Леонтович М.А. Введение в термодинамику. Статистическая физика (1185134), страница 16
Текст из файла (страница 16)
В этом принципиальное (если отвлечься от технических трудностей) преимущество использования обратимого адиабатического расширения (примененного в машине Капицы) как метода охлаждения, по сравнению с применением для той же цели процесса Джоуля. (2.П7) е 23. Магнитный метод охлаждении Изменение температуры тела получается не только при адиабатическом расширении тела, но также н при других адиабатических процессах.
Адиабатическое размагничивание парамагнитных кристаллов применяется в качестве одного из основных лабораторных методов получения предельно низких температур. Поэтому мы разберем теорию обратимого адиабатического изменения магнитного состояния парамагнитного тела и вычислим изменение температуры, получающееся при этом процессе. При разборе этого вопроса мы воспользуемся тем, что при обратимом аднабатнческом процессе энтропия постоянна.
Поэтому подсчитаем прежде всего энтропию намагниченного тела, воспольаовавшись для этого уравнением 8--8'Ч/дТ, связывающим энтропию со свободной энергией Ч'. Мы уже говорили, что «плотность энергии электрического поля» в случае, когда диэлектрическая проницаемость е зависит от температуры, есть плотность свободной энергии поля. Точно так же для магнитного поля, если магнитная проницаемость )« зависит от температуры, но не аависит от поля (парамагнетнк), то величина )«Н'/8Я В*/8яр, равна плотности свободнойэнергии.
Работа при намагничивании на единицу объема равна — Н6В/4я, или для объема У «))У = — — УН ЫВ. (2.М8) Магнитную индукцию В мы рассматриваем как внешний параметр. Изменением объема мы пренебрегаем, ибо нас интересует тепловой эффект только от намагничивания. Величина 1 А — г-УН играет роль обобщенной внешней силы, соответствующей параметру В. 6 М. А.
Леон»о»в« 88 гл. х ткгмодинлмикл квлзистлтичкских пгоцвссов Свободная энергия тела равна Вт Ч'(В, Т) = Ч' (Т) + — У. (2.И9) Здесь первый член есть свободная энергия в отсутствие поля, а второй указывает па зависимость Ч' от намагниченности; прн этом для парамагнитного тела магнитная проницаемость зависит от температурьп )л= р(Т). Как и должно быть по общим формулам, дЧ" дЧ' У вЂ” = — = — В =- — А = + — Н. да дВ 4»р 4л (2.120) Подсчитаем энтропию тела (Я вЂ” дЧ'/дТ): УВ д (1/Ь) дт (2Л21) Здесь Я, = — дЧ/,/дТ вЂ” энтропия ненамагниченного тела. Для обратимого адиабатического процесса дд О, нли АЯ = — — — —, с)Т вЂ”вЂ” / дЯ» УВ~ д (1/Р) 1 РВ д (1/в) ~ дТ 8» дга ) 4л дТ ИВ = О.
(2.122) Иа этой формулы видно, что если производится намагничивание или размагничивание тела н если р зависит от температуры, то изменяется и температура тела. На практике применяется парамагнитное тело (кристаллы парамагнитных солей, например ссрнокислого гадолипия) с зависимостью )4 от температуры типа р = а + 'р/Т, где р ) О. Тело изотермически намагничивается прн температуре жидкого гелин, после чего поле аднабатическп выключается. При выключении поля В п с)В имеют разные знаки.
Тогда ВИВ(0 и, следоваа(1/в) 1 дв Р тельно, ИТ(0, ибо „== — — — =- —.. ) О, так что по» дТ рзТ" лучается охлаждение. Рассмотрение порядка входящих в формулу (2А23) величин дает следующее. Для кристаллов С„в области низких температур очень мало н зависит от температуры по закону С„ ЬТ'. Тогда с)Т = — —,А(В ). Таким обрааом, при низких темпера8лн~ ЬТ турах ВТ 1/Т', и поэтому изменение температуры может быть В первый член входит дЯ,/дТ = С„/Т, где ф— теплоемкость иепамагниченного тела (так как ~ф =С,ВТ = (д3,/дТ)ТАТ). Второй член свяаан с зависимостью теплоемкости тела от намагниченности (этим членом можно пренебречь прн малом В, так как он пропорционален В-). Тогда (2.123) $23.
