Автореферат (1149921)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Санкт-Петербургский Государственный УниверситетНа правах рукописиГрадусов Виталий АлександровичОб операторах Шредингера с суммойлокального и точечного потенциалов сналожением особенностей01.04.02 – Теоретическая физикаАВТОРЕФЕРАТдиссертации на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукСанкт-Петербург – 2014Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете.Научный руководитель:д.ф.-м.н., профессор,Яковлев Сергей ЛеонидовичОфициальные оппоненты:Блохинцев Леонид Дмитриевич, д.ф.-м.н.,профессор, НИИЯФ им. Д.

В. СкобельцынаМГУ им. М. В. Ломоносова,главн. науч. сотр.Ефимов Александр Дмитриевич,к.ф.-м.н.,ФТИим.А.Ф.ИоффеРАН,старш. науч. сотр.Ведущая организация:Объединенный институт ядерных иссле­дованийЗащита состоится «23» апреля 2015 г. в 15:00 на заседании диссертационного со­вета Д 212.232.24 при Санкт-Петербургском государственном университетепо адресу: Санкт-Петербург, Средний пр., д. 41/43, ауд. 304С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. ГорькогоСПбГУ и на сайтеhttp://spbu.ru/science/disser/Автореферат разослан «»2015 г.Ученый секретарьдиссертационного совета,д.ф.-м.н.Аксенова Елена Валентиновна3Общая характеристика работыАктуальность темы исследования.

Модель точечного взаимодействия,в физической литературе обычно называемого потенциалом нулевого радиуса,широко применяется в современных исследованиях. В основном точечные потен­циалы используются для построения моделей межчастичных взаимодействий вквантовой механике [1]. Среди недавних примеров использования в физике от­метим применение к задаче рассеяния позитрона на атоме водорода, где дляописания взаимодействия между позитроном и электроном использовался мо­дельный гамильтониан с суммой кулоновского потенциала и одноцентрового то­чечного потенциала с мнимой константой связи. Последнее необходимо для опи­сания процесса аннигиляции позитрона и электрона в рамках нерелятивистскойквантовой механики [2].

В работе [2] и нескольких последующих этот потенци­ал был определен в виде трехмерной -функции,которая добавляется как сла­гаемое в гамильтониан системы. Введенный таким образом потенциал нельзяиспользовать как обычный потенциал в уравнении Шредингера [3]. Единствен­ным способом его учета в рамках стандартных методов квантовой механикиоказывается подстановка -функциив формулы квантовомеханической теориивозмущений, что формально оправдывается малостью получаемых поправок.Однако существуют методы, позволяющие определить точечный потенци­ал более корректным образом и не прибегать к теории возмущений.

Еще в ран­них работах [3, 4] были предложены два подхода к определению одноцентро­вых точечных потенциалов в уравнении Шредингера. Первый из них состоитв том, что уравнение дополняется сингулярным граничным условием в точкесосредоточения точечного взаимодействия. Второй подход состоит в том, чтоточечное взаимодействие добавляется в уравнение Шредингера в виде некоторо­го дополнительного потенциала — так называемого псевдопотенциала, которыйопределяется с помощью функционала, действующего на волновую функцию.Строгое математическое определение оператора Шредингера с точечным взаи­4модействием впервые было дано в работе Березина и Фаддеева [5].

Метод этойработы основан на теории самосопряженных расширений симметричных опе­раторов. Дальнейшее развитие метода связано в основном с работами авторовмонографии [6].Большой интерес для приложений представляет ситуация, в которой од­ноцентровый точечный потенциал добавляется в оператор Шредингера вс локальным потенциалом.R3Последний может иметь сингулярность в точ­ке сосредоточения точечного потенциала. Речь идет об операторе Шредингераформального вида−∆ + + “ ” ,где слагаемое “ ” символически обознача­ет точечный потенциал с параметром,который играет роль константы связиточечного потенциала.

Этот оператор может быть определен методом самосо­пряженных расширений [6, 7]. В этом случае оператор вводится с помощьюкоординатной асимптотики функции Грина оператора Шредингера с потенци­алом.Эта асимптотика в общем случае локального потенциалаиз доста­точно широкого класса остается неисследованной. Кроме того, метод самосо­пряженных расширений приводит лишь к таким операторам Шредингера, укоторых константа связи является вещественной. Приведенный выше примериспользования точечного потенциала с мнимой константой связи для описаниявзаимодействия в системе электрон-позитрон показывает необходимость разра­ботки метода корректного определения оператора Шредингерас комплексной константой связи−∆ + + “ ”.Цели и задачи диссертационной работы: Целями данной диссерта­ционной работы являлись разработка методов корректного определения опера­тора Шредингера с суммой локального потенциала и точечного потенциала скомплексной константой связи с особенностями в одной и той же точке; раз­работка формализма для нахождения наблюдаемых системы двух квантовыхчастиц в физической модели, которая описывается с помощью гамильтониана,состоящего из потенциала с особенностью и точечного потенциала, на примересистемы электрон-позитрон.5Для достижения поставленных целей были решены следующие задачи:∙Исследована координатная асимптотика в начале координат диагональ­ной части функции Грина оператора Шредингера с потенциалом, имею­щим степенную особенность.∙Дано обобщение метода определения точечного взаимодействия с помо­щью псевдопотенциала на случай уравнения Шредингера с локальнымкороткодействующим и кулоновским потенциалами.∙Исследована функция Грина оператора Шредингера с обрезанным куло­новским потенциалом.∙Разработан формализм для определения спектра позитрония и наблюдае­мых задачи рассеяния.

