Миронов В.В. Философия. (2005) (1184477), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Лобачевский показал, что этоне так, — правда, в итоге ему пришлось радикальным образом изменить геометрию.Прежде математики считали, что к любой точке любой кривой линии можно провестикасательные. Вейерштрасс дал уравнение такой кривой, по отношению к которойпровести касательную невозможно. Наглядно мы даже не можем представить себетакую кривую, но теоретически, чисто логическим путем, можно исследовать еесвойства.Всегда было принято считать, что целое больше части.
Это положение казалось иматематикам аксиомой и нередко приводилось как пример абсолютной истины. А. Г.Кантор показал, что в случае бесконечного множества это положение не работает.Например: 1 2 3 4 5 6 7... — натуральный ряд чисел, а 1 4 9 16 25 36 49... — рядквадратов этих чисел. Оказалось, что квадратов чисел в бесконечном ряду столькоже, сколько и натуральных чисел, так как под каждым натуральным числом можноподписать его вторую степень или каждое натуральное число можно возвести вквадрат. Поэтому Кантор определил бесконечное множество как имеющее части,содержащие столько же членов, как и все множество.Эти открытия потребовали гораздо более глубокого исследования и обоснованиялогических основ математики.
Несмотря на то что европейская математика, начинаяс Евклида, весьма негативно относилась к чувственному опыту, — отсюдафундаментальное для математической науки требование логически доказывать дажето, что представляется самоочевидным, например что прямая линия, соединяющая дветочки, короче любой кривой или ломаной линии, которая их тоже соединяет, — всетаки прежде математики охотно обращались к интуиции, к наглядному представлению,и не только неявно, при формули224ровании исходных определений и аксиом, но даже при доказательстве теорем(например, используя прием наложения одной фигуры на другую). Этим приемом частопользовался Евклид. Теперь правомерность интуитивных представлений былаподвергнута решительному сомнению. В итоге были обнаружены серьезные логическиенедостатки в «Началах» Евклида.Кроме того, математика стала развиваться настолько быстро, что сами математикине успевали осмыслить и привести в систему собственные открытия.
Часто онипросто пользовались новыми методами, потому что те давали результаты, и незаботились об их строгом логическом обосновании. Когда время безудержногоэкспериментирования в математике прошло и математики попытались разобраться воснованиях своей науки, то оказалось, что в ней немало сомнительных понятий.Анализ бесконечно малых блестяще себя оправдал в практике вычислений, но чтотакое «бесконечно малая величина», никто толком сказать не мог. Больше того,оказалось, что определить сам предмет математики, указать, чем именно оназанимается и чем должна заниматься, невероятно трудно. Старое традиционноеопределение математики как науки о количестве было признанонеудовлетворительным. Тогда Ч. Пирс определил математику как «науку, котораявыводит необходимые заключения», а Гамильтон и Морган — как «науку о чистомпространстве и времени».
Дело кончилось тем, что Рассел заявил, что математика —это «доктрина, в которой мы никогда не знаем ни того, о чем говорим, ни верно лито, что мы говорим».Таким образом, во второй половине XIX в., и особенно к концу его, была осознананеобходимость уточнить базовые понятия математики и прояснить ее логическиеоснования.Грандиозная попытка полного сведения чистой математики к логике была предпринятав «Principia Mathematica» («Начала математики» (1910—1913) А. Н.
Уайтхеда и Б.Рассела, и книга эта в известном смысле стала естественным логическимзавершением всего этого движения. Математика была, по существу, сведена клогике. Еще Г. Фреге положил начало так называемому логицизму, заявив, чтоматематика — это ветвь логики. Эта точка зрения была принята Расселом.225Попытка сведения математики к логике, правда, с самого начала подвергласькритике со стороны многих математиков.
