Автореферат (1149921), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Показано,что интегральный оператор с ядром√dC()сявляется компактным при0≤<1непрерывных функцийРассмотрим вместо решениякоторая получается вычитанием из(, )функсвободного члена и первой9итерации уравнения (2). Для нее справедливо уравнениеZ(2)(, ) = (, ) −dВторая итерация уравнения (2)Z (2) (, ) ≡dпринадлежит классуственно при всех(3)Z0 (, , ) ()C().0 (, , ) ()(, ).d′0 (, ′ , ) ( ′ )0 ( ′ , 0, )(4)Поэтому решение уравнения (3) существует и един , кроме значений принадлежащих дискретному спектру ()оператора Шредингера,и является функцией классачто сингулярные члены асимптотики при →0C().функцииОтсюда следует,(, 0, )определяются свободным членом уравнения (2) и первой итерацией этого уравнения.Окончательно, поведение функции(, 0, )при→0определяется асимптотикой:(, 0, ) =⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩Здесь константа01−1+ 1 + (1) при 1 < 4 1/ + 0 /14 [1/ + 0 ln()] + 2 + (1) при = 1,14 + 3 + (1) при < 1.]︀[︀< 3/2,(5)выражается через параметры потенциала формулой0 =и все конечные вклады обозначеныделение оператора Шредингера0(2 − )(1 − ) , = 1, 2, 3.
Формула (5) дополняет опре̃︀ , полученное в рамках метода самосопряженных расширений в работе [7].В альтернативном методу самосопряженных расширений подходе с псевдопотенциалом в уравнение Шредингера с потенциаломдобавляется член спсевдопотенциалом[︀]︀−∆ + () − 2 (, ) + ()(, ) = 0,где константа связи(6)может быть и комплексной. Псевдопотенциал определяется равенством ()(, ) = (),(7)10где константашенияявляется значением некоторого линейного функционала от ре . Переход к интегральному уравнению Липпманна-Швингера приводитк представлению(, ) = 0 (, ) − (, 0, 2 + i0).Здесь0— волновая функция рассеяния на потенциалепозволяет выразить асимптотику при→0функции.(8)Представление (8)через константу.Всоответствии с формулой (5), в зависимости от значения параметра потенциалаэта асимптотика имеет вид⎧⎪⎪⎪⎨(, ) =⎪⎪⎪⎩1−1+ 1 + (1) при 1 < 4 1/ + 0 /24 [1/ + 0 ln()] + 2 + (1) при = 1,34 + 3 + (1) при < 1.[︀]︀Присутствующие здесь константы определяются формулами0 (0, ) − при = 1, 2, 3.< 3/2, = −(9)и =Из этих асимптотических выражений вычисляется вид псевдопотенциала (7).
Для всех трех случаев псевдопотенциал можетбыть записан в виде () = ()где переменныеdd ,(10)определены формулами1/1 = −1 + 0 −+1 ,1/2 = −1 + 0 ln(),1/3 = −1 .(11)Результаты первой главы опубликованы в работах [A1, A2].Во второй главе точечное взаимодействие добавляется в уравнение Шредингера с кулоновским потенциалом () = n−1в виде псевдопотенциала,который определяется равенством ()(, ) = () .с константой .(12)Переход к интегральному уравнению Липпманна-Швингерадает представление решения уравнения Шредингера(, ) = (, ) − (, 0, 2 + i0) .(13)11Здесь (, ′ , )циалом ифункция Грина оператора Шредингера с кулоновским потен (, )кулоновская волновая функция рассеяния известны в явномвиде. Для функцииполучается асимптотическое выражение при (, 0, 2 + i0) =где() =Маскерони,i4+n4→01[1/ + n ln ] + () + ( ln ),4[ln(−2i) + (1 + i) + 20 − 1] , 0(14)— постоянная Эйлера() — дигамма функция и = n/(2) — параметр Зоммерфельда.Это позволяет получить асимптотику решения(, ) =при→0[1/ + n ln ] + + ( ln ).4Здесь константы определяются выражениями = −(15)иΓ(1 + i)−/2 =.1 + ()Псевдопотенциалвыражается формулами (10)–(11) с=2и0 = n.Функция Грина оператора Шредингера с суммой кулоновского и точечного потенциалов также находится с помощью метода псевдопотенциала.
Она имеет вид̃︁ (, ′ , ) = (, ′ , )− (, 0, )1√ (0, ′ , ).1 + ( )(16)Для исследования оператора Шредингера с суммой кулоновского и точечного потенциалов имеет значение функция Гринаоператора Шредингера собрезанным кулоновским потенциалом, который определяется формулой⎧⎨ (), ≤ , () =⎩ 0, > .Здесь >0— радиус обрезания. Функция Грина(17)может быть построенасуммированием парциального ряда. Парциальная компонента функции Гринавыражается через решение радиального уравнения Шредингера. Явный вид12функции Грина зависит от того, какую область конфигурационного пространства мы рассматриваем.
В частности, при < , ′ < получается (, ′ , 2 + i0) = (, ′ , 2 + i0) + (, ′ , 2 ).(18)Для второго слагаемого получено представление (, ′ , 2 ) = (, ) =12iZ1d (, )[ (, ′ , , 2 + i0) − (, ′ , , 2 − i0)],−1∞∑︁(ℓ + 1/2)ℓ ()ℓ ()ℓ (),ℓ=0++ℓ () = −ℓ (ℎ̂+ℓ , ℓ )/ (ℎ̂ℓ , ℓ ).гдегде = ˆ · ˆ′ , Лежандра,— вронскиан вычисленный в точке(19) = , ℓ— полином+ℎ̂+ℓ — функция Риккати-Ханкеля, ℓ и ℓ — кулоновские регулярнаяфункция и расходящаяся волна,что в пределе → ∞ 2 (−1, 1)что в области < , ′ < ℓ— кулоновский фазовый сдвиг.
