Конспект лекций - Квантовая механика Часть 2 (1183827), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Скорость счета dN/dt –это число частиц, попадающих в детектор в единицу времени. Очевидно, что скорость счета детектора пропорциональна потоку рассеянныхчастиц,dN∼ jрас .dtОтношение скорости счета к потоку падающих частиц называетсядифференциальным сечением рассеяния,dσ =dN/dt,jпад[dσ] = см2 .Поскольку энергия частиц при рассеянии на потенциале не меняется,то речь здесь идет об упругом рассеянии.79Плотность тока частиц в квантовой механике определяется формулой~~j=(ψ ∗ ∇ψ − ψ∇ψ ∗ ) ≡(ψ ∗ ∇ψ − к.с.),2mi2miгде к.с. – это комплексно сопряженная величина.
Для падающего потока имеемjпад = jz |ψ=eikz =~~k~(e−ikz ikeikz − к.с.) =(ik − (−ik)) =.2mi2mimС другой стороны, скорость счета детектора задается выражениемdN= jрас r2 dΩ,dtгдеjрас = jr |ψ=f (θ, φ) eikr =r~2mi ikr ee−ikr ∂f∗f− к.с. .r ∂rrПренебрегая в jрас слагаемыми, которые убывают при r → ∞ быстрее,чем 1/r2 , получим~ik~k1jрас =|f |2−к.с.=|f (θ, φ)|2 2 .2mir2mrТаким образом, для дифференциального сечения упругого рассеяниянаходимdσ(θ, φ) =dN/dt=jпад~km |f (θ,φ)|2 r12 r2 dΩhkm= |f (θ, φ)|2 dΩ.Следовательно решение задачи рассеянии сводится к поиску (вычислению) амплитуды рассеяния f (θ, φ).12.3Функция Грина задачи рассеянияДифференциальное уравнение Шредингера для задачи рассеяниявыглядит следующим образом:~2 k 2~2∆ + U (r) ψ(r) =ψ(r).−2m2mДомножение обеих частей уравнения на 2m/~2 и перегруппировка слагаемых дает2mU (r)(∆ + k 2 )ψ(r) =ψ(r).~280Результат имеет вид уравнения Гельмгольца с ненулевой правой частью.
Ищем решение этого уравнения в виде суммы общего решения ψ0 (r) однородного уравнения,(∆ + k 2 )ψ0 (r) = 0,и частного решения ψ1 (r) неоднородного уравнения,2mU (r)ψ(r),~2(∆ + k 2 )ψ1 (r) =так чтоψ(r) = ψ0 (r) + ψ1 (r).Для нахождения частного решения воспользуемся функцией Грина, G(r − r0 ), которая по определению представляет собой решениеследующего уравнения:(∆ + k 2 )G(r − r0 ) = δ(r − r0 ).Легко видеть, чтоZψ1 (r) =G(r − r0 )2mU (r0 )ψ(r0 )d3 r0 .~2В самом деле, действуя оператором (∆ + k 2 ) на обе части выписанногосоотношения, получимZ2mU (r)2mU (r0 )(∆ + k 2 )ψ1 (r) = δ(r − r0 )ψ(r0 )d3 r0 =ψ(r).~2~2Найдем явное выражение для функции Грина. Для упрощения задачи выберем начало координат таким образом, чтобы вектор r0 оказался равным нулю, так что(∆ + k 2 )G(r) = δ(r).Ищем G(r) в видеZG(r) =A(q) eiqr d3 q.Известно, чтоδ(r) =1(2π)3Zeiqr d3 q.Подставив выписанные выражения в уравнение, получим(−q 2 + k 2 )A(q) =811.(2π)3Откуда следует, чтоA(q) =1.(2π)3 (k 2 − q 2 )Таким образом, функция Грина определяется интеграломZ11eiqr 2d3 q =G(r) =(2π)3k − q2Z ∞Z π2π12=q dq 2eiqr cos θq sin θq dθq .(2π)3 0k − q2 0Осуществляя заменуsin θq dθq = −d cos θq = −dxи вычисляя интеграл по x, находимZπe0iqr cos θqZ1sin θq dθq =e−1iqrx11 iqr1 iqrx =e(e − e−iqr ).dx =iqriqr−1Для G(r) на данном этапе имеемZ ∞ 21q dq 1 iqrG(r) =(e − e−iqr ) =22(2π) 0 k − q 2 iqrZ ∞Z ∞1qdqqdqiqr−iqr==e −e(2π)2 irk2 − q2k2 − q200Z +∞iqdq=eiqr .(2π)2 r −∞ q 2 − k 2Для вычисления этого интеграла воспользуемся теорией вычетов.Поскольку r > 0, то контур интегрирования следует замкнуть в верхней полуплоскости.
