Вопросы к экзамену (1163382)
Текст из файла
Вопросы по статистической физикенеравновесных систем(ч. 2 курса термодинамики и статистической физики)В весеннюю сессию в экзаменационные билеты включаются вопросы и задачи по разделу «Статистическая физика неравновесных систем», перечисленные ниже. В каждом билете будет один «простой»вопрос, одна задача и один «сложный» вопрос, который может быть как теоретическим вопросом, таки задачей.Для получения положительной оценки студент должен за 40 минут предварительной подготовкизаписать полные ответы не менее, чем на два вопроса. С учётом уровня трудности третьего вопросаэкзаменатор вправе выделить для ответа на этот вопрос дополнительное время.Ответ студента на вопросы билета и дополнительные вопросы экзаменатора должен охватыватьвсе разделы весеннего семестра: теорию флуктуаций, основы теории случайных процессов и теориюкинетических уравнений.
Отвечая на дополнительные вопросы, студент должен продемонстрироватьумение использовать формулы теоретического минимума для решения в том числе заранее неизвестныхзадач.Для получения оценки «отлично» требуется полный ответ на все три вопроса билета, включающийкак описание физической природы обсуждаемых понятий и явлений, так и все детали расчётов. Оценка«хорошо» может быть поставлена за ответ на два вопроса, если студент успешно отвечает на вопросыпо теоретическому минимуму, относящиеся к не затронутому в двух вопросах билета разделу курса.«Простые» вопросы1.1 Пользуясь микроканоническим распределением, получить выражение для вероятности крупномасштабной флуктуации в равновесной изолированной системе.1.2 Вывести общую формулу для вероятности заданной малой термодинамической флуктуации в равновесной неизолированной системе из формулы Эйнштейна, связывающей вероятность малой термодинамической флуктуации с изменением энтропии.1.3 Получить выражение для вероятности крупномасштабных флуктуаций в равновесной системе,выделенной нежесткими теплопроводящими стенками из термостата (N = const, остальные параметры флуктуируют), и установить его связь с условиями устойчивости этой системы.1.4 Получить выражение для вероятности крупномасштабных флуктуаций в равновесной системефиксированного объёма, выделенной воображаемыми стенками из термостата (V = const, остальные параметры флуктуируют), и установить его связь с условиями устойчивости этой системы.1.5 Показать, что для системы, выделенной нежесткими теплопроводящими стенками из термостата(N = const, остальные параметры флуктуируют), флуктуационные отклонения температуры иобъёма от их равновесных значений независимы.1.6 Показать, что для системы фиксированного объёма, выделенной воображаемыми стенками из термостата (V = const, остальные параметры флуктуируют), флуктуационные отклонения температуры и общего числа частиц от их равновесных значений независимы.1.7 Записать уравнение Ланжевена для импульса брауновской частицы и получить его формальноерешение при начальном импульсе p(0) = p0 .
Охарактеризовать корреляционную функцию случайного силового воздействия на частицу.1.8 Дать физическую интерпретацию уравнения Фоккера-Планка в трёхмерном пространстве и дополнительных условий к нему. Получить решение уравнения для свободной диффузии в одномерномпространстве.11.9 Получить уравнение Смолуховского для марковского процесса и обсудить его физический смысл.При каких условиях это нелинейное уравнение описывает брауновское движение и более общиедиффузионные процессы?1.10 Используя спектральное представление стационарного случайного процесса, получить спектральную форму условия стационарности. Указать связь между корреляционной функцией и спектральной плотностью процесса.1.11 Определение стационарного марковского гауссовского случайного процесса и математические выражения для его свойств.1.12 Из уравнений Гамильтона для эволюции микроскопического состояния классической системы многих частиц вывести уравнение Лиувилля для плотности вероятности в фазовом пространстве.1.13 Кинетические функции распределения.
