Автореферат (1149842), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Предполагается, что магнитный момент диполя параллеленлибо антипараллелен индукции однородного поля.В первой части главы исследованы разрешённые области движения вкоординатном пространстве для случая, когда дипольный момент сонаправлен индукции однородного поля, а значения постоянной Штермера положительны.
Показано, что качественный вид разрешённой области зависит отзначения параметра 2 , определённого по формуле(︁√︀)︁22 = − 4 − /2,где(︂)︂(︂)︂ )︃41 312 2−+ 4 −,3339(︂)︂82= 3 −,391 = 2,16=9(︃3 = −/2 = 0 / , 0 – проекция однородного магнитного поля на направление дипольного магнитного момента M, – штермеровская единицадлины.7При 2 < 1 граница разрешённой области Δ (, ) существует для зна(︀)︀√ ]︀ [︀√чений магнитной широты ∈ − 2 , − arccos 3 2 ∪ arccos 3 2 , 2 .
В этомслучае область Δ (, ) состоит из двух компонент, границы каждой из которых не пересекают плоскость магнитного экватора (рис. 1а). При 2 > 1граница разрешённой области существует для любых значений магнитнойшироты , соответствующая область Δ (, ) является однокомпонентной(рис. 1б).а)б)Рис. 1. Разрешённая область движения в координатном пространстве при > 0, > 0:а) 2 < 1, б) 2 > 1Во второй части первой главы решена задача об определении областиразрешённых начальных импульсов. Установлено, что модуль разрешённого импульса и угол между вектором начальной скорости v0 и ортом eместной системы координат удовлетворяют неравенству⃒⃒⃒⃒ 1⃒⃒ ≤ 1,(−)+cos(1)⃒ 2⃒(︁)︁(︁)︁02 cos2 0cos2 0cos 0 2 cos 2где = − 0 cos , = cos − cos , = 0 cos ,√︀ =/; 0 , , 0 , – сферические координаты начальной и исследуемой точек, – заряд частицы, – скорость света, – радиус Земли, = ( / )3 .Как следует из (1), область разрешённых начальных импульсов является осесимметричной, поэтому для изучения её свойств достаточно рассмотреть сечение Σ (R0 , Rc , ) плоскостью, содержащей орт e .На основе известных условий двухкомпонетности разрешённой области в частных случаях, разобранных в работах В.
П. Шалимова и И. П. Швачунова, Г. А. Псиллакиса и З. М. Катсиариса, а также в [2], сформулировано общее условие двухкомпонентности разрешённой области в координатном8пространстве. Приведена система неравенств, при выполнении которой начальная и исследуемая точки находятся в одной компоненте области Δ (, ).Доказано, что при движении заряженной частицы в суперпозиционном магнитном поле не существует таких положений начальной точки, при которыхсоответствующая разрешённая область в координатном пространстве является однокомпонентной для любых значений и . Сформулированы четыреутверждения о структуре сечения области разрешённых импульсов.
Приведены примеры построения сечений областей разрешённых импульсов, поясняющие сформулированные утверждения.В структуре импульсного пространства выявлены следующие 4 области: область 1 − множество импульсов p, для которых иследуемая точка Rcпринадлежит запрещённой области движения в координатном пространствеΔ (, ); область 2 – множество импульсов p, для которых разрешённаяобласть Δ (, ) является двухкомпонентной и начальная и исследуемая точки находятся в разных её компонентах; область 3 − множество импульсовp, для которых разрешённая область Δ (, ) является однокомпонентной иисследуемая точка Rc лежит в разрешённой области Δ (, ); область 4 −множество импульсов p, для которых разрешённая область Δ (, ) является двухкомпонентной и начальная и исследуемая точки находятся в одной еёкомпоненте.
Таким образом, область Σ (R0 , Rc , ) представляется в виде объединения областей 3 и 4, а её дополнение Σ (0 , , ) – в виде объединенияобластей 1 и 2. Границами области 1 являются только кривые второго порядка, поэтому отличие границ Σ (R0 , Rc , ) от указанных кривых определяетсясуществованием в импульсном пространстве точек области 2.Доказано, что в случае, когда Σ (0 , , ) совпадает с областью 1,границами Σ (R0 , Rc , ) являются эллипс, парабола, ветви гиперболы или пара пересекающихся прямых, проходящих через начало координат.