Полюсы подынтегрального выражения расположены в точкахq = −k, q = k.Существует 4 возможных варианта обхода двух полюсов. Однако только один из них (а именно, тот, где контур интегрирования охватываеттолько полюс q = k ) позволяет получить ту функцию Грина, котораяприводит к решению с нужной нам асимптотикой. Иначе эту функциюГрина можно получить, выполнив заменуk → k + iε,82где ε – малая положительная величина.
В этом случае имеемG(r) ==i(2π)2 rZ+∞−∞qeiqr dq=(q − (k + iε))(q + (k + iε))qeiqreikri2πiRes|=−.q=k+iε(2π)2 r(q − (k + iε))(q + (k + iε))4πrОкончательный ответ записан в пределе ε → 0. Осуществляя заменуr → r − r0 , для функции Грина общего вида получим0G(r − r0 ) = −12.4eik|r−r |.4π|r − r0 |Интегральное уравнение рассеянияОбщее решение уравнения Шредингера,ψ(r) = ψ0 (r) + ψ1 (r),принимает видψ(r) = ψ0 (r) −1 2m4π ~2Z0eik|r−r |U (r0 )ψ(r0 )d3 r0 .|r − r0 |Это решение является, конечно, формальным. В самом деле, под интегралом в правой части стоит та же неизвестная функция ψ(r), что и влевой части. Поэтому правильнее было бы сказать, что мы выполнилипереход от дифференциального уравнения Шредингера к эквивалентному интегральному уравнению.Заметим, что подынтегральное выражение в правой части отличноот нуля только в области, где r0 < a.
Следовательноr0 < a rпри r → ∞,т.е. при переходе к асимптотике r → ∞ возникает малый параметр r0 /r. Разложение по этому малому параметру дает|r − r0 | ' r − r0 n,и0rn= ,r0eik|r−r |eikr−ikr n'.|r − r0 |r83Мы пренебрегаем всеми слагаемыми в волновой функции, которые сростом r падают быстрее, чем 1/r.Итак, волновая функция ψ(r) в асимптотике принимает видZ ikr −iknr0e emU (r0 )ψ(r0 )d3 r0 =ψ(r)|r→∞ = ψ0 (r) −2π~2rZ0eikr me−iknr U (r0 )ψ(r0 )d3 r0 .= ψ0 (r) −r 2π~2Ранее мы предположили, что волновая функция в асимптотике должна иметь следующую форму:ψ(r)|r→∞ = eikr + f (θ, φ)eikr.rЛегко видеть, что, взяв в качестве решения ψ0 однородного уравненияплоскую волну,ψ0 (r) = eikr ,мы получим точно то, что и ожидали.
При этом амплитуда рассеянияопределяется следующей формулой:Z0mf (θ, φ) = −e−iknr U (r0 )ψ(r0 )d3 r0 .2π~2Таким образом, мы осуществили переход от исходного дифференциального уравнения Шредингера к интегральному уравнениюZ ik|r−r0 |meψ(r) = eikr −U (r0 )ψ(r0 )d3 r0 .22π~|r − r0 |В асимптотике r → ∞ решение этого уравнения имеет требуемый вид.Само уравнение называют интегральным уравнением теории рассеяния.12.5Борновское приближениеРассмотрим отдельно случай, когда потенциал U (r) мал.
Следовательно малым является и вклад второго слагаемого в волновую функцию, так чтоψ ' ψ0 = eikr .Тогда для амплитуды рассеяния мы получим приближенное выражениеZ0 0mf (θ, φ) ' −ei(k−k )r U (r0 )d3 r0 .22π~84Здесь k0 = kn есть волновой вектор рассеянной частицы. Данное приближение называется борновским (или, точнее, 1-м борновским приближением).Условие применимости борновского приближения выглядит следующим образом:|ψ1 | |ψ0 | = 1.Вычисляя для определенности функцию ψ1 (r) в точке r = 0 и считаяпотенциал постоянным в области интегрирования, находимZ eikr0mikr0 3 0 |U|edr 1.2π~2r0Величину U можно приближённо принять за среднее значение потенциала. Далее возможны два случая.1) Медленные частицы, для которых ka 1.
В этом случае, опуская все числовые множители, получимm|U |a21~2⇒|U | ~2.ma22) Быстрые частицы, для которых ka 1. В этом случае под интегралом находится быстро осциллирующая экспонента. Вновь опускаявсе числовые множители, находимm|U |a2 11~2kaЛекция 1313.1⇒|U | ~2ka.ma2Метод парциальных волнИдея методаМы продолжаем обсуждение задачи рассеяния. Примем для простоты, что потенциал является сферически симметричным,U = U (r).Как и ранее считаем, что потенциал отличен от нуля лишь в ограниченной области пространства,U (r) ≡ 0,если r > a.Величину a естественно назвать радиусом потенциала.85Выпишем стационарное уравнение Шредингера с асимптотическимграничным условием,~2 k 2 Ĥψ(r) = Eψ(r), E = 2m > 0,ikr ψ(r) = eikr + f (θ) e , r → ∞.rАмплитуда рассеяния f (θ) не зависит от угла φ. В самом деле, ось Ozвыбрана нами вдоль направления движения падающих частиц.
