Л.И. Хейфец, Б.Н. Окунев - Определение коэффициента теплообмена (1160029), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Для прямой трубкикритическое число Рейнольдса равно 2200.Имеется большое число исследований процесса теплообмена для внутренней задачи,результаты которых систематизированы в виде полуэмпирических формул. Для ламинарногорежима течения жидкости в трубке при Pe.d/L > 50 получено точное аналитическое выражение:Nu = 1.615 (Re Pr d/L)1/3Для других случаев в литературе имеется много полуэмпирических формул типа (2.13).Приведем часто используемое соотношение для определения числа Нуссельта при течении втрубе в случае турбулентного режима (при Re>10Nu ≅ 0.03 Re0.8 Pr0.434):11Внешняя задача.
Аналогичным образом следует оценить характер течения жидкости вобъеме термостата вокруг змеевика. Прежде всего, мы должны оценить характерную скоростьтечения жидкости и характерный масштаб области течения. В качестве характерного масштабапри вычислении числаNuследует выбрать характерный размер области, занимаемойжидкостью. В данном случае это размер термостата dT.
Конструктивные особенностинагреваемого аппарата приводят нас к необходимости при вычислении числа Рейнольдсаоценивать скорость течения жидкости так же, как и во внутренней задаче, а в качествехарактерного размера брать величину dT.Для случая внешней задачи в литературе также имеется много формул типа (2.13).Приведем одну из них:Nu ≈0.9Re0.62 Pr0.33.3.4.
Математическая модель процесса теплообмена между текущей в трубке горячейжидкостью и нагреваемой жидкостью во втором термостате.Выведем дифференциальные уравнения, которые описывают изменение температурыжидкостивтрубкезмеевикаивобъеменагреваемойжидкости.Рис. 4. К выводу уравнения теплового баланса для элемента трубки, по которой течет нагревающаяжидкость. Стрелками показаны тепловые потоки.Температура нагревающей жидкостиизменяется в каждой точкеzTg внутри змеевика в рассматриваемый момент времени tтрубы (координатная ось направлена вдоль трубы) вследствиетеплообмена с внешней жидкостью.
Соответственно, изменяется температура T2 нагреваемойжидкости, которую вследствие интенсивного перемешивания можно рассматривать какимеющую одинаковую температуру во всем объеме (условие однородности нагреваемойжидкости). Рассматривая изменение внутренней энергии в элементе трубки, ограниченномкоординатами z и z+dz, в интервале времени между t и t+dt (рис. 4) и в объеме жидкости иследуя определению теплового потока (3.5), получим систему уравнений теплового баланса ввиде:12∂Tg∂Tg2c1 J g+ c1 ρ1πr= 2πrα ( T2 − Tg )∂z∂tc2 M 2(3.7)L∂T2= 2πrα ³0 dz (Tg − T2 )∂t(3.8)Начальные и граничные условия соответствуют условиям постановки эксперимента - на входе взмеевик температура жидкости всегда равна температуре жидкости в термостате 1, а0температура во 2-м термостате в начале эксперимента равна T 2:Tg(z=0,t) = T1(t)(3.9)0T2(t=0) = T 2,причем T1(t)> T0 2 .Кроме того, обозначим температуру жидкости в первом термостате перед0началом эксперимента через T 1.3.5.
Безразмерная форма уравнений теплообмена между текущей в трубке горячейжидкостью и нагреваемой жидкостью во втором термостате.Выберем следующие масштабы для переменных, входящих в уравнения: (3.7) -(3.9):-0T02) ; сдвинем ноль на шкале температур в точку T02;длина: h = c1Jg/(2πrα); назовем эту величину высотой единицы переноса;время: tα = C2M2/(2πrLα); это время, которое необходимо для нагрева жидкости массойM2 путем теплообмена с трубкой длиной L и радиусом r при постоянной движущей силе,температура: (T 1 -т.е. выбранный масштаб времени является характерным для рассматриваемого процесса.Новые безразмерные переменные будут иметь вид:-температура жидкости в трубеθg = (Tg - T02) / (T01 - T02);-температура жидкости в объемеθ2 = (T2 - T02) / (T01 - T02);-температура жидкости в горячем термостате θ1 =-длинаη=z/h;-времяτ = t/tα.(T1 - T02) / (T01 - T02);Нетрудно убедиться, что при обезразмеривании уравнений (3.7) - (3.9) перед производнойпо времени от температуры внутри трубки появится коэффициент τрел =(сgρg/c2ρ2)⋅(объемтрубки / объем термостата).
Поскольку τрел<<1, в уравнениях опустим член, содержащий13производную по времени от температуры жидкости внутри змеевика, т.е. не будем учитыватьпереходные процессы на временах порядка 0 < τ < τрел . Это значит, что спустя время τрелсистема релаксирует, т.е. “забывает” начальное распределение температуры, и внутри трубкиустанавливается квазистационарный профильуравнений (3.7) - (3.8) примет вид:θg(η,τ).С учетом всего сказанного система∂θ g= (θ2 − θ g )∂η(3.10)∂θ2 1 N=dη θg (η,τ ) − θ2 (τ )∂τ N ³0()(3.11)с начальными и граничными условиямиθg(η=0,τ) = θ1(τ), θ2(τ=0) = 0(3.12)В уравнении (3.11) появился новый безразмерный параметрN = 2πrαL/c1Jg(3.13)называемый в физико-химической литературе Number Transfer Unit (число единиц переноса всистеме).
