Хохлов Ю.С. - ПМСА для эконома (1185346), страница 12
Текст из файла (страница 12)
е. минимизируяпо θ квадратичную форму(Y∗ − X∗ θ)T (Y∗ − X∗ θ) = (Y − Xθ)T · Ω−1 (Y − Xθ) , (6.17)в результате мы получаем оценкуθ∗ = (X∗T X∗ )−1 X∗T Y∗= (X T Ω−1 X)−1 X T Ω−1 Y= θ + (X T Ω−1 X)−1 X T Ω−1 ε .(6.18)Такой метод получения оценок парметров θ называетсяобобщенным МНК. Оценка θ∗ называется оценкой обобщенного МНК или оценкой Эйткена. Она является линейной, несмещенной, состоятельной, оптимальной в среднем квадратическом в классе всех линейных несмещенныхоценок, имеет многомерное нормальное распределение сосредним θ и матрицей ковариаций σ 2 · (X T Ω−1 X)−1 .Для оценки σ 2 , как и раньше, используем остатки e∗ =Y∗ − Ŷ∗ = Y∗ − X∗ θ∗ .
Тогда по формуле (4) получаемσ∗2 ==NX1(Y∗j − Ŷ∗j )2N − (m + 1) j=11(Y∗ − Ŷ∗ )T (Y∗ − Ŷ∗ ) .N − (m + 1)97(6.19)Это несмещенная и состоятельная оценка для σ 2 . Применение обычного МНК приведет к смещенным оценкам длядисперсии, что может исказить результаты анализа модели.
Как и ранее можно строить доверительные интервалыи проверять гипотезы о параметрах, но с соответствующими изменениями (нужно использовать Y∗ , X∗ и θ∗ !).В частном случае, когда Ω диагональная матрица с элементами w1 , . . . , wN квадратичная форма (17) переходит вследующуюNX[Yj − (α + β1 Xj1 + . . . + βm Xjm )]2 ·j=11.wjПоэтому в данной ситуации говорят о взвешенном МНК.Если матрица Ω неизвестна, то пытаются ее оценить. Вобщем случае Ω содержит N (N + 1)/2 неизвестных параметров. Оценить их, имея только N измерений, невозможно. Для получения разумных результатов необходимы теили иные предположения о структуре Ω.
Некоторые примеры будут рассмотрены ниже.98Глава 7Гетероскедастичность иавтокорреляция ошибокВсе основные результаты, полученные выше, были выведены для линейной моделиY = Xθ + ε ,(7.1)в предположении, что вектор ошибок ε имеет матрицу ковариацийΣε = σ 2 · E .(7.2)В предыдущей главе мы несколько обобщили нашу модель, предполагая, чтоΣε = σ 2 · Ω ,(7.3)где Ω есть известная симметричная положительно определенная матрица.
Но в реальных задачах эта матрицаΩ, как правило, неизвестна. Оценить ее по N измерениям невозможно, т. к. она содержит N (N + 1)/2 неизвестных параметров. Чтобы задача стала решаемой, необходимо сделать те или иные предположения о матрице Ω. Вэтой главе мы рассмотрим два подхода к решению этойзадачи, имеющие важные практические приложения.997.17.1.1ГетероскедастичностьОписание моделиВ классической линейной модели ошибки измерений εjпредполагаются независимыми и имеющими одинаковыедисперсии σ 2 = M (ε2j ) (гомоскедастичность). Пусть мывновь имеем линейную модель (1), а относительно ошибокεj предположим, что они независимы, имеют нормальноераспределение, M (εj ) = 0, но дисперсии σj2 = M (ε2j ) будут, вообще говоря, разными.
В этом случае матрица ковариаций Σε будет диагональной, но ее элементы различны. Именно этой случай и называется гетероскедастичностью модели.Если σj2 = σ 2 · ωj , где σ > 0 есть неизвестный параметр,а ωj – известные веса, то можно применить взвешенныйМНК. Полученные таким образом оценки будут несмещенными, состоятельными и оптимальными в среднем квадратическом. Оценка для σ 2 , построенная по остаткам ej ,будет несмещенной и состоятельной. Но в реальных задачах веса ωj неизвестны.Если мы применим в нашей ситуации обычный МНК,то оценки θ̂ для параметров θ останутся несмещеннымии состоятельными, но уже не будут оптимальными.
