Главная » Просмотр файлов » Т. Кормен, Ч. Лейсерзон, Р. Риверст, К. Штайн - Алгоритмы. Построение и анализ (2013)

Т. Кормен, Ч. Лейсерзон, Р. Риверст, К. Штайн - Алгоритмы. Построение и анализ (2013) (1162189), страница 155

Файл №1162189 Т. Кормен, Ч. Лейсерзон, Р. Риверст, К. Штайн - Алгоритмы. Построение и анализ (2013) (Т. Кормен, Ч. Лейсерзон, Р. Риверст, К. Штайн - Алгоритмы. Построение и анализ (2013)) 155 страницаТ. Кормен, Ч. Лейсерзон, Р. Риверст, К. Штайн - Алгоритмы. Построение и анализ (2013) (1162189) страница 1552019-09-19СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 155)

24.3.8 Пусть С = (У. Е) — взвешенный ориентированный граф с весовой функцией щ: Š— > (О, 1,..., И'), где И' — некоторое целое неотрицательное число. Модифицируйте алгоритм Дейкстры так, чтобы он вычислял кратчайшие пути из заданной вершины а за время 0(И'У + Е). 24.3.9 Модифицируйте алгоритм из упр. 24.3.8 таким образом, чтобы он выполнялся за время 0((У + Е) 18 И'). (Указалае7 сколько различных оценок кратчайших путей для вершин из множества У вЂ” Я может встретиться одновременно?) 24.3.10 Предположим, что имеется взвешенный ориентированный граф С = (У, Е), в котором веса ребер, исходящих из некоторого истока а, могут быть отрицательными, веса всех других ребер неотрицательные, а циклы с отрицательными весами отсутствуют. Докажите, что в таком графе алгоритм Дейкстры корректно находит кратчайшие пути из истока ж 24.4.

Разностные ограничения и кратчайшие пути В главе 29 изучается общая задача линейного программирования, в которой нужно оптимизировать линейную функцию, удовлетворяющую системе линейных неравенств. В этом разделе исследуется частный случай задачи линейногс программирования, который сводится к поиску кратчайших путей из одной вер- 703 Глава 24. Кратчайшие луши ез одной вершины шины. Полученную в результате задачу о кратчайших путях из одной вершины можно решить с помощью алгоритма Беллмана — Форда, решив таким образом задачу линейного программирования. Линейное программирование В обобщенной задаче линейного арограммнроаання (!!пеаг-ргойгапцшлд ргоЫеш) задаются матрица А размером гп х и, из-компонентный вектор Ь и и- компонентный вектор с.

Нужно найти состоящий из и элементов вектор х, максимизнрующий целевую функцию (о!зесг1че йшсз!оп) 2,. с,хо на которую наклвдывается гп ограничений Ах < Ь. Несмотря на то что время работы симплекс-алгоритма, который рассматривается в главе 29, не всегда является полиномиальной функцией от размера входных данных, существуют другие алгоритмы линейного программирования с полиномиальным временем работы. Имеется несколько причин, по которым важно понимать, как устроены задачи линейного программирования. Во-первых, если известно, что некоторая задача приводится к задаче линейного программирования с полиномиальным размером, то отсюда непосредственно следует, что для такой задачи существует алгоритм с полиномиальным временем работы.

Во-вторых, имеется большое количество частных случаев задач линейного программирования, для которых существуют более производительные алгоритмы. Например, задача о кратчайшем пути между парой заданных вершин (упр. 24.4.4) и задача о максимальном потоке (упр. 26.1.5) являются частными случаями задачи линейного программирования. Иногда не имеет значения, какой вид имеет целевая функция; достаточно найти произвольное допустимое решение ((еав1Ые во!цйоп), т.е. любой вектор х, удовлетворяющий неравенству Ах < Ь, или убедиться, что допустимых решений не существует. Сосредоточим внимание на таких задачах сугцествоаання (геав!ЬВ1!у ргоЫеш).

Системы разиостных ограничений В системе разностнык ограннченнй (вувГеш о! б!(1егепсе сопвзгашгв) каждая строка в матрице линейного программирования А содержит одно значение 1 и одно значение — 1, а все прочие элементы в этой строке равны О.

Другими словами, ограничения, заданные системой неравенств Ах < Ь, представляют собой систему гп разностнык ограниченой (Ййегепсе сопя!та!пГв), содержащих и неизвестных. Каждое ограничение в этой системе — обычное линейное неравенство вида хз х <Ь| где 1 < з, 2 < и, ( ф 2' и 1 < й < гп. Часть 17. алгоравмы дм работы с графама Рассмотрим, например, задачу поиска 5-компонентного вектора х = (х,), удовлетворяющего системе неравенств х1 Х2 хз < х4 хь Эта задача эквивалентна поискУ неизвестных величин хм хз, хз,х4, хз, Удовле- творяющих восьми разностным ограничениям: Одним из решений этой задачи является х = ( — 5, — 3, О, — 1, — 4), что можно проверить прямой подстановкой.