Одночастичная функция распределения и связанные с нейфизические характеристики классической неравновесной системы. Ограниченность описания кинетики системы с помощью только этой функции.1.14 Из уравнения Лиувилля получить общую форму кинетического уравнения для одночастичнойкинетической функции распределения. Что такое интеграл столкновений и каким общим требованиям он должен удовлетворять?1.15 Записать кинетическое уравнение с релаксационным членом вместо интеграла столкновений иполучить его стационарное решение в первом порядке по параметру τ .1.16 Сформулировать концепцию самосогласованного поля в системах с дальнодействием.
Получить изпервого уравнения цепочки Боголюбовакинетическое уравнение Власова как нулевое приближениеpпо параметру дальнодействия χD 3 V /N в классической плазме.1.17 Записать кинетическое уравнение Больцмана в пространственно однородном приближении. Охарактеризовать физические ограничения на интеграл столкновений в системах типа газа с короткодействием (отсутствие тройных и массовый характер парных столкновений, подход Боголюбовак описанию кинетической эволюции системы).1.18 Показать, что локальное распределение Максвелла при подстановке в качестве одночастичнойфункции распределения в интеграл столкновений Больцмана обращает его в нуль.
Каков физический смысл соответствующего значения Н-функции?«Трудные» вопросы2.1 Выразить дисперсию числа частиц в макроскопическом объёме через парную корреляционнуюфункцию. Установить аддитивность дисперсии.2.2 Для пространственно однородного классического идеального газа вычислить среднее значение иотносительную флуктуацию числа частиц N1 в некоторой областисосуда объёма V1 . Показать, что√отклонение ∆N1 −N1 от среднего√ значения имеет порядок N и что в пределе N → ∞, V ,V1 → ∞,V1 /V = const, величина ∆N1 / N подчиняется нормальному закону (распределение Гаусса).2.3 С помощью большого канонического распределения Гиббса определить дисперсию энергии системы, выразив её через уравнения состояния системы.
Рассмотреть частные случаи вырожденногоферми-газа и классического идеального газа.2.4 Пользуясь уравнением Ланжевена для импульса брауновской частицы, получить зависимость отвремени дисперсий её импульса и координаты в шкале времени, грубой по сравнению со временемавтокорреляции случайной величины.22.5 Пользуясь уравнением Ланжевена, получить корреляционную функцию ∆x(t)∆x(t + ∆t) отклонения координаты брауновской частицы от среднего на временах, больших по сравнению со временемзабывания начальных условий. Происходит ли выход на стационарный режим?2.6 Вывести одномерное уравнение Фоккера-Планка для марковского процесса диффузионного типаиз уравнения Смолуховского.2.7 Вывести первое уравнение цепочки Боголюбова для кинетических функций распределения из уравнения Лиувилля.2.8 Получить формулу Найквиста для спектральной плотности теплового шума сопротивления R притемпературе θ в полосе частот ∆ν.2.9 С помощью кинетического уравнения с релаксационным членом в приближении τ = const оценитькоэффициент внутреннего трения термически однородного классического газа.2.10 Линеаризуя уравнение Власова для классического электронного газа в компенсирующем поле положительно заряженных тяжёлых ионов, получить систему уравнений для эволюции слабонеравновесного состояния.2.11 Дать качественный вывод кинетического уравнения Больцмана для пространственно однородногогаза с короткодействием (без использования цепочки Боголюбова).2.12 Доказать лемму Больцмана и получить из неё H-теорему Больцмана.
Какова причина появлениянеобратимости во времени полученного результата? Обсудить парадокс Лошмидта.2.13 Выполнить линеаризацию кинетического уравнения Больцмана в пространственно однородномслучае.Задачи3.1 (3) Получить выражение для вероятности обнаружить N1 частиц в микроскопическом объёме V1 ,выделенном внутри сосуда объёма V с N частицами пространственно однородного равновесного идеального классического газа, в пределе N → ∞, V → ∞, V /N = υ = const, V1 = const(распределение Пуассона).3.2 (5) Полагая вылеты отдельных электронов из катода независимыми друг от друга, а вероятностьотдельных вылетов за малый интервал времени τ пропорциональной τ , показать, что дисперсияполного заряда, испущенного с катода за время t, равна eIt, где I - средний ток эмиссии.3.3 (9) С помощью большого канонического распределения Гиббса определить корреляцию флуктуаций энергии и числа частиц в системе, выразив её через уравнения состояния системы.