мАГнитныЙ метОд ОхлАждения велико. На этом и основан метод получения сверхнизких температур. Этим же процессом можно пользоваться для градуировки абсолютной термодинамической шкалы при сверхнизких температурах. Чтобы убедиться в этом, заметим, что (2,123) можно переписать так: йТ УВ оВ др(йт Т 4ярз (2 124) Задачи 1. С помощью формул магнитостатыкв легко показать путем точно такого же рассуждения, как и в задаче 1 к 1 9, что первое качало термодпнампкн длн магнетика, помещенного во внешнее однородное магнитное поле Н, имеет вид о() = оУ вЂ” Н 4М. Здесь это уравнение относктся ко всему магнеткку (что допустимо, еслп воле Н практически однородно), М вЂ” проекция полного магныткого момента тела на направленые поля Н, 0 — внутренняя звергня магнетика (без звертив поли в вакууме).
Показать, что если У ве аавпснт от поля Н, т. е. У = Н(Т) (что справедливо для парамагнытных газов), то М = ((Н(Т). Решение. Перепишем Тоо = НУ вЂ” НоМ в переменных (Н, Т) п воспользуемся условием существования полного дифференциала Ы. Зто дает Т ~ вт ) + Н( вн ) = О, откуда непосредственно следует М = ((Н(Т) (см. аадачу к 1 341. Вид фувкцвп ( ве может быть определен иа уравнений термодпвампкв. Если магнитная восприимчивость Х ве зависит от поля Н (пры данков температуре), то иа полученного результата сразу вытекает закон Кюрн: М = = сопзсН(Ть), хорошо выполняющийся для парамагннтных газов.
2. Магнетик помещен в поле Н и находвтсл под внешним давлевкем Р. Вывести заввсвмость между обьемпой магнвтострвкцпей (ду/дН) р п (ь) В самом деле, в этом случае М ХН, т. е. ХН ((Н(Т). Левая часть этого равенства есть линейная функция Н. Следовательно, н ппавая должна быть таковой, а это воаможно только тогда, когда ((Н(Т) = = сопзФ Н(Т, откуда в следует закон Кюри.) бз где С.=дй(дт — теилоемкость в некоторой произвольной шкале температур т, а д)г/дт — температурный коэффициент магнитной проницаемости в той же шкале. Очевидно, что в правую часть входят величины, измерение которых не требует градуировки термометров в абсолютной шкале. Поэтому, измеряя изменение температуры Ыт по этой произвольной шкале прн адиабатическом изменении магнитной индукции на дВ и сравнивая его с вычисленной по формуле (2.123) величиной дТ(Т, можно связать между собой д )п Т и дт и, таким образом, проградуировать в абсолютной шкале применяемый термометр.
Я4 ГЛ. 2. ТЕРМОДИНАМИКА КВАЗИСТАТИЧЕСКНХ ПРОЦЕССОВ «пьеэомагиктвым» эффектом (дМ/др)в для паотермического (обратимого) намагничивания. Вычислить относительное измевевве объема при лээкитосгрэвэии в слабом поле, возрастающем от 0 до Н (считая, что намагниченность постоянна по объему тела). Решение. Исходим из основного соотношения Удз ли+ рдр — НдМ. Введем величину Ф = Н вЂ” МН+ РУ вЂ” ТЗ. Ее дифференциал равен дФ = — дат+ Удр — Мдн.
Применяя условия существования полного дифферевцвала, получаем %),.,--( — ".).,, что я является исномой связью обоих эффектов. Для вычпсления магвитострвкцвя люлем М уНУ (Х вЂ” магнитная восприимчивость, У вЂ” объем "тела). Согласно (а) 1 дУ плн, вводя пзотермвческую сжнмаемость р= — — —, ю»тегрвруя в Р дд' должных пределах я воспользовавшись (в силу ЬУ/У < 1) формулой 1а (1+ ЬУ/У) АУ/У, окончательно получаем 3. Стержень длины й растягизаемой силой 2, расположен вдоль магнитного воля Н. Иа опыта известно (для ввкеля н многих других мэгнетиков), что пря достаточно сильных натяжениях и слабых полях намагниченность стержня дается формулой М сове«(Н/Я. Вычислить относительное изменение длины стержня прн «лнвейной» маг- нлтострющии.