Показано,норма ядра‖ ‖2 = (−1 ),откуда следует,выполняется равенство (, ′ , 2 + i0) = (, ′ , 2 + i0) + (−1 ).(20)оператора ШреАналогичные выражения получаются для функции Гринадингера с хвостом кулоновского потенциала = − .При < , ′ < имеет место представление (, ′ , 2 + i0) = 0 (, ′ , 2 + i0) + (, ′ , 2 ),1 (, ′ , 2 ) =2iZ1d (, )[0 (, ′ , , 2 + i0) − 0 (, ′ , , 2 − i0)],−1 (, ) =∞∑︁(ℓ+1/2)ℓ ()ℓ ()ℓ (),где+ ++ ˆℓ () = − (ℓ , ℎ̂ℓ )/ (ℓ , ℓ ).ℓ=0(21)Здесьˆℓ— функция Риккати-Бесселя. Привыполняется = (−1 ). →∞в области < , ′ < 13Результаты второй главы опубликованы в работах [A3, A4].В третьей главе описывается физическая система электрон-позитрон врамках нерелятивистского модельного гамильтониана, который в системе атомных единиц имеет вид+ − = −∆ −1+ i ().(22)Здесь точечный потенциал i с чисто мнимой константой связи описываетаннигиляцию электрон-позитронной пары. Псевдопотенциал () = ()константа связи = −23dd , =гдеимеет вид,1 + ln (23)[2, 8].Спектр позитрония, который в рамках используемой модели совпадает сдискретным спектром гамильтонианав (16) при = .+ − , определяется нулями знаменателяУравнение для нахождения спектра√( ) = i −1 .В силу малости константы связиасимптотически припо константе связи ≈ 10−5(24)эВ, уравнение (24) можно решать → 0.
С точностью до бесконечно малых второго порядкауровни энергии позитрония имеют вид−11+i,4 28 3 = 1, 2, . . .(25)Волновая функция рассеяния в системе электрон-позитрон выражаетсяформулой (13) с = i .Переход к пределу→∞получить в явном виде амплитуду рассеянияв этой формуле позволяет () = () + ′ ().Здесь—кулоновская амплитуда рассеяния.
Добавочное слагаемое имеет видΓ2 (1 + i)− () = −.4 1 + i()′i(26)Для вычисления сечения аннигиляции электрон-позитронной пары необходимо модифицировать вид оптической теоремы. В зависимости от наличия в14гамильтониане системы чисто мнимого локального или точечного потенциалов,кулоновского потенциала или их комбинации получаются различные обобщения оптической теоремы. В случае уравнения Шредингера с гамильтонианомвида−∆ + 1 () + i2 (),где1тенциалы, которые убывают прии2— локальные короткодействующие по → ∞быстрее кулоновского потенциала,оптическая теорема выражается формулой4−ℑm (0) − =ЗдесьZ— волновая функция рассеяния, 2 ()|()|2 .— полное сечение рассеяния,амплитуда рассеяния.
В случае гамильтониана видатеперь2(27)—−∆ + 1 () + i2 (), где— псевдопотенциал, обобщение оптической теоремы имеет вид⃒2⃒Z⃒4− ⃒⃒d 2 ()(, )⃒ .ℑm (0) − =⃒ ⃒(28)В случае гамильтонианов, содержащих кулоновский потенциал, оптической теоремой служит предельное соотношение для частичных сумм парциальных рядов амплитуды рассеяния и полного сечения рассеяния () = =∑︁ℓ=0∑︁(2ℓ + 1)ℓ ℓ (cos ),4(2ℓ + 1)|ℓ |2 .(29)ℓ=0При любом конечном неотрицательном целомвыполняется соотношение(︀)︀4 ∑︁ℑm (0) − = 2(2ℓ + 1) 1 − |ℓ |2 .(30)ℓ=0Здесьвидℓ— парциальные компоненты−∆ + () + 2 (), -матрицаравна нулю и в пределе -матрицы.Когда гамильтониан имеетунитарна, правая часть равенства (30) → ∞ получается обобщение(︂)︂4limℑm (0) − = 0.
→∞оптической теоремы(31)15В случае же гамильтониана (22) в правой части (30) отлично от нуля толькопервое слагаемое. Оптическая теорема преобразуется к виду(︂lim →∞4ℑm (0) − )︂⃒2⃒Z⃒−− ⃒⃒d ()(, )⃒ ==| |2 .⃒⃒(32)Величина в правой части последнего равенства и является сечением аннигиляции электрон-позитронной пары.Результаты третьей главы опубликованы в работе [A3].В Заключении перечислены основные результаты диссертации и выводыиз них.Список публикацийA1. Яковлев С.
Л., Градусов В. А. Об особенности функции Грина оператораШредингера с потенциалами, сингулярными в начале координат // Вестник Российского университета Дружбы Народов. Серия: математика, информатика, физика. 2014. № 1. С. 153–157.A2. Yakovlev S. L., Gradusov V. A. Extension of the zero-range potential model onto the Hamiltonians with a singularity at the origin // Mathematical Modellingand Geometry.
2013. Vol. 1, no. 3. Pp. 1–12.A3. Yakovlev S. L., Gradusov V. A. Zero-range potential for particles interactingvia Coulomb potential // J. Phys. A: Math. Theor. 2013. Vol. 46. P. 035307.A4. Yakovlev S. L., Gradusov V. A., Volkov M. V. On Recent Analytical Resultsfor Solution of the Scattering Problem for the Sharply Screened Coulomb Potential // Few-Body Systems. 2014.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
