МУ - Эффект Джозефсона (1183867), страница 4
Текст из файла (страница 4)
2). Втаких условиях весь ток через контакт — сверхпроводящий, и он независит от времени.Пусть теперь к туннельному контакту приложена от внешнего источника некоторая разность потенциалов V . Тогда в контакте возникает электрическое поле E, которое мы будем описывать скалярнымпотенциалом ϕ, так что E = −∇r ϕ. Влияние этого поля на сверхпроводящий ток через контакт можно выяснить уже на основаниитребований калибровочной инвариантности, т.
е. на основании того,что скалярный потенциал ϕ (вместе с векторным потенциалом A)определены неоднозначно и могут быть подвергнуты калибровочному преобразованию, при котором никакие физические величины неменяются (см. [15], § 18).В отсутствие поля (при ϕ = 0) фаза волновой функции не зависит от времени: ∂φ/∂t = 0, что соответствует стационарному эффекту Джозефсона. Для обобщения этого равенства на случай наличияэлектрического поля заметим, что общее соотношение должно бытьинвариантно по отношению к калибровочному преобразованию скалярного потенциала:1 ∂f (t)ϕ→ϕ−,(47)c ∂tне затрагивающему векторный потенциал (который предполагаетсяне зависящим от времени).
При этом волновые функции электроновдомножаются на фазовые множители (см. [16], § 111):()ieΨ → Ψ expf .(48)~cСверхпроводящий параметр порядка является волновой функциейпар электронов (куперовских пар), поэтому связан с произведениемволновых функций двух электронов, следовательно, его фаза преобразуется как2eφ → φ + f (t).(49)~c21Отсюда ясно, что калибровочно инвариантным будет соотношение∂φ 2e+ ϕ = 0,∂t~(50)переходящее в ∂φ/∂t = 0 при ϕ = 0. Фазу φ и потенциал ϕ в этомсоотношении следует снабдить индексами 1, 2, т. к. оно должно выполняться для каждого из сверхпроводящих берегов. После этого,вычитая одно из другого, получаем2e∂φ= V,∂t~(51)где φ = φ2 − φ1 , V = ϕ1 − ϕ2 .Этот фундаментальный результат теории эффекта Джозефсона,связывающий скорость изменения во времени разности фаз между берегами контакта с напряжением на контакте, очень важен длядальнейшего рассмотрения.
Несмотря на кажущуюся простоту еговывода, он основан на глубоком понимании микроскопической природы сверхпроводящего состояния, связанной с образованием куперовских пар, — именно из этих соображений была получена формула(49).В случае постоянного электрического поля (51) даётφ = φ0 +2eV t,~(52)где φ0 — константа. Поскольку сверхпроводящий ток через контактявляется периодической функцией разности фаз φ, а разность фаззависит от времени линейно, мы сразу приходим к выводу о том, чтопри приложении к джозефсоновскому контакту постоянной разности потенциалов V возникает нестационарный эффект Джозефсона:сверхпроводящий ток становится переменным с частотойωJ =2eV.~(53)При этом явная зависимость тока от времени — вопрос болеесложный, и ответ на него зависит от величины разности потенциалов.
Проще всего случай, когда разность потенциалов мала, так чтоджозефсоновская частота ωJ много меньше характерной для сверхпроводимости частоты ∆/~:~ωJ = 2eV ≪ ∆.22(54)В таком случае нормальная компонента тока (неизбежно возникающая при наличии разности потенциалов) мала, и почти весь токявляется сверхпроводящим, зависящим от времени в соответствии с(18), куда нужно теперь подставить зависящую от времени разностьфаз (52):()2eV(55)Is (t) = Ic sin φ0 +t .~Потребляемая в контакте мощность даётся произведением I(t)V ; еёсреднее (по времени) значение равно нулю, т.
е. систематическая затрата энергии от внешнего источника отсутствует — как и должно быть для сверхпроводящего тока, не связанного с диссипациейэнергии (при этом, конечно, малый нормальный ток, которым мыпренебрегли, будет приводить к слабой диссипации).Для обсуждения более общей ситуации, когда нормальный ток необязательно мал по сравнению со сверхпроводящим, мы рассмотримконтакт в немного другом режиме — не заданного напряжения, азаданного тока.5.2.Резистивная модельПредположим, что контакт находится в режиме заданного тока, анапряжение подстраивается под него в соответствии со свойствамисистемы (такой режим часто изучается в эксперименте).
Пока заданный ток I меньше критического Ic , весь ток переносится куперовскими парами (т. е. сверхпроводящим током). Если же I > Ic , токуперовские пары уже не могут обеспечить такой ток, и в дополнение к сверхпроводящему току возникает нормальная компонента,а значит, и напряжение на контакте, т. к. нормальная компонентасвязана с диссипацией.Обратите внимание, что при I > Ic сверхпроводимость в берегах,а также сверхпроводящая связь между берегами не разрушаются —нормальная компонента тока появляется в дополнение к сверхпроводящей.
Эта ситуация не имеет отношения к так называемому току распаривания объёмного сверхпроводника, связанному с тем, чтокуперовские пары начинают разрушаться при определённой скорости движения, — в таком случае при превышении током соответствующего критического значения сверхпроводимость разрушаласьбы полностью. В джозефсоновском же контакте речь идёт именноо свойствах контакта, и ток Ic мал в силу большого сопротивления23б)a)IInIsInIdIs<<<<RIRCРис.