В указанных условиях при < 1 границей Σ (R0 , Rc , ) является эллипс с фокусамина оси , причём если − > 0, то бо́льшая по площади часть областиΣ (R0 , Rc , ) лежит в полуплоскости > 0, если − < 0, то бо́льшаяпо площади часть области Σ (R0 , Rc , ) лежит в полуплоскости < 0. При > 1 границами области Σ (R0 , Rc , ) являются гиперболы с фокусами наоси такие, что при − > 0 обе точки пересечения гипербол с осью находятся на отрицательной полуоси оси , при − < 0 – на положительной полуоси оси .
При = 1 граница области Σ (R0 , Rc , ) задаётсяпараболой с вершиной на оси . Если − < 0, то для вершины параболы > 0. Границами области 1 в случае − = 0 являются двепересекающиеся прямые, проходящие через начало координат.9Как показывают результаты расчётов, добавление к дипольному полювнешнего однородного магнитного поля приводит к изменению параметровграниц областей 1 и 2, но не меняет их качественный вид. В частности, при > 1 происходит изменение координат точек пересечения границ областей 1и 2 с осями координат и фокусов гипербол, являющихся границами области 1.Увеличение || может оказать существенное влияние на структуру областейΣ (R0 , Rc , ).
В диссертации приведён пример, когда при усилении однородного поля площадь области 2 уменьшается и начиная с некоторого значения становится равной нулю.Во второй главе аналитически решена задача о движении заряженной частицы в суперпозиционном поле в дрейфовом приближении, а такжеисследованы области применимости дрейфовых уравнений.В первой части главы дана общая формулировка дрейфовых уравнений движения. Радиус-вектор текущего положения частицы r представлен ввиде векторной суммыr = a + c,(2)где a – вектор, проведённый из центра вращения (ведущего центра) в точку,где находится частица; c – текущее положение ведущего центра.
Отмечено,что в отличие от случая однородного поля величины a и c медленно меняютсясо временем: a = a(), c = c(), а ведущий центр может двигаться поперёкмагнитного поля B, перемещаясь с одной силовой линии на другую. Скоростьчастицы v состоит из двух частей: скорости вращения w и скорости дрейфа u:v=r a c=+= w + u.(3)Из уравнений продольной и поперечной динамики ведущего центра сиспользованием сохранения эквивалентного магнитного момента полученывыражения для продольной и поперечной составляющих скорости ведущегоцентра.Рассмотрены уравнения для силовых линий поля.
После приведенияобщей формулировки дрейфовых уравнений движения дан их вид в суперпозиционном поле. Вычислен поперечный градиент магнитного поля, найденызависимости радиальной координаты и её производной от широты. С помощью полученных выражений получена зависимость долготы от широты ведущего центра:(︁)︁)︂2 1 − ∫︁ (︂^ ̃︀2 (∇)⊥ Φ√︁,(4) − 0 =1 2 cos 1 − 010где – текущее значение модуля безразмерной индукции, – значениемодуля безразмерной индукции в точке пересечения силовой линии с плос^ – безразмерная проекция ∇ на плоскостью магнитного экватора, (∇)√︀⊥̃︀кость, перпендикулярную B, Φ = 12 + 22 , 1 и 2 – радиальная координата и её производная в обезразмеренном виде, – экваториальный параметрместной силовой линии, 0 – начальное значение координаты .Приведены примеры графиков зависимостей интеграла, пропорционального долготе, от широты при значениях угла между начальной скоростью и индукцией магнитного поля на экваторе, равных 15∘ , 30∘ , 45∘ , 60∘ и75∘ , и различных значений параметра , пропорционального модулю индукции однородного магнитного поля.Во второй части второй главы рассмотрен вопрос об областях применимости дрейфовых уравнений движения.