Рассмотретьчастный случай равновесного излучения.3.4 (7) С помощью большого канонического распределения Гиббса определить дисперсию числа частицв системе, выразив её через уравнения состояния системы. Рассмотреть частные случаи вырожденного ферми-газа и классического идеального газа.3.5 (12) Определить дисперсию и относительную флуктуацию чисел заполнения равновесных идеальных бозе-газа (выше температуры его конденсации), ферми-газа и невырожденного идеальногогаза.3.6 (18) Для системы с фиксированным числом частиц определить корреляции (∆θ∆S)N , (∆p∆V )N .33.7 (20) Для системы фиксированного объёма, выделенной воображаемыми стенками, определить корреляции (∆θ∆S)V , (∆µ∆N )V .3.8 (36) Найти решение уравнения Фоккера-Планка на бесконечной прямой в однородном поле силытяжести, если в начальный момент блуждающая частица имела координату x0 .3.9 (35) Найти решение одномерного уравнения Фоккера-Планка на полупрямой x > 0, полагая, что вначальный момент блуждающая частица имела координату x0 > 0, внешнего поля нет, а в точкеx = 0 расположена непроницаемая для частиц стенка.3.10 (29) Пользуясь уравнением Ланжевена, получить корреляционную функцию ∆p(t)∆p(t + ∆t) отклонения импульса брауновской частицы от среднего в шкале времени, грубой по сравнению современем автокорреляции случайной силы.3.11 (30) Определить в грубой шкале времени t τ корреляцию отклонений импульса и координатыбрауновской частицы от своих средних значений ∆p∆x и оценить эту корреляцию в случае τ 1/Γ(τ - время автокорреляции случайной силы, Γ - коэффициент вязкости среды).3.12 (33) Представляя условную вероятность ρ(x0 |x, ∆t) при ∆t → 0 в виде двух слагаемых, характеризующих вероятность брауновской частице за время ∆τ остаться в точке x и вероятность за это жевремя с некоторой интенсивностью перехода ω(x0 |x) оказаться в точке x0 6= x, придать уравнениюСмолуховского форму уравнения кинетического баланса.3.13 (41) Найти корреляционную функцию Fζ (t) и соответствующую ей спектральную плотность Jζ (ω)˙случайного процесса ζ(t) = ξ(t),если корреляционная функция Fξ (t) = ξ(0)2 exp(−Γ|t|).3.14 (40) Стационарный случайный процесс ξ(t) характеризуетсяспектральной плотностью J(ω).
НайтиR1 tспектральную плотность процесса η(t) = τ t−τ ξ(s)ds (τ - заданный положительный параметр).3.15 (47) В момент времени t = 0 разряженный конденсатор емкости C замыкают через проводниксопротивления R, находящийся при температуре θ. Найти средний квадрат заряда на конденсатореQ(t) при t RC.3.16 (48) Оценить интенсивность случайного силового взаимодействия молекулярной среды на брауновскую частицу в полосе частот ∆ω, выбираемой произвольно в диапазоне 0<ω<Γ0 (1/Γ0 - времяавтокорреляции случайной силы).3.17 (53) С помощью кинетического уравнения с релаксационным членом оценить в стационарном приближении коэффициент теплопроводности χ газа, находящегося при постоянном давлении, в приближении τ = const, если известны температура θ, средняя концентрация n и масса одной частицыm.3.18 (56) С помощью кинетического уравнения с релаксационным членом оценить в стационарном приближении коэффициент проводимости невырожденного электронного газа при постоянной температуре в приближении τ = const, если известны температура θ, средняя концентрация n, заряд eи масса m одного электрона.3.19 (59) Доказать H-теорему на основе уравнения кинетического баланса, предполагая матрицу интенсивностей перехода симметричной.4Вопросы теорминимумаКаждый студент, сдающий экзамен по термодинамике и статистической физике, должен быть всостоянии по памяти, без предварительной подготовки ответить на следующие вопросы (примерныеответы приведены в рамках).
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