Ещехуже обстоит дело с оценкой дисперсии. Применяя обычную оценку для σ 2 , мы оценим нечто среднее, т. к. вседисперсии различны и непонятно, что именно мы оцениваем. Обычные оценки для дисперсий случайного вектораθ̂ будут смещенными и несостоятельными. Поэтому основанные на них процедуры построения доверительных интервалов и проверки гипотез больше неприменимы и даютневерные результаты.1007.1.2Модели гетероскедастичностиНиже мы рассматриваем две модели гетероскедастичности, наиболее часто используемые на практике.В первой модели мы предполагаем, что ошибки пропорциональны одной из независимых переменных Xl , т. е.σj2 = σ 2 Xjl2(7.4)для всех j.
Фактически, мы находимся в ситуации, когдаприменим взвешенный МНК, т. к. веса ωj = |Xjl |2 намизвестны. Нужно перейти к новым переменным∗Yj∗ = Yj /|Xjl | , Xjk/|Xjl | , k = 0, 1, . . . , m ,и применить обычный МНК.Существует простой визуальный метод, позволяющийдогадаться, что мы находимся в описанной выше ситуации. Все наблюдения упорядочиваются в порядке возрастания (убывания) переменной |Xl | (обычно |Xl | = Xl ).Затем применяют обычный МНК.
Находим остатки ej ивизуально исследуем их график. Если величина остатковувеличивается (уменьшается), то это подтверждает нашугипотезу. Далее мы производим описанное выше преобразование и повторяем все заново, но с новыми переменными. Если вновь полученные остатки ведут себя нерегулярно, то это новое подтверждение нашей гипотезы о причинах гетероскедастичности модели.Но столь простая ситуация встречается нечасто. Обычно требуется более сложная модель. Предположим, чтоσj2 = γ0 + γ1 Zj1 + . .
. + γp Zjp ,(7.5)где Z1 , . . . , Zp есть некоторые экзогенные переменные (например, какие-то из наших объясняющих факторов). Вэтом случае оценка модели производится следующим образом.1011) Оцениваем исходную модель (1) по обычному МНКи находим остатки ej .2) Используя остатки ej , оцениваем регрессиюe2j = γ0 + γ1 Zj1 + . .
. + γp Zjp + uj ,(7.6)т. е. берем e2j как аппроксимацию для σj2 . Далее, в качествеоценок для σj2 берем предсказанные значения для e2j в этоймодели:σˆj2 = γˆ0 + γˆ1 Zj1 + . . . + γˆp Zjp .(7.7)3) Вновь оцениваем исходную модель (1), используя взвешенный МНК с весами ωj = σˆj2 .4) По новым остаткам оцениваем дисперсии оценок θ̂параметром модели.Такой метод оценивания называется двухшаговым МНК.Можно показать, что полученным таким образом оценкидля дисперсий оценок параметров θ̂ будут состоятельными.Отметим, что частными случаями этого метода являются описанный выше случай, когда ошибки пропорциональны одному из факторов, и модель Глейзера, гдеσj2 = γ0 + γ1 Xjlα .(7.8)Здесь Xl – один из факторов, 0 < α ≤ 1.7.1.3Коррекция на гетероскедастичностьКак мы отмечали выше, если к модели (1) в условиях гетероскедастичности применить обычный МНК, то оценкаθ̂ для вектора параметров θ будет несмещенной и состоятельной. Но обычная оценка S 2 (X T X)−1 для матрицыковариаций с.
в. θ̂ будет смещенной и, главное, несостоятельной. Чтобы исправить этот дефект, используют по102правки на гетероскедастичность. Наиболее часто используют стандартные ошибки в форме Уайта (White, 1980).Уайт предложил следующий вариант оценки для матрицыковариаций с. в.
θ̂:N1 XΩ̂θ̂ = N (X T X)−1 · e2 Xj XjT (X T X)−1 ,N j=1 j(7.9)где Xj = (Xj0 , Xj1 , . . . , Xjm ), ej = Yj −Ŷj . Уайт показал, чтоэто состоятельная оценка для матрицы ковариаций оценкиθ̂. Доказательство этого факта несколько сложнее и выходит за рамки данного пособия. Любознательные студентымогут обратиться к оригинальной работе Уайта.Если ошибки εj коррелированы, но не более чем на Lшагов, т. е. Cov(εj , εk ) = 0, если |j − k| > L, то существуетдругой вариант коррекции на гетероскедастичность: стандартные ошибки в форме Невье-Веста (Newey-West, 1987).Мы не будем рассматривать их здесь.
Отметим только, чтовновь получается состоятельная оценка для матрицы ковариаций.7.1.4Тесты на гетероскедастичностьЕсли есть подозрение о том, что дисперсии ошибок σj2 =M (ε2j ) будут различными в разных измерениях, то хотелось бы проверить это предположение с помощью некоторой формальной процедуры.