Показано, что достаточные условияприменимости дрейфовых уравнений в суперпозиционном поле могут бытьзаписаны в виде⎧̃︀ 2⎪⎪⎪√︀̃︀,6⎪1⎪⎨̃︀ , )||⊥ (,(5)̃︀ 2⎪⎪⎪̃︀ 6 2 √︁⃒⃒,⎪⎪⃒‖ (,⎩̃︀ , )⃒˜ ,̃︀ , ) =где (√︁4 (1 − r̃3 )2 sin2 + (1 + 2r̃3 )2 cos2 ,(︀ (︀ (︀ 3)︀‖ (˜, , ) = 6 sin 2 4 ˜ − 1 sin2 −(︀)︀)︀ (︀)︀(︀)︀ (︀)︀)︀− 1 + 2˜3 cos2 1 − ˜3 + cos2 4˜3 − 1 2˜3 + 1 ,(︀(︀ (︀ 3)︀(︀)︀)︀ (︀)︀⊥ (˜, , ) = 3 cos 4 ˜ − 1 sin2 − 23 + 1 cos2 2˜3 + 1 +(︀)︀ (︀)︀)︀+2 sin2 1 − 4˜3 1 − ˜3 ,˜ = / , 1 = 0.46, 2 = 0.66.Преобразованы выражения для поперечного и продольного градиентаполя, сформулированы достаточные условия применимости. Области, задаваемые системой неравенств (5), построены численно для различных индукцийоднородного поля B0 .
Исследовано изменение вида областей применимостидрейфового приближения Ω и дополнений к ним Ω при изменении проекции B0 на направление, противоположное M. Показано, что при переходе отдипольного поля к суперпозиционному область Ω становится ограниченной.Для каждой из двух рассматриваемых ориентаций однородного поля существует критическое значение 0 такое, что при меньших по модулю значениях110 область Ω является двухкомпонентной, а при бо́льших – однокомпонентной. Площадь области Ω уменьшается при увеличении |0 | и в предельномслучае |0 | → ∞ область Ω превращается во всю полуплоскость.В третьей главе приведено построение и исследование областей высыпания заряженных частиц, инжектированных точечным источником в геомагнитное поле, представленное первыми гармониками ряда Гаусса.В первой части третьей главы рассмотрены области высыпания заряженных частиц в дипольном магнитном поле.
Выведена система безразмерных уравнений движения, описывающая динамику отрицательно заряженнойчастицы⎧⎪′1 = 4 , ′2 = 5 , ′3 = 6 ,⎪⎪(︀ 2)︀⎪⎪22⎪3−2−−2 3 65⎪312′⎪,⎪⎨ 4 =5 )︀(︀ 2(6)4 1 + 22 − 223 + 31 3 6′⎪⎪5 =,⎪5⎪⎪⎪⎪⎪3 ( − 1 5 )⎪⎩ ′6 = 3 2 4,5где √︀1 , 2 и 3 – безразмерные декартовы координаты частицы,21 + 22 + 23 , 4 , 5 , 6 – безразмерные скорости, штрихами обозначе =ны производные по безразмерному времени .Доказано, что в случае положения инжектора на магнитном экватореначальные данные для системы уравнений (6) определяются двумя характерными отношениями 0 / = | =0 / и / , а также направляющимикосинусами вектора начальной скорости.
Направление инжекции j задаётся углом между начальной скоростью v0 и местной вертикалью и углом между направлением проекции v0 на плоскость местного горизонта и местным азимутальным направлением.Поставленная задача решена с помощью вычислительного алгоритма,заключающегося в последовательном расчёте траекторий заряженых частицв дипольном магнитном поле. Углы и предполагались случайными величинами с равномерным законом распределения в предварительно определяемыхпромежутках [ , ], [ , ]. Для каждого варианта выборки начальных данных производилось численное интегрирование уравнений движения(6) разностным методом Рунге – Кутта – Мерсона 4-го порядка с автоматическим выбором шага.
Число испытаний в серии принималось равным 1 000 000.На основе указанного алгоритма области высыпания построены дляразличных значений отношения 0 / и безразмерного импульса ′ . Результаты расчётов показывают, что при фиксированном 0 / при изменении ′происходит качественное изменение структуры областей высыпания, выража12ющееся, в частности, в изменении числа компонент и изменении интерваловмагнитных широт и долгот точек области высыпания.Во второй части третьей главы рассмотрены области высыпания электронов высокой энергии в геомагнитном поле.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
