МУ - Эффект Джозефсона (1183867), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Задача теперьсводится к решению уравнения (4) с граничными условиями (11). Вслучае непрозрачной границы параметр порядка слева давался бывыражением (7), а справа был бы равен нулю. В случае же слабо-14прозрачной границы параметр порядка можно представить в виде{∆0 + δ∆(x), x < 0,∆(x) =(23)δ∆(x), x > 0,где |δ∆(x)| ≪ ∆0 . Линеаризуя уравнения по δ∆(x), получаем[]∂2−2α(T − Tc ) − ~D 2 δ∆ = 0, x < 0,∂x[]∂2′α(T − Tc ) − ~D 2 δ∆ = 0, x > 0,∂x∂∆0δ∆(x = ±0) = −,δ∆(x → ±∞) = 0.∂xΛРешая эти уравнения получим, что{ ∆ κ x− Λκ0 e S , x < 0,Sδ∆(x) =∆0 −κN x, x > 0,Λκ e(24)(25)(26)(27)N√√где κS = 2α(Tc − T )/~D и κN = α(T − Tc′ )/~D.
Схематическаязависимость параметра порядка от координаты приведена на рис. 3б.Легко увидеть, что 1/κS(N ) ∼ ξS(N ) (T ) примерно равно размерукуперовской пары в сверхпроводнике (нормальном металле). Следовательно, условие малости |δ∆(x)| ≪ ∆0 , т. е. ΛκS(N ) ≫ 1, означает,что куперовская пара должна быть много меньше Λ, что может реализоваться при малой прозрачности границы между сверхпроводником и нормальным металлом.Когда это условие не выполняется, линеаризация уравнений ГЛнеприменима и необходимо решать общие нелинейные уравнения.Аналитическое решение в таком случае тоже можно найти (см.
[3, 5]).4.4.Эффект Джозефсона в SINIS-контактеЭффект Джозефсона связан с тем, что в системе устанавливаетсяединый параметр порядка. В туннельном контакте параметр порядка проникал через туннельный барьер. В предыдущем разделе мыубедились в том, что параметр порядка может проникать в нормальный металл. Это означает, что эффект Джозефсона возможен в системе SINIS (контакт двух сверхпроводников через нормальный металл с диэлектрическими прослойками на границах), где он весьма15|D(x)|ij1D0eSNij2D0eSx-L/2L/2Рис.
4. SINIS-контакт. В глубине двух сверхпроводников их параметры порядка отличаются фазами. Показана пространственная зависимость модуля параметра порядка в контактенаглядно проявляется в виде интерференции параметров порядка,приходящих от двух берегов.Количественно эффект Джозефсона в системе SINIS (см. рис. 4)может быть описан в рамках теории ГЛ в тех же предположениях, что и в предыдущем разделе. В отличие от предыдущего раздела необходимо учесть разные фазы в глубине сверхпроводников:∆(x → ∓∞) = ∆0 eiφ1(2) .
Мы найдём решение в нормальной частиконтакта и затем вычислим ток.В граничные условия теперь добавляются фазы:∂∆0 eiφ1δ∆|x=−L/2+0 = −,∂xΛ∂∆0 eiφ2δ∆|x=L/2−0 =.∂xΛ(28)Решение уравнения ГЛ при |x| < L/2 будем искать в виде линейнойкомбинации решений, приходящих от двух берегов:δ∆(x) = c1 e−κN x + c2 eκN x .(29)Из граничных условий (28) находим()()κ L−iφκ L+iφ∆0 ei(φ1 +φ2 )/2 ch N 2∆0 ei(φ1 +φ2 )/2 ch N 2c1 =, c2 =,ΛκN sh(κN L)ΛκN sh(κN L)(30)где φ = φ2 − φ1 .Подставляя полученное решение в формулу (6) для тока (при16SSij2ij1D0eD0eLРис. 5. Слабая связь в виде сужения между двумя сверхпроводниками,L — характерная длина слабой связиA = 0), найдёмjs = 8eaDκN Im[c∗1 c2 ] = jc sin φ,jc =4eaD∆20sh(κN L)NΛ2 κ(31)— ток не зависит от точки, в которой мы его вычисляем, как и должно быть. Интерференция параметров порядка, приходящих от двухберегов, приводит к возникновению комбинации Im[c∗1 c2 ].