Поэтому она является осью аксиальной (цилиндрической) симметрии нетолько для сферически симметричного потенциала, но и для волновойфункции падающих частиц,ψ0 (r) = eikr = eikr cos θ ,которая, как видно, не зависит от азимутального угла φ. Следовательно волновая функция рассеянных частиц также не зависит от φ.В силу сферической симметрии потенциала имеют место следующие коммутационные соотношения:[Ĥ, ˆlz ] = 0.[Ĥ, l̂2 ] = 0,Напомним, что [ l̂2 , ˆlz ] = 0, поэтому операторы Ĥ, l̂2 и ˆlz имеют общую систему собственных функций. Следовательно мы вправе искатьчастные решения уравнения Шредингера в видеψ(r) = Rl (r)Ylm (θ, φ).В полярных координатах уравнение Шредингера выглядит следующим образом:!!~21 ∂l̂2~2 k 22 ∂−r−+U(r)ψ(r)=ψ(r).2m r2 ∂r∂rr22mПодставляя в него выписанные частные решения, получим1 ∂l(l + 1)~2 k 2~22 ∂r−+U(r)R(r)=−Rl (r).l2m r2 ∂r∂rr22mЭто уравнение при заданной энергии E = ~2 k 2 /2m > 0 имеет решениядля любого значения орбитального момента,l = 0, 1, 2 .
. .86Поэтому общее решение уравнения Шредингера представляет собойсуперпозицию частных,ψ(r) =Xclm Rl (r)Ylm (θ, φ).lmВ случае сферически симметричного потенциала, как мы уже выяснили, это решение не зависит от угла φ. В то же время имеемYlm (θ, φ) ∼ Plm (cos θ)eimφ .Таким образом, в суперпозицию следует включать только те частныерешения, для которых m = 0. Соответствующие сферические гармоники имеют видr2l + 1Yl 0 (θ) =Pl (cos θ).4πВключим нормировочные постоянные в радиальные функции Rl (r) иперепишем общее решение следующим образом:ψ(r) =XRl (r)Pl (cos θ).lКаждое слагаемое в этой сумме называется парциальной волной. Соответственно данный способ построения решения уравнения Шредингера для задачи рассеяния называется методом парциальных волн.Естественно ожидать, что потенциал U (r) существенно влияетлишь на конечное число слагаемых в выписанной сумме по l.
В самом деле, пусть b – это прицельный параметр падающей классическойчастицы с импульсом p = ~k. Для орбитального момента падающейчастицы относительно начала координат имеемbp = ~l⇒b=l.kЕсли прицельный параметр частицы b превосходит радиус потенциала a, то классическая частица не рассеивается. Соответственно можноожидать, что парциальные волны с орбитальными моментами такими,чтоlb = > a ⇒ l > ka,kтакже не будут испытывать действия потенциала U (r).8713.2Сферические функции Бесселя, Неймана иГанкеляРадиальную функцию Rl (r) удобно представить в виде отношенияRl (r) =ul (r).rДля функции ul (r) тогда получим~2 00~2 l(l + 1)~2 k 2−ul (r) + U (r) +u(r)=ul (r)l2m2mr22mили (после домножения обеих частей уравнения на 2m/~2 )2mU (r) l(l + 1)00−ul (r) ++ul (r) = k 2 ul (r).~2r2Введем безразмерную переменнуюx = kr.Тогда (после деления на k 2 ) уравнение принимает следующий вид:2mU (r) l(l + 1)00+ul (x) = ul (x)−ul (x) +~2 k 2x2илиu00l (x)−2mU (r) l(l + 1)+~2 k 2x2ul (x) + ul (x) = 0.Пустьr>a⇒U (r) = 0.Тогда уравнение для радиальной функции ul (x) принимает «универсальный» (одинаковый для любой задачи рассеяния) видu00l (x) −l(l + 1)ul (x) + ul (x) = 0.x2Аналогичное «универсальное» уравнение может быть выписано длярадиальной функции Rl (x) = ul (x)/x.Если l = 0, тоu000 (x) + u0 (x) = 0,так чтоu0 = sin x или u0 = cos x.88СледовательноR0 (x) =sin xxcos x.xили R0 (x) =В случае l ≥ 1 решениями соответствующих «универсальных» уравнений (справедливых при x > ka) являются следующие функции:l1 dsin xRl (x) = jl (x) ≡ (−x)lx dxxилиRl (x) = nl (x) ≡ (−x)l1 dx dxlcos x.xЭтот результат может быть доказан с помощью метода математической индукции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