Защитники логицизма утверждали, что всематематические рассуждения совершаются в силу одних лишь правил логики, точнотак же, как все шахматные партии происходят на основании правил игры. Противникиего доказывали, что вести плодотворное рассуждение в математике можно, тольковведя предпосылки, несводимые к логике. Решающее значение для исхода этойдовольно продолжительной полемики имела знаменитая теорема Гёделя. В 1931 г.Гёдель доказал, что в каждой достаточно богатой средствами выраженияформализованной системе имеются содержательные истинные утверждения, которые немогут быть доказаны средствами самой этой системы; это значит, что полнаяформализация, например арифметики, принципиально неосуществима, что понятия ипринципы математики не могут быть полностью выражены никакой формальнойсистемой, как бы мощна она ни была.Тем не менее опыт построения формализованных систем породил надежды на то, чтовообще все научное знание можно выразить аналогичным образом.
Казалось, что весьвопрос в том, чтобы подобрать соответствующий язык — знаковую символику,включающую как необходимые термины, так и правила оперирования ими, в частностиправила выведения. Большую роль в развитии такого подхода сыграли теория типов итеория дескрипции, созданные Б. Расселом.Поводом для создания теории типов явились парадоксы, обнаруженные Расселом приизучении работ Фреге и Кантора. Эти парадоксы заставили вспомнить о старыхпарадоксах, известных еще древним. Например, парадокс «лжец» состоит вследующем: Эпименид-критянин говорит, что все критяне лгут.
Но так как он самкритянин, то, следовательно, и он лжет. Таким образом, получается, что критянеговорят правду. Второй вариант этого же парадокса: «Все, что я говорю, — ложь;но я говорю, что я лгу, значит, я говорю правду, а если я говорю правду, то,значит, я лгу».Обратимся теперь к математическому парадоксу самого Рассела. Предположим, чтоимеются классы различных вещей.
Иногда класс может быть членом самого себя,иногда — нет. Класс чайных ложек не есть чайная ложка. Но класс вещей, которыене являются чайными ложками, сам есть вещь, не являющаяся чайной ложкой.Следовательно, он член самого себя. Теперь возьмем класс всех классов, которыене являются членами самих себя. Является ли он членом самого себя? Если да, тоон должен обладать отличительным признаком своего класса, т. е.
не быть членомсамого себя. Если же он не член самого себя, то он должен быть таким членом, таккак должен войти в класс всех классов, не являющихся членами самих себя.226Этот парадокс можно представить в наглядном виде, назвав его «парадоксомбрадобрея». Вот его суть: единственный брадобрей в городе получил приказ бритьвсех тех, кто не бреется сам. И вот брадобрей ходит по дворам и бреет всехбородатых. Но в конце концов он сам обрастает бородой — и тогда встает вопрос,как же ему самому быть? Если он не будет бриться, то он должен себя брить.
Ноесли он бреется сам, то он не должен этого делать согласно полученному приказу!Парадокс Рассела вызвал необходимость в тщательном анализе того, как мыпользуемся языком, не совершаем ли мы каких-либо ошибок, имеем ли мы правозадавать подобного рода вопросы, имеют ли они смысл? Рассел попытался найтирешение своего парадокса, создав теорию типов. Она устанавливала определенныеправила и ограничения пользования терминами.Суть этой теории Рассел разъясняет на примере аналогичного парадокса, известногопод названием «лжец». «Лжец говорит: «Все, что я утверждаю, ложно».
Фактически —это утверждение, которое он делает, но оно относится ко всей совокупности егоутверждений, и парадокс возникает потому, что данное утверждение включается вэту совокупность». Если бы это утверждение стояло особняком, то парадокса небыло: мы знали бы, что в случае его истинности все, что лжец утверждает, ложно.Но когда мы включаем само это утверждение в ту совокупность утверждений, ккоторой оно относится, о которой оно говорит или которую характеризует, тогдатолько и возникает парадокс. Этого, полагает Рассел, делать нельзя. Он считает,что мы должны различать предложения, которые относятся к некоторой совокупностипредложений, и предложения, которые к ней не относятся. Те, которые относятся кнекоторой совокупности предложений, никогда не могут быть членами этойсовокупности.Основная идея Рассела состоит в том, что в правильном языке предложение не можетничего говорить о самом себе, вернее, о своей истинности.