Обратитевнимание, что в пределе длинного контакта, т. е. при κN L ≫ 1, критический ток экспоненциально мал: jc ∝ exp(−κN L).4.5.Теория Асламазова и ЛаркинаДо сих пор мы рассматривали туннельные контакты, контакты через нормальный металл, а теперь рассмотрим ещё один тип слабойсвязи — геометрическое сужение (рис. 5). Проанализируем случайкороткого и грязного сужения:l ≪ L ≪ ξ(T ), λ(T ),(32)где λ(T ) — мейсснеровская глубина проникновения магнитного поля в сверхпроводник (см., например, [2]). Основа понимания того,как происходит эффект Джозефсона в таких слабых связях, былазаложена теорией Асламазова и Ларкина [14].Малость L позволяет существенно упростить уравнения ГЛ.
Вопервых, соотношение L ≪ λ даёт возможность в векторном потенциале A, который должен в принципе рассчитываться из уравненийМаксвелла совместно с (4), пренебречь вкладом от токов через слабую связь. Оставшуюся часть A0 , отражающую вклад удалённыхисточников поля, можно представить в виде градиента некоторой17скалярной функции (т. к. для удалённых источников rot A0 = B0 == 0 в области контакта). Но поскольку величина A всегда определена с точностью до такого градиента, мы можем выбрать калибровкуA = A0 = 0, включая тем самым влияние внешних полей в фазу∆. Во-вторых, при L ≪ ξ можно пренебречь в уравнении (4) всемичленами, кроме градиентного, поскольку его величина имеет порядок ~D∆0 /L2 (т.
к. в сужении ∆ меняется на длине L на величинупорядка ∆0 ), в то время как остальные члены порядка α|T − Tc |∆0 .Это означает, что по порядку величины градиентный член большеостальных в (ξ/L)2 раз. Таким образом, уравнение (4) сводится просто к уравнению Лапласа:∇2r ∆ = 0,(33)что позволяет решить задачу до конца даже при произвольной форме слабой связи. Условие больших градиентов физически следует изтого, что большим куперовским парам с размерами порядка ξ труднопроникнуть в узкое сужение с размерами много меньше, чем ξ.Это уравнение нужно решать с граничными условиями:{∆0 eiφ1 , в глубине берега 1,∆=(34)∆0 eiφ2 , в глубине берега 2,n · ∇r ∆|Γ = 0,(35)где Γ — граница слабой связи, n — нормаль к этой поверхности.Последнее условие есть частный случай (12).
Как было замечено вработе Асламазова–Ларкина и можно убедиться прямой подстановкой, решение (единственное) краевой задачи (33) – (35) имеет вид()∆(r) = ∆0 eiφ1 1 − f (r) + ∆0 eiφ2 f (r),(36)где f (r) — действительная функция координат, удовлетворяющаяследующей краевой задаче:∇2r f = 0,n · ∇r f |Γ = 0,{0, в глубине берега 1,f=1, в глубине берега 2.(37)(38)Подставляя решение (36) в (6), получаем для плотности сверхпроводящего тока:js (r) = 4eaD∇r f (r)∆20 sin(φ2 − φ1 ).18(39)Таким образом, плотность тока в каждой точке слабой связи и, следовательно, полный ток пропорциональны sin(φ2 −φ1 ) — аналогичнослучаю туннельного контакта.Выражение (39) для плотности сверхпроводящего тока содержитфункцию f (r), которую при произвольной форме границы найтинельзя.