6. а) Резистивная модель джозефсоновского перехода, включённого вцепь с источником тока. Джозефсоновский контакт обозначен крестиком.Полный ток I состоит из сверхпроводящего тока Is = Ic sin φ и нормального диссипативного тока In . б) Обобщение на случай наличия ёмкости.В полный ток добавляется ток смещения через конденсатор Idтуннельной границы, в частности гораздо меньше тока распаривания берегов.Итак, оказывается, что при I > Ic на контакте возникает напряжение.
Фундаментальным результатом теории эффекта Джозефсонаявляется соотношение (51) между напряжением на контакте и скоростью изменения во времени разности фаз между берегами.Рассмотрим нестационарный эффект Джозефсона в рамках такназываемой резистивной модели, которая прямо вытекает из этойкартины. Полный ток I через систему является суммой сверхпроводящего тока Is , определяемого формулой (18), и нормального токаIn = V /R, где R — сопротивление контакта в нормальном состоянии. Таким образом, джозефсоновский контакт можно представитьв виде параллельного соединения идеального (бездиссипативного)джозефсоновского контакта и сопротивления R (см.
рис. 6а).Используя соотношение (51), получаем уравнение~ ∂φ+ Ic sin φ = I,2eR ∂t(56)определяющее динамику фазы при заданном токе I через контакт.Обратите внимание, что вся микроскопическая информация о контакте содержится в величинах Ic и R, в то время как резистивная24модель принимает эти величины как данные и изучает поведениемакроскопической характеристики контакта — разности фаз φ, которая характеризует сверхпроводящее состояние контакта в целом,т.
е. содержит информацию только о фазе сверхпроводящего конденсата, состоящего из огромного количества электронов.Уравнение (56) на функцию φ(t) интегрируется в элементарныхфункциях, после чего формула (51) при подходящем выборе началаотсчёта времени даётV (t) = RI 2 − Ic2,I + Ic cos ωt(57)где2e √ 2R I − Ic2 .(58)~Итак, если заданный постоянный ток I через контакт превышаеткритический ток контакта Ic , на нём возникает напряжение V , периодически зависящее от времени. Следовательно, джозефсоновскийконтакт начинает излучать электромагнитные волны — это явлениеназывается джозефсоновской генерацией.Усреднение формулы (57) по времени приводит к соотношениюω=2eV = ~ω,(59)имеющему простую физическую интерпретацию: при переходе с одной стороны контакта на другую куперовские пары в среднем приобретают энергию 2eV , которая затем выделяется в виде кванта электромагнитного излучения с частотой ω.Вольтметр постоянного тока, подключенный к переходу, будетпоказывать именно среднее напряжение V , поэтому полученная сего помощью вольт-амперная характеристика будет иметь вид√V = R I 2 − Ic2 ,(60)следующий из формул (59) и (58) и показанный на рис.
7а.Если ток I через переход лишь немного превышает Ic , то в основном он течёт в виде сверхпроводящего тока Is через джозефсоновский элемент на эквивалентной схеме рис. 6а, в то время какнормальный ток мал. Наоборот, при I ≫ Ic почти весь ток течётчерез резистор (I ≈ In ), и вольт-амперная характеристика на этом2522V / Ic RV / Ic R))110I / Ic0102I / Ic0Ir / Ic12Рис. 7.
Вольт-амперная характеристика джозефсоновского перехода.а) Переход без ёмкости. Напряжение на контакте возникает при I > Ic .б) Переход с ёмкостью, β = 5. С увеличением тока напряжение возникает скачком при I > Ic . При уменьшении тока напряжение пропадает притоке захвата Ir , который меньше, чем Ic , т. е. имеет место гистерезисучастке выходит на линейную характеристику перехода в нормальном состоянии.Для джозефсоновского контакта наиболее энергетически выгодным является состояние с разностью фаз, равной нулю (или целомукратному 2π), — при этом ток через контакт отсутствует.
Если жеразность фаз φ ненулевая и через контакт течёт некоторый ток Is , тоэто означает, что в контакте запасена энергия. Найти её можно следующим образом. Будем отсчитывать энергию от энергии при φ = 0и представим себе, что ток Is возник в результате медленного нарастания разности фаз от нуля до φ в течение некоторого времениt.
Если фаза менялась во времени, значит, на контакте возникалонапряжение, и запасённую энергию можно найти как∫tEs =Is V dt,(61)0где V определяется по формуле (51). Подставляя сюда также обычное джозефсоновское соотношение Is = Ic sin φ и переходя к интегрированию по φ, получаемEs = Ec (1 − cos φ),26(62)где~Ic.(63)2eЭнергию (62) называют джозефсоновской энергией.
Джозефсоновский переход можно рассматривать как нелинейный индуктивныйэлемент, запасающий энергию при изменении тока через него.Формула (62) для зависимости Es (φ) применима для случая синусоидальной зависимости сверхпроводящего тока от разности фаз.Это так в туннельном контакте, но в общем случае зависимостьEs (φ) может быть более сложной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