Число единиц переноса пропорционально коэффициенту теплообменаплощади теплообмена.αи общей3.6. Уравнение для изменения температуры во втором термостате.В силу того, что дифференциальное уравнение (3.10) содержит только производную попространственной переменной η, то в каждый фиксированный момент времени τ уравнение(3.10) представляет собой линейное неоднородное дифференциальное уравнение по переменнойηотносительно функцииθg .Решение такого уравнения представимо в виде суммы решенияоднородного уравнения с граничным условием (3.12) -θ1(τ).exp(-η),и частного решенияθ2(τ) (1-exp(-η)).Таким образом, мы знаем распределение температуры по длине трубки:θg(η,τ).= θ1(τ).exp(-η) + θ2(τ) (1-exp(-η)).(3.14)Подставив это выражение в уравнение (3.11), получим уравнение, содержащее толькотемпературы термостатов14dθ2=dτ(1− ex p(− N ))(θ 1 − θ 2N)(3.15)4.
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬОпределение коэффициента теплообменав изолированной системе при выравнивании температур.Нагреем воду в первом термостате перед началом эксперимента до некоторой температуры T(2)(1)(1)0.Температура воды во втором термостате в начале эксперимента равна T 0 < T 0. Привключенных мешалках в обоих термостатах включим насос циркуляционного контура и будемследить во времени за выравниванием температуры в этой изолированной системе. Данная задачаявляется композицией частных случаев двух задач:• задача в более холодном термостате 2 разобрана выше (3.10) – (3.12).• задача в горячем термостате 1 несколько проще.
Выходящая из змеевика в моментвремени τ частично остывшая вода с температурой θg(N,τ) смешивается с жидкостью в объеметермостата 1 с температурой θ1(τ). Перемешивание двух жидкостей с разной температурой(выходящей из змеевика и находящейся в объеме термостата) вследствие интенсивногоперемешивания можно представить как практически мгновенное установление тепловогоравновесия между втекающей жидкостью и массой жидкости в объеме термостата. Из балансавнутренней энергии, который в данном случае сводится к балансу энтальпии, длярассматриваемого объема жидкости в термостате нетрудно получить, используя выражение(3.14), уравнение, описывающее изменение во времени температуры жидкости, находящейся внем:dθ1/dτ = µ(1-exp(-N))/N.( θ2- θ1)гдеµ = c2M2/ c1M1(4.1 )(4.2)Таким образом задача сводится к системе уравнений (4.1), (3.15) с соответствующиминачальными условиями:θ1(0) = 1, θ2(0) = 0(4.3)Напомним, что индекс 1 относится к нагревающей жидкости (термостат 1, рис.
3), индекс 2 - кнагреваемой (термостат 2).Система этих уравнений15dθ1/dτ = µ(1-exp(-N))/N.( θ2- θ1)dθ2/dτ = (1-exp(-N))/N.( θ1- θ2)допускает простое решение. Действительно, домножим второе уравнение на µ и сложим его спервым. Получимd (θ 1 + µ θ 2dτ)= 0Решение этого уравнения с учетом начальных условий (4.3) имеет вид:θ1 + µθ2 = 1(4.4)Теперь вычтем из первого уравнения второе и получим новое уравнение:d(θ1-θ2)/dτ = - (1+µ)(1-exp(-N))/N.( θ1-θ2)решение которого с учетом начальных условий (4.9) имеет следующий вид:ln(θ1-θ2) = -τ (1+µ)(1-exp(-N))/NПереходя к размерному времени t, получим:ln(θ1 − θ2 ) = −t (1 + µ )Напомним, чтоcg J gc2 M2(1 − exp( −N )))(4.5)N = 2πrαL/c1JgИспользуя полученные экспериментальные данные (последовательность измеренных водинаковые моменты времени температур обоих термостатов), построим на фазовой плоскостибезразмерных температуркоэффициентаµ(θ 1 , θ 2 )прямую (4.4) и определим коэффициентµ.Величинунеобходимо сравнить со значением, вычисленным по формуле (4.2).
Далее,построим график в координатахln(θ1-θ2)иt,гдеtреальное время эксперимента, и,используя зависимость (4.5), определим коэффициент теплообменаα.Оформление результатов экспериментов.161. Массивы полученных экспериментальные данных Ti(t) (измеренные в одинаковые моментывремени температуры обоих термостатов, i = 1 - “горячий” термостат, i = 2 - “холодный”термостат) следует превратить в массивы безразмерных температур по формуламθi = (Ti(t) - T20) / (T01 - T02)Здесьi = 1,2T01 = T1(0) - начальная температура в 1-ом термостате (максимальная температура в системе).T02 = T2(0) - начальная температура во 2-ом термостате (минимальная температура в системе).2.
Нанести точки (θ1, θ2) на фазовую плоскость этих переменных.3. Провести прямую линию через нанесенные точки (θ1, θ2).4. По параметрам этой прямой определить коэффициент µ в формуле (4.4)θ1 +µθ2 =15. Сравнить полученное значение со значением из формулы (4.2). Значения теплоемкостей водыпринять равными c1, c2 = 1 кал/(г•град).6. Нанести экспериментальные данные (4.5) в координатахln(θ1-θ2), t.7. Через полученные точки провести прямую линию. По параметрам этой прямой определитьчисло единиц переноса N и коэффициент теплообмена α.8.Используя материал пункта 3.3 и формулу (3.6) оценить эффективный коэффициенттеплообмена α и сравнить его с экспериментально определенным в пункте 4.Таблица физических параметров для оценкиэффективного коэффициента теплообмена α.ВнутренняязадачаВнешняязадачаТеплоемкость,кал/(г•град)1106*Кинемат.вязкость,м2/сек0.4Теплопроводность,какл/(м час град)Pr0.535.410.80.572.55.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