Р«жение. Задача вполне аналогична предыдущей. только везде У нужно замеввть на д а р — ва (растягизающую) салу ( — я). Тогда, поступая так же, как и з задаче 2, получаем (д1/дН) э = (дМ/дд) и. Окончательно имеем Я Н вЂ” = — соэз1 —. (1 — иЯ), Еэ 1 д/ где и= — — — коэффкцпевт упругости прн растяженвн (велнчнна, дд обратная произведению модуля Юнга на сечение стержня). 3 24. Термодинамика гальванического элемента Как известно, электродвижущая сила гальванического элемента не зависит от его размеров и определяется химическими свойствами электролита и электродов, а также температурой элемента и давлением в нем. Применяя термодинамику, можно показать, что имеется связь между злектродвижущей силой обратимого гальванического эле- З за ТЕРМОДИНАМИКА ГАЛЬВАНИЧЕСКОГО ЭЛЕМЕНТА 85 мента и тепловым эффектом реакции, происходящей в элементе при протекании через него тока.
Обратимыми даэьданичдслими элементами называют такие элементы, в которых при пропуокании тока в противоположном направлении происходят обратные химические реакции. Такие элементы представляют собой идеальные аккумуляторы. Если сила тока мала и джоулевым теплом (пропорциональным квадрату силы тока) можно пренебречь, то прохождение тока через такой элемент можно рассматривать как обратимый процесс. Если элемент замкнут и через него течет ток, то при этом, во-первых, совершается работа и, во-вторых, изменяется его энергия благодаря изменению состава электролита элемента. Работа, которая совершается элементом при протекании через него количества электричества Ие, равна ИИ' Ю Ие.
(2.125) Здесь Ю вЂ” электродзижущая сила элемента; она зависит от температуры, Х дУ(Т); зависимостью ее от давления мы будем пренебрегать. Это пренебрежение допустимо для элементов, не содержащих газообразных составных частей; я таких элементах при происходящих в них реакциях изменение объема мало. Ыы будем поэтому также пренебрегать работой, связанной с этны изменением объема. Работа РИе равна уменьшению свободной д'Р энергии системы — — Ие. де Изменение энергии элемента при прохождении через него тока происходит потому, что при этом совершается химическая реакция, при которой химический состав электролита, находящегося в элементе, изменяется. Это изменение может быть поэтому написано в следующем виде: дЕ ИŠ— Ии дп где Ии — количество прореагировавших молей влектролнта при протекании количества электричества Ие. Зто количество молей Ии, прореагировавших в электролите, связано с Ие законом Фарадея: Ие =аРИи, (2 (27) где Р = 96 000 Кл/моль — постоянная Фарадея, а а — валентность иона, переносящего заряд.
Изменение внутренней энергии элемента при реакции может быть определено из другого опыта с той же реакцией, если заставить эту реакцию протекать изотермически и без совершения работы. В этом случае изменение энергии ИК = — Ии будет дЕ ди просто равно количеству поглощенного тепла, которое и иэма- яз гл. 2. твгмодннлмикА кВАзистАтичвских пгоцессов ряется на опыте. Количество поглощенного прп атом тепла, отнесенное к одному молю прореагировавшего вещества, взятое с обратным знаком (выделившееся тепло), называется тепловым эффектом реакции.
Обозначая тепловой эффект через с7, можем поэтому написать дд — = — У. аз (2.128» Чтобы внешняя работа пе совершалась, реакция должна проводиться при этом опыте либо просто в пробирке (работой расширения мы, как сказано, пренебрегаем), либо, если это возможно, в элементе, но с разомкнутой внешней цепью. Например, рассматривая химическую реакцию, которая происходит в элементе Даниэля с цинком и медью (который, в известном приближении, можно рассматривать как обратимый элемент), имеем Ую+ Сз80,— Сп+ Хп80,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
