Т. Кормен, Ч. Лейсерзон, Р. Риверст, К. Штайн - Алгоритмы. Построение и анализ (2013) (1162189), страница 187
Текст из файла (страница 187)
В частности, в строке 4 выделяется память для временного массива Т с п элементами для хранения результатов рекурсивной сортировки слиянием. В строке 5 вычисляется индекс о в подмассиве А[р .. г], разделяющий элементы на два подмассива — А [р ..
о] и А[о+ 1 .. г],— которые будут отсортированы рекурсивно, а в строке 6 вычисляется юличество 9' элементов в первом подмассиве А[р.. д], которое в строке 8 используется для определения начального индекса в Т, указывающего, где будут храниться отсортированные элементы подмассива А[9 + 1 .. г]. После этого выполняются рекурсивные запуск н вызов, после чего инструкция зупс в строке 9 обеспечивает ожидание процедурой завершения запущенной подпрограммы. Наконец строка 10 вызывает Р-МЕКОЕ для слияния отсортированных подмассивов, находящихся в Т[1 .. о'] и Т[о' + 1 .. п], в выходной подмассив В[в .. в + г — р].
Анализ многопоточной сортировки слиянием Начнем с анализа работы РМБ1 (п) процедуры Р-МЕКОЕ-БОКт, юторый значительно проще анализа работы процедуры Р-МЕКОЕ. Действительно, работа определяется рекуррентным соотношением РМБз(п) = 2 РМБ1(п(2) + РМ,(п) = 2 РМБ1(и/2) + ее(п) . Это рекуррентное соотношение такое же, как и рекуррентное соотношение (4.4) для обычной процедуры Мекое-Бокт из раздела 2.3.1 и имеет решение РМБ1(и) = ее(и 18 и) согласно случаю 2 основной теоремы.
Глава 27. йтногоноточные алгоритмы Теперь выведем и проанализируем рекуррентное соотношение для интервала РМБ (и) в наихудшем случае. Поскольку два рекурсивных вызова Р-МнкпнБокт в строках 7 и 8 работают логически параллельно, можно игнорировать один из них, получив, таким образом, рекуррентное соотношение РМБ,(п) = РМЯ (п(2) + РМ (п) = РМЯ, (п12) +аз(18~п) .
(27. 10) Как и в случае рекуррентного соотношения (27.8), основная теорема неприменима к рекуррентному соотношению (27.10), но мы можем воспользоваться упр. 4.6.2. Решение рекуррентного соотношения имеет вид РМБ (п) = та(18з п), так что интервал процедуры Р-Мнкон-Яокт равен еа(18зи). Параллельное слияние обеспечивает процедуру Р-Мнксн-Бокт значительным преимуществом в плане параллелизма по сравнению с процедурой Мнкон-Бокт'. Вспомним, что уровень параллелизма процедуры МНКОН-ЯОКт', которая вызывает последовательную процедуру Мцбн, составляет всего вз(18п). В случае процедуры Р-МНКОН-БОКт уровень параллелизма равен РМЯ~(~)КРМБ (п) = й(~1~~)/9(1~~ п) = тз(п/18 п), что гораздо лучше как с теоретической, так и с практической точек зрения. Хорошая практическая реализация может пожертвовать некоторой долей параллелизма, огрубляя базовый случай, чтобы снизить скрытую в асимптотических обозначениях константу.
Наиболее простой путь такого огрубления базового случая— при достаточно малом размере массива использовать обычную последовательную сортировку (вероятно, наиболее подходящий вариант — быстрая сортировка). Упражнения 27.3.1 Поясните, как огрубить базовый случай процедуры Р-Мнкж 27.3.2 Вместо поиска медианного элемента в большем подмассиве, как это делается в процедуре Р-Мнив, рассмотрите вариацию алгоритма, в которой выполняется поиск медианного элемента двух отсортированных подмассивов с использованием результата упр.
9.3.8. Запишите псевдокод эффективной многопоточной процедуры слияния, которая использует такую видоизмененную процедуру поиска медианы. Проанализируйте свой алгоритм. 273.3 Разработайте эффективный многопоточный алгоритм для разбиения массива относительно опорного элемента, как это делается в процедуре РАкт[тюи на с.
199. От вас не требуется разбиение массива "на месте", без привлечения дополнительной памяти. Сделайте свой алгоритм максимально параллелизуемым. Проанали- Часть ед. Избранные тены зируйте его. (Указание: вам может понадобиться вспомогательный массив и вы- полнение более одного прохода по входным злементам.) 27.3.4 Разработайте многопоточную версию процедуры Кнсскячв-РЕТ, приведенной на с. 953.
Сделайте свой алгоритм максимально параллелизуемым. Проанализируйте его. 27.3.5 * Разработайте многопоточную версию процедуры йлмэом~хвп-бн.нст, приведенной на с. 246. Сделайте свой алгоритм максимально параллелизуемым. Проанализируйте его. (Указание: воспользуйтесь алгоритмом разбиения нз упр, 27.3.3.) 27.3.6 * Покажите, как сделать многопоточным алгоритм Бвьвст из раздела 9.3.
Сделайте свой алгоритм максимально параллелизуемым. Проанализируйте его. Задачи 27.1. Реализация нараллельных циклов с использованием вложенного «араллелизма Рассмотрим следующий многопоточный алгоритм для выполнения попарного сложения и-элементных массивов А(1.. и] и В(1 ..