Однако, даже не зная эту функцию, можно выразить полныйсверхпроводящий ток через сопротивление контакта в нормальномсостоянии. Для этого заметим, что через функцию f (r) выражаетсятакже ток jN через ту же самую слабую связь в нормальном состоянии. Обозначим скалярный потенциал буквой ϕ. Согласно уравнениям Максвелла, он удовлетворяет уравнению Пуассона ∇2r ϕ = −4πρ,где ρ — плотность заряда в проводнике. В проводниках с большойточностью выполняется закон электронейтральности (заряд электронов компенсируется зарядом ионов), поэтому ρ = 0 и ∇2r ϕ = 0в каждой точке проводника, даже когда течёт ток. Очевидно, чторешение краевой задачи для скалярного потенциала ϕ:∇2r ϕ = 0,n · ∇r ϕ|Γ = 0,{ϕ1 , в глубине берега 1,ϕ=ϕ2 , в глубине берега 2,записывается аналогично (36) с той же самой функцией f (r):()ϕ(r) = ϕ1 1 − f (r) + ϕ2 f (r),(40)(41)(42)и поэтому ток в нормальном состоянии:jN (r) = σE(r) = −σ∇r ϕ(r) = σV ∇r f (r),(43)где V = ϕ1 − ϕ2 . Для вычисления полного тока через контакт мыможем проинтегрировать это выражение по любому поперечному сечению S:∫IN = σV∇r f (r) dS,(44)Sчто должно совпадать с обычным законом Ома: IN = V /RN , следовательно, мы получаем формулу для сопротивления контакта внормальном состоянии:∫1= σ ∇r f (r) dS.(45)RNS19Теперь интегрируя (39) по тому же самому сечению S, мы можемзаписать результат в виде Is = Ic sin(φ2 − φ1 ) с критическим током,имеющим такой же вид, как и в туннельном контакте (формула (18)):Ic =π∆20.4eTc RN(46)Заметим, что теория Асламазова–Ларкина не только описываетэффект Джозефсона в слабых связях, но и даёт возможность оченьясно усмотреть его физическое происхождение.
Действительно, формула (36) показывает, что в области слабой связи (где 0 < f < 1) параметр порядка есть линейная суперпозиция двух членов, каждыйиз которых пропорционален значению ∆ в одном из берегов и координатному множителю, плавно спадающему при удалении от данного берега вглубь слабой связи. Таким образом, внутри слабой связипроисходит интерференция двух волновых функций, источникамикоторых являются конденсаты куперовских пар в сверхпроводящихберегах.
Такая интерференция немедленно даёт ток js ∝ sin(φ2 −φ1 ),т. е. эффект Джозефсона.5.5.1.Нестационарный эффект Джозефсона втуннельных структурахОбщие свойстваЭффект Джозефсона, рассмотренный в разделе 4, называют стационарным, т. к. ток через контакт не меняется во времени. Обратитевнимание на очень важную особенность этого эффекта: ток черезконтакт течёт в отсутствие напряжения на контакте и поэтому является бездиссипативным (не сопровождается выделением джоулеватепла).Далее мы будем говорить про туннельные контакты, стационарный эффект Джозефсона для которых был рассмотрен в разделе 4.1.Основной результат этого раздела — формула (18) — сразу же вызывает несколько вопросов: 1) что будет, если к такому контакту приложить напряжение, 2) что будет, если через контакт пустить ток,превышающий критический ток Ic .
Оказывается, что это две стороны одного и того же вопроса. Дело в том, что через джозефсоновский контакт могут течь два разных вида токов: бездиссипативныйсверхпроводящий ток куперовских пар и обычный диссипативный20ток отдельных электронов (сопровождающийся выделением джоулева тепла). Величина каждого из токов определяется условиями,которые мы задаём в берегах контакта.Стационарный эффект Джозефсона имеет место в случае, когда в берегах задана фиксированная разность сверхпроводящих фаз(пример экспериментальной реализации этого случая — рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
