома (1185346), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Обычно выбирают наиболее простую форму связи, которая реализует сформулированные экономические положения. В нашем случае этоприводит, например, к следующей системе соотношений.Ct = α0 + α1 (Yt − Tt ) ,10(1.1)It = β1 Yt−1 + β2 Rt ,Yt = Ct + It + Gt .(1.2)(1.3)где0 < α1 < 1, β1 > 0, β2 < 0 .В этих соотношениях:C–потребление,I–инвестиции,Y –национальный доход,G–государственные закупки товаров и услуг,T –подоходный налог,R–инструмент государственного регулирования.Заметим, что здесь присутствуют разные типы переменных:Ct , It , Yt –текущие эндогенные переменные,Tt , Rt , Gt –текущие экзогенные переменные,Yt−1 –лаговая эндогенная переменная.Эндогенные переменные объясняются в рамках модели,экзогенные являются "внешними"и играт роль ограничений (часто управляемых).
Экзогенные и лаговые эндогенные переменные называются предопределенными.Уравнения (1)-(3) задают так называемую структурную форму модели.Выделим текущие эндогенные переменные:α0α1 β1α1 β2α1+Yt−1 +Rt +(Gt − T(1.4)t) ,1 − α1 1 − α11 − α11 − α1= β1 Yt−1 + β2 Rt ,(1.5)α0β1β2=+Yt−1 +Rt1 − α1 1 − α11 − α1Ct =ItYt11+1α1Gt −Tt .1 − α11 − α1(1.6)Это приведенная форма модели.
Она позволяет в явномвиде увидеть зависимость текущих эндогенных переменных от предопределенных переменных.Теоретические модели обычно не годятся для непосредственного использования в эконометрических исследованиях. Это связано с тем, что мы отобрали только небольшое число переменных, которые, на наш взгляд, являютсяосновными. Но и потребление и инвестиции зависят ещеот большого числа других переменных. Сколько бы факторов мы не учли, всегда останется что-нибудь еще, чтовлияет на наши переменные, но не учтено в наших уравнениях. Разумное решение состоит в том, чтобы признатьследующий факт: нам частично незвестны факторы, определяющие потребление и инвестиции.
Мы можем толькооценить их вероятное влияние, считая их случайными.Поэтому, строго говоря, уравнения (1) – (2) следует переписать в следующем виде:Ct = α0 + α1 (Yt − Tt ) + ε1t ,It = β1 Yt−1 + β2 Rt + ε2t ,Yt = Ct + It + Gt ,(1.7)(1.8)(1.9)где ε1 и ε2 есть результаты воздействия неучтенных факторов, которые мы интерпретируем как случайную ошибку. На самом деле механизм образования ошибки (невязки) может быть и не стохастическим и мы не можем применять методы теории вероятностей.
Но в эконометрикепринимается гипотеза о том, что, ошибки являются случайными величинами с некоторым распределением веро12ятностей.Уравнения (7) – (9) задают так называемую эконометрическую модель. Параметрами этой модели являются неизвестные параметры α0 , α1 , β1 , β2 и распределение ошибокε1 и ε1 (или их параметры, если распределения принадлежат некоторым параметрическим семействам).В рамках описанной выше эконометрической моделинеобходимо решить несколько задач.
Перечислим некоторые из них.1) Адекватна ли предложенная форма модели имеющимся экономическим данным?2) Оценить параметры модели по данным.3) Сформулировать правила прогноза будущих значений для некоторых переменных.13Глава 2Понятие окорреляционном ирегрессионном анализе2.1Основные задачи корреляционного ирегрессионного анализаКак мы отмечали выше, основная задача эконометрикис точки зрения математики это построение математической модели, в которой отражена взаимосвязь интересующих нас экономических величин. Эта связь редко выражается в чисто функциональном виде. Чаще всего она носитстохастический характер, имея форму определенной тенденции.
Это обусловлено тем, что мы принимаем во внимание только часть факторов, влиящих на изучаемую величину. Например, известно, что себестоимость продукциизависит от объема производства. Но на нее влияют такжепотери от брака, ассортимент продукции, технология производства, используемое сырье, структура цен и многоедругое . Влияние всех неучтенных факторов мы собираем14вместе и записываем с помощью некоторой стохастическойвозмущающей переменной. В эконометрике предполагается, что это случайная величина, обладающая некоторымвероятностным распределением.
Тогда мы приходим к задаче оценки влияния одних величин на другие и поискуфункциональной связи между ними в условиях присутствия возмущающего воздействия.Корреляция в широком смысле означает связь междуизучаемыми процессами и явлениями. При этом мы имеемдве задачи:1) выявление наличия и определение силы связи,2) выбор вида и формы связи.В математической статистике методы решения первойзадачи образуют раздел, называемый корреляционным анализом. При этом используются те или иные коэффициенты корреляции.
Определение формы связи осуществляется методами регрессионного анализа.Необходимо отметить, что методами статистики, используя экпериментальные данные, мы не подтверждаем причинную связь тех или иных величин. Мы только определяем, что между ними существует определенная связь. Ноона может быть обусловлена и влиянием каких-то общихтретьих величин. Вопрос о причинной связи должен изучаться методами конкретных наук, относящихся к даннойобласти исследования: физики, химии, биологии, экономики и т.д. Но наличие связи между некоторыми величинамиможет подтолкнуть нас на поиск истинной причины взаимосвязи величин и подсказать правильное направлениетакого поиска. В качестве курьеза приведем два примерасильной корреляционной связи, за которой явно не стоитникакой причинной связи.