и] с сохранением суммы в С(1..п]. Бсм-Аккл з'Б(А, В, С) 1 рагайе! аког з' = 1 го АЛепуЯ 2 С(з] = А(з] + В (з] а. Перепишите параллельный цикл в Бвм-Акклух с использованием вложенного параллелизма (аразвп и аупс) в духе процедуры Млт-Час-Млпч-(.оот. Проанализируйте уровень параллелизма своей реализации. Рассмотрим следующую альтернативную реализацию параллельного цикла, которая содержит некоторое задаваемое значение дгазп-зззе. Бсм-Акклуз'(А, В, С) 1 и = А.1епд16 2 утат-ззге = ? // Задается отдельно 3 т = (и/дтазп-язе] 4 (ог)с =Осот — 1 5 араззп Авв-бцвлкклу(А, В,С, )с дтат-язе+ 1, ш(л((к + 1) дтат-язе, и)) 6 зупс В45 Глаеа 27. Миалааааачиые алгаршпмы А110-80ВАККАЧ(А, В, С, с, 1) 1 1ог 1с = с' 1о 2 2 С[)с] = А[/с]+ В[к] б.
Предположим„что мы устанавливаем дга(п-л(ге = 1. Каков уровень параллелизма этой реализации? в. Запишите формулу, выражающую интервал процедуры 815м-АккАчз' через и и дга1п-атее. Получите значение дпип-еие, максимизнрующее уровень параллелизма. 27.2. Экономия временно используемой ппмятп прп умножении матриц Процедура Р-Млтк1х-Мпьт1Рьч-Кес15кз1че имеет тот недостаток, что она должна выделять память для временной матрицы Т размером и х и, что может отрицательно сказаться на значении юнстанты, скрытой в сз-обозначении.
Однако процедура Р-МАтк1х-Мцьт1Рьч-Кеьцкз!че обладает высоким уровнем параллелизма. Например, если игнорировать юнстанты в сз-обозначении, параллелизм при умножении матриц размером 1000 х 1000 достигает оюло 1000~/10 = 10~, поскольку 181000 — 10. Большинство параллельных компьютеров имеет существенно меньше 10 миллионов процессоров... ж Разработайте рекурсивный многопоточньш алгоритм, который обходится без временной матрицы Т ценой увеличения интервала до сз(п).
(Укозокиес вычислите С = С + АВ, следуя обшей стратегии процедуры Р-МАтк1ХМш.т!Р1л'-кеспкз1че, но инициализируя С параллельно и вставляя аупс в тщательно выбранные места.) б. Запишите и решите рекуррентные соотношения для работы и интервала своей реализации. в. Проанализируйте уровень параллелизма своей реализации. Оцените, игнорируя юнстанты в О-обозначениях, уровень параллелизма для матриц размером 1000 х 1000. Сравните его с уровнем параллелизма процедуры Р-МАТк1ХМььт!Рьч-кесыкз1че. 273. Многопоточные малпрпчпые алгоритмы а Разработайте параллельный вариант процедуры 1Л)-ПесомРоз1т1озс, приведенной на с. 861, и запишите псевдокод многопоточной версии этого алгоритма.
Добейтесь максимального уровня параллелизма своей реализации н проанализируйте ее работу, интервал и уровень параллелизма. б. Выполните то же самое для процедуры 1Л)Р-ПЕсомгоз1Т101ч, приведенной на с. 864. в. Выполните то же самое для процедуры ШР-Боьче, приведенной на с. 857. 846 Часть РИ. Избранные темы * Выполните то же самое для многопоточного алгоритма, основанного на уравнении (28.13) для обращения симметричной положительно определенной матрицы. 27.4.
Многолоазочные лриведение и вычисление лрефикса 3-лривеоением (3-гебпсйоп) массива х[1 .. и], где 3 представляет собой ассоциативный оператор, является значение у = х[1] З х[2] З ° З х[п] . Приведенная далее процедура вычисляет З-приведение подмассива х[з ..Я по- следовательно. Кнппсн(х, г', г) 1 у =х[з] 2 Гог )с = 3+ 1 со з 3 р = у З х[(с] 4 гегигп у а. Воспользуйтесь вложенным параллелизмом для реализации многопоточного алгоритма Р-Кепг1сн, который выполняет те же действия с работой 6(п) и интервалом 9(18 п). Проанализируйте свой алгоритм. Еще одна задача связана с вычислением 3-лрефикса (3-ргебя сощрпга1юп), иногда именуемого В-сканированием (З-зсап), для массива х[1..п], где 3 представляет собой ассоциативный оператор.
З-сканирование генерирует массив у[1 .. и[, определяемый как у[1] = х[1] у[2] = х[1] З х[2], р[З] = х[1] Зх[2] Зх[З], у[п] = х[1] З х[2] З х[З] З ° ° З х[п], т.е. все префиксы массива х "суммируются" с использованием оператора З.
Вычисление З-префикса можно выполнить с помощью следующей последовательной процедуры Бслм. Ясли(х) ! п = х.1епус1з 2 у[1., п] — вновь созданный массив 3 у[1] = х[1] 4 Гоге'=2гоп 5 у[1] = у[з — 1] З х[з] 6 гегпгп у Глава 27. Миогоооточтве алгоритлеы о47 К сожалению, многопоточная версия Бслгч далеко не очевидна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