Получено выражение для сечения аннигиляции всистеме электрон-позитрон.Научная новизна. В данной работе впервые были в явном виде полученысингулярные члены координатной асимптотики в начале координат диагональ­ной части функции Грина оператора Шредингера с локальным потенциаломиз достаточно широкого класса короткодействующих потенциалов со степен­ной особенностью, что позволило обобщить определение операторов Шредин­гера с суммой локального и точечного потенциалов на случай потенциалов изэтого класса.

Найдены удобные представления и предельные соотношения дляфункции Грина оператора Шредингера с обрезанным кулоновским потенциа­лом. Разработан формализм для определения наблюдаемых квантовой систе­мы двух частиц, которая описывается гамильтонианом с суммой локальногои точечного потенциалов. В том числе, с помощью обобщения оптической тео­ремы для гамильтонианов с кулоновскими потенциалами определено сечениеаннигиляции в системе электрон-позитрон.Теоретическая и практическая значимость. Результаты, изложенныев диссертации, могут быть использованы для построения моделей в задачах6квантовой физики, в которых взаимодействие между частицами описываетсясуммой локального и точечного потенциалов.

Функция Грина оператора Шре­дингера с обрезанным кулоновским потенциалом может использоваться при по­строении методов решения задачи рассеяния в системах заряженных частиц.Методология и методы исследования. В основном в диссертации ис­пользуется метод интегральных уравнений.Положения, выносимые на защиту:1. Методы определения операторов Шредингера с суммой локального и то­чечного потенциалов обобщены на случай класса короткодействующихлокальных потенциалов со степенной особенностью в начале координати случай комплексной константы связи точечного потенциала.2. Функция Грина оператора Шредингера с обрезанным кулоновским потен­циалом в некоторых областях конфигурационного пространства выраже­на через кулоновскую функцию Грина с точностью до действия опера­тором, зависящим от угловых переменных.

В пределе радиуса обрезанияпотенциала, стремящегося к бесконечности, эти функции совпадают.3. Найдено уравнение для определения спектра, а также получены явныевыражения для наблюдаемых задачи рассеяния в квантовой системе двухчастиц, которая описывается гамильтонианом с суммой локального и то­чечного потенциалов. С помощью обобщения оптической теоремы на га­мильтонианы с кулоновским потенциалом получено выражение для сече­ния аннигиляции в системе электрон-позитрон в модели точечного потен­циала аннигиляции.Апробация результатов. Основные результаты диссертации докладыва­лись на семинарах кафедры Вычислительной физики СПбГУ и сектора “Кван­товые системы нескольких частиц” ЛТФ ОИЯИ, а также на следующих конфе­ренциях:7∙Russian-Ukrainian Seminar on Few-Body Problems with Strong and CoulombInteractions, Kiev, Ukraine, 2012∙43rd Annual Meeting of the APS Division of Atomic, Molecular and OpticalPhysics, Orange County, California, 2012∙International Workshop on Few-Body Systems (FBS2012), Dubna, Russia,2012∙The 22nd European Conference on Few-Body Problems in Physics, Krakow,Poland, 2013Публикации.

Материалы диссертации опубликованы в 4 печатных рабо­тах в рецензируемых журналах [A1, A2, A3, A4], 3 из которых опубликованыв изданиях, рекомендованных ВАК для опубликования результатов кандидат­ских и докторских диссертаций.Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положе­ния, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубли­кованные работы. Подготовка к публикации полученных результатов проводи­лась совместно с соавторами, причем вклад диссертанта был определяющим.Все представленные в диссертации результаты получены лично автором.Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 3глав, заключения и библиографии.

Общий объем диссертации 94 страницы, изних 88 страниц текста. Библиография включает 56 наименований на 5 страни­цах.Содержание работыВо Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сфор­мулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показанапрактическая значимость полученных результатов, представлены выносимыена защиту научные положения.8В первой главе рассматривается задача определения оператора Шредин­гера̃︀формального вида + “ ” .Здесь трехмерный оператор Шредингера = −∆ + () с локальным потенциалом , а “ ”точечный потенциал с носителем в точкеV(, )с < 3/2и>1символически обозначает ≡ || = 0.Рассматривается класскороткодействующих потенциаловс особенностьюв нуле таких, что| ()| ≤ (1 + )−1− () = − ()где константа > 0,а функция()ными до второго порядка, причемпри > 0,при → 0.(1)непрерывна вместе со своими производ­lim→0 () = 0 .В работе [7] оператор Шредингера̃︀в пространстве2квадратично ин­тегрируемых функций был определен как самосопряженное расширение опера­,торасуженного на множество функций исчезающих в окрестности нуля.̃︀Операторв работе [7] вводится неявно с помощью асимптотики прифункции Гринаоператора(, 0, )оператора Шредингера() = ( − )−1 .в случае потенциалов,→0определяемой как ядроВ настоящей главе эта асимптотика исследована ∈ V(, ).Основным средством исследования является интегральное уравнение Лип­пманна-ШвингераZ(, ) = 0 (, 0, ) −где обозначеноратора−∆(, ) ≡ (, 0, )иℑm ≥ 0с нормойцию ∈ V(, ).Здесь0 (, , ) ()в банаховом пространствеsup (1 + ) | ()| = ‖ ‖ .(, ),0 (, , ) ()(, ),0(2)функция Грина опе­свободного движения в координатном представлении.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов диссертации