Однако наш обычныйязык такую возможность допускает, и в этом его недостаток. Поэтому необходимыограничения в правилах пользования языком. Такие ограничения и вводит его теориятипов.227Рассел делит предложения на порядки: предложения первого порядка никогда неотносятся к совокупностям предложений, они относятся к внеязыковым явлениям.Например:роза есть красная — Р 1;капуста есть зеленая — Р 2;лед есть горячий — Р 3.Предложения второго порядка относятся к предложениям первого порядка.Например:предложения Р 1 и Р 2 истинны — апредложение Р 3 ложно — бПредложения третьего порядка относятся к предложениям второго порядка.Например:предложения а и б написаны на русском языке. Таким образом, Расселустанавливает, что и о чем мы можем говорить, а чего говорить не можем.
Этозначит, что некоторых вещей говорить нельзя.Отсюда вытекает очень важное следствие: оказывается, что наряду с предложениями,которые могут быть истинными или ложными, есть и такие предложения, которые немогут быть ни истинными, ни ложными. Такие предложения бессмысленны.Однако этот вывод вовсе не бесспорен. Например: предложение «четные числапитательны» бессмысленно. Однако вполне можно сказать, что оно ложно.В теории типов Рассела содержатся зародыши двух идей, имевших значительныепоследствия для философии и логики. Когда он утверждает, что предложение ничегоне может говорить о себе, то эту мысль можно расширить и сказать, что языкничего не может говорить о себе. Эту идею защищал Л. Витгенштейн. Когда жеРассел утверждает, что предложение второго порядка может высказывать нечто опредложениях первого порядка, то отсюда вырастает концепция метаязыка.Теория типов устраняет парадоксы, и все же она подвергалась критике.
Почему? Вчастности, потому, что устранение парадоксов вовсе не всегда желательно. Язык,исключающий возможность парадоксов, для определенных целей хорош, для другихнет. Такой язык беден, негибок и потому неадекватен сложному процессу познания.228Теория дескрипций была призвана разрешить другую трудность и тем самым рассеятьодно распространенное в логике и в философии недоразумение.
Оно состояло вотождествлении имен и описаний и приписывании существования всему тому, к чемуони относятся. Логики, отмечал Рассел, всегда считали, что если два словесныхвыражения обозначают один и тот же объект, то предложение, содержащее одновыражение, всегда может быть заменено другим без того, чтобы предложениеперестало быть истинным или ложным (если оно было тем или другим).Однако возьмем такое предложение; «Скотт есть автор «Веверлея». Это предложениевыражает тождество, но оно вовсе не тавтология. Это видно из такого рассуждения:когда король Георг IV захотел узнать, был ли Скотт автором «Веверлея», то он,конечно, не хотел узнать, был ли Скотт Скоттом! Это значит, что мы можемпревратить истинное утверждение в ложное, заменив «автор «Веверлея» «Скоттом».Отсюда следует, что надо видеть различие между именем и описанием (дескрипцией):«Скотт» — это имя, но «автор «Веверлея» — это дескрипция. «Скотт» в качествесобственного имени является тем, что Рассел называет простым символом.
Онотносится к индивиду прямо, непосредственно обозначая его. При этом данныйиндивид выступает как значение имени Скотт. Это имя обладает значением исохраняет его вне всякой зависимости от других слов предложения, в которое оновходит. Напротив, «автор «Веверлея» в качестве дескрипции не имеет собственногозначения вне того контекста, в котором это выражение употребляется. ПоэтомуРассел его называет «неполным символом».
«Автор «Веверлея» сам ни к комуопределенному не относится, так как в принципе им может быть кто угодно. Недаромведь король Георг IV хотел узнать, кто именно был автором «Веверлея». Только всочетании с другими символами «неполный символ» может получить значение.Согласно концепции логического атомизма Рассела, и структура мира должна бытьтакой же.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