В Германии была отмечена тесная положительная корреляция между количеством импортируемых апельсинов и числом смертных случаев от15онкологических заболеваний за 50 лет. Другой пример–корреляция между числом аистов, свивших гнезда в южных районах Швеции, и рождаемостью в эти же годы вШвеции.После того, как обнаружено наличие достаточно сильной связи между величинами, мы приходим к задаче определения вида этой связи. В классическом регрессионноманализе рассматривается связь между одной зависимойпеременной Y , называемой откликом системы, и однойили несколькими независимыми переменными X1 , .
. . , Xp ,называемыми факторами. Эта связь представляется в видеY = f (X1 , . . . , Xp ) + Z ,где Z описывает влияние неучтенных факторов и ошибок измерений. Мы хотим найти такую функцию f , которая наилучшим образом учитывает влияние факторовX1 , . . . , Xp . Из курса теории вероятностей известно, что вслучае, когда качество аппроксимации измеряется с помощью среднеквадратического расстояния, наилучшей функцией является функция регрессии, т.е.
условное математическое ожидание с.в. Y при условии, что X1 = x1 , . . . , Xp =xp :y = g(x1 , . . . , xp ) := M (Y |X1 = x1 , . . . , Xp = xp ) .Основными задачами регрессионного анализа являютсяследующие:1)2)3)4)5)выбор класса моделей,получение оценок параметров,проверка гипотез о параметрах,проверка адекватности модели,проверка выполнения основных предположений.162.2Коэффициенты корреляцииКак было отмечено выше, при исследовании зависимости между случайными величинами вначале необходимовыяснить сам факт наличия такой связи, а затем измеритьнасколько она сильна.
Обычно это делается с помощью техили иных коэффициентов корреляции. В этом разделе мырассматриваем различные типы коэффициентов корреляции и описываем их свойства.2.2.1Простой коэффициент корреляцииЭтот коэффициент применяется для измерения величины линейной связи между двумя случайными величинами.Определение 1 . (Простым) коэффициентом корреляциис.в.
ξ1 и ξ2 называется числоcov(ξ1 , ξ2 )ρ = ρ(ξ1 , ξ2 ) := q.D(ξ − 1, ξ2 )В курсе теории вероятностей были доказаны следующиесвойства коэффициента корреляции.Теорема 1 .1) |ρ(ξ1 , ξ2 )| ≤ 1.2) Если ξ1 и ξ2 некоррелированы, то ρ(ξ1 , ξ2 ) = 0.3) Пусть η1 = a1 ξ1 + b1 , η2 = a2 ξ2 + b2 , a1 · a2 6= 0. Тогдаρ(η1 , η2 ) = ρ(ξ1 , ξ2 ) · sign(a1 · a2 ) ,т. е. коэффициент корреляции не меняется при линейныхпреобразованиях (изменении шкалы измерений).4) Если ρ(ξ1 , ξ2 ) = +1, то ξ2 = a·ξ1 +b где a > 0, b ∈ R1 .Если ρ(ξ1 , ξ2 ) = −1, то ξ2 = a·ξ1 +b где a < 0, b ∈ R1 .17В случае ρ > 0 говорят, что ξ1 и ξ2 положительно коррелированы.
Если ρ < 0, то говорят, что ξ1 и ξ2 отрицательно коррелированы.Для прояснения смысла коэффициента корреляции рассмотрим следующую задачу. Пусть мы имеем две случайные величины Y и X и хотим объяснить поведение Y спомощью X. Для этого найдем наилучшее линейное приближениеŶ = α + β · X(2.1)для случайной величины Y с помощью случайной величины X (см. Гильбертово пространство случайных величин).Ошибку аппроксимации обозначимe = Y − Ŷ .(2.2)По лемме о перпендикуляре для поиска коэффициентов αи β можно использовать соотношения:(e, 1):= M (e · 1)==(e, X) := M (e · X) ==M [(Y − α − βX) · 1]M (Y ) − α − βM (X) = 0 ,M [(Y − α − βX) · X]M (Y X) − αM (X) − βM (X 2 ) = 0 .Решая эти уравнения, получаемcov(Y, X)σY=ρ·D(X)σXσYα = M (Y ) − ρ ·· M (X) .σXβ=(2.3)Таким образом, наилучшее приближение Ŷ имеет видŶ = M (Y ) + ρ ·σY(X − M (X)) .σX(2.4)Если перейти к центрированным величинам Yc = Y −18M (Y ) и Xc = X − M (X), то последнее уравнение принимает видσY· Xc .(2.5)Ŷc = ρ ·σXЗаметим, что2σY2 = D(Y ) = D(Yc ) = kYc k2 , σX= D(X) = D(Xc ) = kXc k2 .Тогда из соотношения (5) следуетD(Ŷc ) = ρ2 · D(Y ) .(2.6)В силу некоррелированности Ŷc и eD(Yc ) = D(Ŷc ) + D(e) .ТогдаD(e) = (1 − ρ2 ) · D(Y ) .2(2.7)Таким образом, величина ρ показывает какую часть дисперсии Y можно объяснить линейным влиянием с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