При этом мы проверяемнулевую гипотезу2H0 : σ12 = σ12 = . . . = σN(7.10)против альтернативы, что дисперсии не равны. Каждыйконкретный тест настроен на определенный тип альтернативы.103Тест Голдфельда-КуандтаЭто один из наиболее ранних и популярных тестов(Goldfeld, Quandt, 1956). Он применяется тогда, когда естьподозрение, что ошибки измерений пропорциональны одной из независимых переменных Xl (см. выше).
В этомслучае альтернатива имеет вид:H1 : σj2 = σ 2 Xjl2 .(7.11)Проверка гипотезы H0 против альтернативы H1 вида(12) проводится следующим образом.1) Все переменные упорядочиваются по возрастаниюпеременной |Xl |.2) Из всех данных исключают средние d измерений (обычно d ∼ N/4).3) Строят две независимых регрессии по первым (N −d)/2 наблюдениям и последним (N − d)/2 наблюдениям инаходим векторы остатков e1 и e2 .4) По остаткам e1 и e2 вычисляют суммы квадратовостатков Q1 = eT1 e1 и Q1 = eT1 e1 и статистику F = Q2 /Q1 .5) Если верна гипотеза H0 , то статистика F имеет распределение Фишера с (N − d)/2, (N − d)/2 степенями свободы.6) Для заданного α находим константу Fα > 0:P0 (F > Fα ) = α .7) Если реально полученное значение Fн будет большеFα , то принимаем гипотезу H1 . В противном случае H0 непротиворечит экспериментальным данным.Если будет принято решение о наличии гетероскедастичности (т.
е. H1 ), то необходимо произвести преобразование (5) и заново оценить параметры уравнения регрессии, но с помощью новых переменных. Доказательство104сформулированных выше утверждений проводится аналогично тому, как это делалось выше при проверке линейных гипотез и, поэтому, предлагается читателю в качествезадачи.Тест Бреуша-ПаганаЭтот тест применяется в ситуации, когда для дисперсийошибок используется модельH1 : σj2 = γ0 + γ1 Zj1 + . .
. + γp Zjp ,(7.12)где Z1 , . . . , Zp – некоторые экзогенные переменные. Процедура проверки выглядит следующим образом.1) Оцениваем исходную модель (1) и находим векторостатков e.2) Строим оценку для σ 2 по формулеσ̂ 2 =1 X 2e .N j j3) Оцениваем регрессионное уравнениеe2j= γ0 + γ1 Zj1 + . . . + γp Zjp + uj ,σ̂ 2и находим для этой модели сумму квадратов остатковESS.4) Если верна гипотеза H0 , то статистика ESS/2 имеет2χ -распределение с (p + 1) степенью свободы.Далее процедура проверки проводится стандартным образом.Если принято решение о наличии гетероскедастичности, то для оценки модели (1) применяют двухшаговыйМНК (см. выше).105Тест УайтаЭтот тест имеет более сложную структуру. Поэтому мырассматриваем его только для случая p = 2, т.е.
когда используется два фактора. Таким образом мы рассматриваем модель измеренийYj = θ0 + θ1 Xj1 + θ2 Xj2 + εj .В качестве альтернативы рассматривается следующая модель для дисперсий22H1 : γ0 +γ1 Xj1 +γ2 Xj2 +γ11 Xj1+γ22 Xj2+γ12 Xj1 Xj2 . (7.13)Процедура проверки проводится следующим образом.1) Применяем к основной модели обычный МНК и находим вектор остатков e.2) Оцениваем регрессию22e2j = γ0 + γ1 Xj1 + γ2 Xj2 + γ11 Xj1+ γ22 Xj2+ γ12 Xj1 Xj2 + uj .3) Для последней регрессии вычисляем выборочный коэффициент детерминации R2 .4) При верной гипотезе H0 величина N · R2 имеет χ2 распределение с 5 степенями свободы.Далее процедура проверки проводится стандартным образом.Если принято решение о наличии гетероскедастичности, то в данном случае, в отличие от предыдущих двухтестов, неизвестно преобразование переменных, после применения которого обычный МНК дает хорошие оценки.Обычно в этом случае проводят коррекцию ошибок в форме Уайта.1067.27.2.1Автокорреляция ошибокПостановка задачиВо многих экономических задачах, особенно при анализевременных рядов, ошибки измерений оказываются коррелированными.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