На самом деле эта задача имеет множество решений. Например, еще одно решение — х' = (О, 2, 5, 4, 1). Эти два решения взаимосвязаны: разность между любой парой соответствующих компонентов векторов х' и х равна 5. Этот факт — не простое совпадение. Лемма 24,В Пусть х = (хмхз,...,х„) является решением системы разностных ограниче- ний Ах < Ь, а д — произвольная константа. Тогда х+с( = (х1+с(, хз+с(,..., х„+И) также является решением системы Ах < Ь. Двказвшельсшвв.

Для каждой пары переменных х; и х можно записать соотношение (х; + с() — (х + с() = х; — хг. Таким образом, если вектор х удовлетворяет системе неравенств Ах < 5, то ей удовлетворяет и вектор х + с(. Системы разностных ограничений возникают в самых разнообразных приложениях. Например, неизвестные величины х; могут обозначать моменты времени, в которые происходят события. Каждое ограничение можно рассматривать как требование, при котором между двумя событиями должно пройти некоторое время, не меньшее (или не большее) некоторой заданной величины. Возмоясно. этн события — задания, которые необходимо выполнить в процессе сборки нею.= 1 — 1 О 1 О О О 1 Π— 1 О 1 — 1 ΠΠΠΠ— 1 ΠΠ— 1 ΠΠΠΠΠΠ— 1 О -1 О О 1 О 1 О О 1 -1 1 хз — хз< О, х1 — хь < -1, х2 хь< хз — х1< 5, х4 хз< 4, х4 — хз < — 1, хь — хз < -3, хь — х4 < — 3.

Π— 1 1 5 4 -1 — 3 -3 (24.3) (24.4) (24.5) (24.6) (24Л) (24.8) (24.9) (24.10) 705 Глава 24. Краычайыие арии ил адиай вврыииы торого изделия. Например, если в момент времени х1 применяется клей, время фиксации которого — 2 часа, а деталь будет устанавливаться в момент времени хг, то необходимо наложить ограничение хг > х| + 2, или, что эквивалентно, х1 — хг < — 2.

При другой технологии может потребоваться, чтобы деталь устанавливалась после применения клея, но не позже, чем когда он "схватится" наполовину. В этом случае получаем пару ограничений хг > х5 и хг < х1 + 1, нли, что эквивалентно,х1 — хг < 0 и хг — х1 < 1. Графы ограничений Системы разностных ограничений можно рассматривать с точки зрения теории графов. Идея заключается в том, что в системе разностных ограничений Ах < Ь матрицу задачи линейного программирования А размером т х и можно рассматривать как транспонированную матрицу инцидентности (см.

упр. 22.1.7) графа с и вершинами и т ребрами. Каждая вершина е, графа при 1 = 1, 2,..., п соответствует одной из и неизвестных переменных х,. Каждое ориентированное ребро графа соответствует одному из т независимых неравенств, в которое входят две неизвестные величины. Если выражаться формальным языком, то заданной системе разностных ограничений Ах < Ь сопоставляется граф ограничений (сопзПашг йгарй), представляюший собой взвешенный ориентированный граф С = (17, Е), в котором Е = ((ип о ): х — х, < Ьь является ограничением) 15((оо о1) (юо,ог) (оо оз) (оо ои)) .

Вскоре станет понятно, что дополнительная вершина со вводится для того, чтобы в графе имелась вершина, из которой гарантированно была достижима любая другая вершина. Таким образом, множество К состоит из вершин ип каждая из которых соответствует неизвестной х„и дополнительной вершины ео. В множестве ребер Е на каждое разностное ограничение приходится по одному ребру; кроме того, в это множество вхсдят ребра (ео,ли), каждое из которых соответствует неизвестной величине х,. Если накладывается разностное ограничение х. — х, < Ьь, это означает, что вес ребра (ип о ) равен ш(ю,,оэ) = Ьь.

Вес каждого ребра, исходящего из вершины оо, равен О. На рис. 24.8 приведен граф ограничений для системы разностных ограничений (24.3)-(24.10). Из приведенной ниже теоремы видно, что решение системы разностных ограничений можно найти пугем определения весов кратчайших путей в соответствуюШем графе ограничений. Теореме 24. 9 Пусть С = (17, Е) представляет собой граф ограничений, соответствующий заданной системе разностных ограничений Ах < Ь.

Если граф С не содержит циклов Чаешь Гй Алгоритмы длл раоомы с графами Рнс. 24.8. Граф ограничений длл системы раэносппат ограничений (24.3К24.10). В канвой вершине ог указано значение 6(ео, о,). Одно допустимое решение этой системы имеет вид х = ( — о, -3, О, — 1, -4). с отрицательным весом, то вектор х = (б(ио, иг), б(ио из) . б(ио и )) (24.11) является допустимым решением системы. Если граф г содержит циклы с отрицательным весом, то допустимых решений не существует.

Характеристики

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6559
Авторов
на СтудИзбе
299
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее